domenica, dicembre 07, 2008

Operazioni senza riporto

Questo fine settimana l'ho passato ad insegnare matematica alla cugina della mia ragazza. E mentre le spiegavo in ancora un'altra maniera la divisone polinomiale, ho capito a cosa servono i polinomi, e anche perchè i polinomi sono meglio dei numeri.

Consideriamo un numero N. Evidentemente, N si può scrivere come

a_n10^n+ a_{n-1} 10^{n-1} + \ldots + a_0

dove gli a_n altro non sono che le cifre del numero in base 10. Si noti ch la decomposizione è unica, dato che i coefficienti devono essere naturali fra 1 e 10. In efftti, contando in base 10,

N=a_na_{n-1}\ldots a_0

Ovviamente si può fare lo stesso sostituendo 10 con 2 (notazione binaria) o con qualsiasi altro naturale venga in mente.

A cosa serve? Per quale motivo lo scrivere i numeri in questa maniera è stata una delle più grandi conquiste dell'umanità? Principalmente a questo: se abbiamo fissato una base, è possibile addizionare, moltiplicare o dividere numeri fra loro semplicemente applicando degli algoritmi alla sequenza di cifre che lo rappresentano.

Il problema di tutti questi algoritmi è il riporto. Sia sommando, che moltiplicando, che dividendo numeri fra loro, è possibile che i coefficienti di una certa potenza di 10 (o di 2, o della base scelta) si sommino in maniera tale da portare ad un cambio di potenza.

Mi spiego con un esempio. Nella somma di 5 e 5, ognuno dei due sommandi e una potenza zeresima di 10, mentre il risultato è una potenza prima di 10. Le potenze della base si sono mischiate! Per tenere conto di questo fatto è necessario "fare il riporto", cioè tenere conto di come le potenze di un certo grado si sono sommate per dare origine ad una potenza di grado superiore.

Nei polinomi tutto questo non esiste! Per prima cosa notiamo che scrivere un polinomio mi da una rappresentazione parametrica dei numeri, in cui la base scelta è un parametro. Per capire cosa voglio dire, si osservi che la forma di un polinomio

a_nx^n+ a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0

e analoga alla rappresentazione di un numero in somme di potenze di 10, se sostitutiamo i coefficienti interi fra 0 e 9 con coefficienti reali e 10 con x.

Il grande vantaggio dei polinomi è che le potenze della variabile non possono sommarsi per ottenere un elemento di grado maggiore! Quello che voglio dire è che

ax +bx \quad \mbox{differisce da} \quad x^2

per ogni scelta dei valori a e b. Nel senso che il primo polinomio non è mai uguale al secondo nel senso dell'uguaglianza di funzioni, anche se possono assumere lo stesso valore per un certo valore di x.

A rigore, dunque, addizione, moltiplicazione e divisione di polinomi sono più facili di quelle fra numeri, dato che possono essere eseguite senza riporto. Un esempio? Voglio eseguire la moltiplicazione

(x^3 + 3x^2 + 5)(2x^2 -5 x)

A scuola avreste insultato l'insegnate, dato che sono un trinomio e un binomio: fanno sei termini da sommare appropriatamente! Eseguiamo invece la moltiplicazione dei coefficienti senza riporto

\begin{array}{ccccccc}&&1& 3 & 0& 5 & \times \\&&&2&-5& 0 & =\\\hline\\&&0& 0 & 0& 0\\& -5& -15& 0& -25 & - \\ 2 & 6& 0 & 10& -&\\\hline\\ 2 & 1& -15& 10& -25& 0\end{array}

Il risultato della moltiplicazione dei polinomi è dunque

 2x^5 + x^4 -15x^3 +10x^2 -25x

Eseguire la moltiplicazione nella maniera convenzionale porta, ovviamente, allo stesso risultato.

C'è un prezzo da pagare per questa semplicità: il problema dell'unicità della rappresentazione di un numero è molto più complesso che nel caso delle basi fisse.

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