lunedì, dicembre 10, 2007

grafi connessi e numerabili

ho scoperto un fenomeno veramente sorprendente. ricordo che un grafo è localmente numerabile se l'insieme di lati che connettono due nodi è numerabile per ogni coppia di nodi. ricordo anche che un grafo è connesso se fra ogni due nodi esiste un cammino di lunghezza finita.

Teorema
Sia G un grafo. Se G è localmente numerabile e connesso, allora G è numerabile.

Dimostrazione
Si fissi un nodo arbitrario v e si definisca V_n l'insieme dei nodi distanti n da v.

A causa della locale numerabilità, V_n stesso è numerabile, e dato che G è connesso, allora

V=\bigcup_{n \in \mathbb N} V_n

è un insieme numerabile in quanto unione numerabile di insiemi numerabili.

Dato che G è localmente numerabile, allora fra ogni due lati ci sono al massimo un insieme numerabile di lati. Quindi G ha al massimo NxNxN lati, e quindi G è numerabile, q.e.d..

domanda di oggi:

Si può usare un argomento simile per dedurre la numerabilità dall'irridicubilità?

secondo me, si.

ps: il concetto di connessione per cammini e di connessione topologica sono equivalenti per un grafo!

martedì, dicembre 04, 2007

vortici extradimensionali

è un'anfora di energia cosmica... ed è puntata contro di me!

crystal


qualche giorno fa, scrivendo la tesi, ho fatto una divertente osservazione riguardante grafi infiniti. partiamo dal caso finito e immaginiamo di avere una stella con un numero finito di punte, cioè un punto da cui si dipartono un numero finito di segmenti. su ognuno di questi segmenti abbiamo un'equazione di schrödinger che governa una funzione d'onda. supponiamo che non ci sia assorbimento ne eccitazione nel punto centrale, cioè che tutti gli elettroni che arrivano al centro possano proseguire.

la cosa migliore per studiare questo problema è scrivere il funzionale dell'energia, che altro non è che l'integrale su tutta la stella del gradiente quadrato della funzione d'onda; alle funzioni sui diversi lati si impone solamente che esista la derivata e che abbiano un valore comune al centro. questo ansatz funziona, e l'operatore associato a questo funzionale dell'energia è quello giusto.

ancora meglio: in questo caso, l'equazione di schödinger ha tutte le proprietà possibili e immaginabili, e, per riassumere in poche parole, è quasi indistinguibile da un'equazione di schrödinger su un dominio. in particolare, se la funzione d'onda è concentrata su un segmento, allora si espanderà in tutti gli altri.

nel caso la stella abbia infiniti lati. accade qualcosa di strano: il nodo centrale si comporta come se fosse imposta una condizione di dirichlet. in pratica, è un buco nero che inghiotte tutti gli elettroni che vengono a trovarsi li.

una spiegazione intuitiva è la seguente: immaginate di essere un elettrone in procinto di attraversare il nodo centrale. per simmetria avete una probabilità identica di passare ad ogni altro lato. dato che i lati sono infiniti, questa identica probabilità è 0, è così venite risucchiati da un vortice extradimensionale. amen.

ps: per altro: così si possono intrappolare funzioni d'onda in un lato prefissato.