giovedì, giugno 05, 2008

Teorema spettrale

In mathematics, particularly linear algebra and functional analysis, the spectral theorem is any of a number of results about linear operators or about matrices.

Wikipedia


Ma, direte voi, fra una settimana hai l'esame di dottorato e passi tempo a scrivere sul blog?

Studiando, ho incontrato finalmente un'esposizone coincisa e comprensibile e self-contained del teorema spettrale. Grazie a chi? Grazie a Paul Halmos.

Cerco di riportare il suo argomento del paragrafo 35 di Introduction to Hilbert space: euristica spettrale.

Il ragionamento è molto semplice: consideriamo una funzione semplice sui reali e chiamiamola f.

Per definizione, allora, seguento la notazione di Wiki


f=\sum_{k=1}^n a_k 1_{A_k}= \sum_{k=1}^n a_k 1_{f^{-1}(\{a_k\})}


Ora si noti che, se al posto della funzione indicatrice f^{-1}(\{a_k\}) avessimo usato la misura di f^{-1}(\{a_k\}), allora il risultato del calcolo precedente sarebbe l'integrale di f.

Invertendo il ragionamento, consideriamo una misura (che non è proprio una misura, ma piuttosto ciò che si chiama una misura spettrale) con valori nello spazio delle funzioni indicatrici definita da

E(M)=1_{f^{-1}(M)}

e notiamo che rispetto a questa misura, l'integrale di funzioni semplici si riduce ad una combinazione lineare di funzioni indicatrici. In particolare, il calcolo precedente mostra che, per funzioni semplici vale l'identità

f=\sum_{k=1}^n a_k 1_{A_k}= \sum_{k=1}^n a_k 1_{f^{-1}(\{a_k\})} = \int \lambda dE(\lambda)

Ora dobbiamo solo trovare il modo di estendere questo ragionamento a funzioni semplici e di generalizzare alcuni concetti al caso in cui E ha valori nell'insieme delle proiezioni ortogonali di uno spazio di Hilbert, ed ecco il teorema spettrale...

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