Funzioni armoniche (I)

Mi sto avvicinando alla discussione della tesi, e ho deciso di riguardarmi un po' di cose che stanno pian piano scomparendo dalla memoria. Ne approfitto per risvegliare dalla sua morte apparente il mio blog, rendendo onore al suo nome.

Perchè l'operatore di Laplace è fondamentale?

Tutti sanno che per un campo vettoriale v vale il teorema della divergenza



Ora, immaginiamo che il campo vettoriale sia il gradiente di una funzione f sufficientemente regolare. Dato che vale la relazione (basta farsi i conti!)



allora usando il teorema della divergenza sul gradiente di f si ottiene che



dove la seconda uguaglianza altro non è che la definizione della derivata normale.

Questa relazione ha un sacco di consequenze divertenti. Ad esempio, supponiamo che f sia armonica, cioè che e supponiamo che il nostro dominio sia unapalla di raggio R. Allora la derivata normale su ogni sfera di raggio r < R può essere espressa come



per ogni r e con F funzione crescente. Se f è armonica, allora l'espressione, che è continua in r, si annulla, e quindi assume sempre il valore assunto in 0, che è f(0). (se non vi ricordate cos'è F, basta moltiplicarla per l'inverso di f(0)).

In pratica, quello che abbiamo appena derivato è il teorema del valor medio, che dice che se f è armonica allora f(0) è uguale al valore dell'integrale di f su ogni sfera.