venerdì, aprile 27, 2007

discentes primae analysis

ieri, mentre producevamo con r.n. un po' di quella che io amo definire matematica d'intrattenimento, ho finalmente capito perché gli studenti di analisi uno non sanno distinguere fra implicazione ed equivalenza.
il motivo è il seguente: supponiamo di avere un famiglia di insiemi, che chiamerò F. supponiamo che sia definita una certa proprietà P, per cui scrivo P(M)=1, se l`insieme M in F ha la proprietá P e scrivo P(M)=0 se non ce l'ha. é evidente che una proprietá é allora null'altro che un sottoinsieme della famiglia, per la precisione, il sottoinsieme F' della famiglia F, definito da M in F' se e solo se P(M)=1. si consideri adesso una proprietá P' tale che P'>P, sarebbe a dire una proprietà P' tale che se M ha P', allora ha anche P. in questo caso dico P' implica P.

Teorema

Si consideri la proprietá P+ definita tramite la seguente istruzione: P+ è l'intersezione di tutte le proprietà che implicano P. Allora vale P+=P.

Dimostrazione

È evidente che P+ contiene P, dato che ogni elemento dell'interesezione che forma P+ contiene P. D'altra parte P implica P, quindi P è presente nell'intersezione che forma P+, e quindi P contiene P+, qed.

questo, a mio parere, è il motivo formale per cui i poveri ragazzi di analisi uno non sanno distinguere fra implicazione ed equivalenza.

2 commenti:

hronir ha detto...

Sai che non ho capito cosa intendi dire?
In che senso questa storia della proprieta' come sottoinsieme e dell'intersezione delle proprieta' che ne implicano una etc etc... in che senso questo ti illumina sul fraintendimento diffuso in analisi 1 fra implicazione ed equivalenza?

Lap(l)aciano ha detto...

secondo me il problema é che non capiscono che una certa singola proprietá implica o non implica un'altra singola proprietá.

fanno direttamente il salto logico: scrivere A implica B, vuol dire definire A come l'insieme di tutte le proprietá che implicano B. in realtá non sono convintissimo che questo sia il vero problema: peró mi sembrava un'idea affascinante, anche perché anche altrove confondono assunzioni e definizioni.