Teoria alfa - assiomi numerici

Continuo la discussione iniziata qui e qui deglia assiomi della teoria alfa di Benci e Di Nasso.

Oggi parliamo degli:

ASSIOMI NUMERICI

1) Se f è una successione costante, cioè f(n)=c per ogni n, allora f(Q)=c.

2) Se f è l'identità, cioè f(n)=n per ogni n, allora f(Q)=Q; Q non è un numero naturale.

Vanno ovviamente comparati con i corrispondenti assiomi di estensioni 1) e 2).

La cosa più interessante è messa in evidenza nell'articolo stesso: l'assioma 2 è anche un esempio di una successione con la seguente proprietà: tutti gli f(n) sono in un certo insieme A, ma il valore ideale di f non è nello stesso insieme. Dato che l'insieme in questione è N, questo rende chiaro ancora una volta che f(Q) è simile al limite, ma è diverso.

Con l'assioma 1 e l'assioma di composizione si possono cominciare a fare conti scolastici:

Esempio

Si definisca f(n)=n²-1. Per l'assioma numerico 1), f(Q) = (n-->n²)(Q) - 1 = Per l'assiome di composizione, (n-->n²)(Q)=(n-->n)(Q)², e così otteniamo f(Q)=(n-->n)(Q)²-1. Per l'assioma numerico 2) (n-->n)(Q)=Q e quindi f(Q)=Q²-1. Lo stesso ragionamento vale per i polinomi.

Proposizione

Se P è un polinomio in x, allora P(Q) è il valore ottenuto sostituendo Q a x.