domenica, novembre 16, 2008

Bernoulli

Spesso mi piace pensarlo: uno dei piaceri più sottili della matematica è scoprire banalità di cui non ci si era mai accorti.

Consideriamo, a mo' d'esempio, una variabile casuale di Bernoulli (non so quante volte ho già linkato la pagina di Wiki sulle variabili casuali...). Essa vale 1 con probabilità 1/2 e vale -1 con probabilità 1/2. Nel caso di una famiglia composta da due variabili di Bernoulli indipendenti è semplice capire come faremo ad assegnare le probabilità: ognuno dei quattro valori possibili, cioè


(1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1)


è assunto dalla nostra famiglia di variabili casuali con probabilità 1/4.

Ugualmente si prosegue per una famiglia composta da N variabili di Bernoulli indipendenti. Ognuno dei 2^N valori ha probabilità 2^-N e siamo tutti contenti.

Ma che succede se consideriamo infinite variabili indipendenti di Bernoulli? Succedono due cose gravi. La prima è che se divido 1 per 2^N ottengo 0 e quindi non è chiaro che misura debba avere ognuna delle successioni del tipo (1,1,-1,1,-1,...) nel nostro spazio di probabilità.

Più che grave, questa faccenda sarebbe solo un po' ironica, perchè se mi è richiesto di simulare una tale sequenza, scrivo rapidamente un programmo in pseudocodice

while 0<1:
print random in {0,1}

e mi cavo d'impiccio. Quindi sono ina situazione in cui so esattamente di cosa parlo, ma non so scriverlo in matematica.

Allora potrebbe venirmi in mente di usare una qualche variante della NSA e assegnare ad ogni successione un valore infinitesimo pari 1/|2^N|.

E qua arriva la seconda cosa grave: quel numero infinito |2^N| è un mostro, perchè è più che numerabile!

Non so perchè, ma quando mi sono accorto di questo inghippo sono rimasto un po' basito.

2 commenti:

hronir ha detto...

Non ho capito cosa intendi quando dici che sai esattamente di cosa parli ma non sai come scriverlo in matematica.
Quel programmino in pseudocodice fornisce una possibile sequenza, ma non ti dice che probabilità ha, quella particolare sequenza, fra tutte le sequenze possibili!

Lap(l)aciano ha detto...

Ciao hronir,

ero retorico: ovviamente so bene come scriverlo in matematica.

Il problema è che il sample space è {0,1}^N e che quindi è più che numerabile.
Se fosse numerabile potresti assegnare ad ogni successione un valore maggiore di 0 e sperare che la serie converga.

Dato che non lo è devi affaticarti con un po' di teoria della misura per farlo in maniera corretta.

E questo mi sembra in evidente contrasto che il programma in pseudocodice produce esattamente quello che desideriamo: ovvero una successione di variabili di Bernoulli indipendenti, senza bisogno di complicazioni di natura teorica.

Ti faccio notare, per altro, che il problema si presenta ogni volta che tu prendi una famiglia infinita di variabili casuali non banale: ognuna della variabili casuali ha almeno due possibili valori, 2^N è più che numerabile, ergo non è possibile fornire una distribuzione di probabilità in maniera intuitiva, ma devi definire uno spazio di probabilità continuo.

A presto
Stefano