martedì, giugno 17, 2008

Manipolazioni

Il mio relatore di Ulm fa sempre notare che gli ingegneri, pur non sapendo cos'è una distribuzione, maneggiano con abilità le delta di Dirac, utilizzandone abilmente le regole di manipolazione matematica.

La regola che trovo più affascinante è la formula che regola la composizione della delta di dirac con una funzione f che ha zeri semplici in x_i:

\delta(f(x))= \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|f'(x_i)|}

Deriviamola. Per prima cosa, ricordiamo che è lecito usare la delta di dirac solo sotto il segno di integrale. Quindi, ciò che dobbiamo calcolare è

\int h(x) \delta(f(x))dx

per tutte le funzioni test h. Si noti che gli estremi di integrazione non contano.

Il nostro obiettivo è integrare per sostituzione tramite la sostituzione

x \mapsto f^{-1}(x)

Ci ricordiamo che la derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata di una funzione. Utilizzando tale formula si ottiene il risultato

\int h(x) \delta(f(x))dx = \int h(f^{-1}(x)) \delta(x) \frac{1}{|f'(f^{-1}(x))|} dx

Cioè, osservando che l'inversa di f calcolata in 0 altro non è che l'insieme delle radici di f

\delta(f(x))= \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|f'(x_i)|}


La cosa più affascinante è che non conoscevo questa regola: mi ci sono imbattuto leggendo Classical Electrodynamics di Jackson...

2 commenti:

ventopiumoso ha detto...

gran bel testo il jackson. la parte sulla teoria del potenziale, poi, è notevole.

Lap(l)aciano ha detto...

Una delle cose belle di aver finito il dottorato è che finalmente ho tempo di leggere tutti i "gran bei testi" che non avevo avuto il tempo di guardarmi...