giovedì, ottobre 22, 2009

Sorpresa

Quando era partito questo sito, un mese fa, pensavo fosse una iniziativa estemporanea che sarebbe terminata dopo poche settimane. E invece...

mercoledì, ottobre 21, 2009

FM09010 (I)

So, let us start we the new lecture: Fourier methods and their applications to neuroscience.

Preliminary disclaimer: there are many many approaches to the topic. I will follow this one. In fact, Osgood's lecture is by far better than what I can hope to do in my life, but he has a slow pace which is not suitable for PhD students at the BCCN.

In the first lecture we explained the basic idea, which is simple: you have a complex periodic function (where complex stays for both "complicated" and "not real") and you want to represent it as weighted sum of simpler (but also not real) periodic functions. For definiteness, let us say that all functions have period 1.

We can choose to use trigonometric functions or complex exponentials. We will choose the complex exponentials for different reasons. To be precise, we want to express any periodic function of period 1 as the weighted (probably infinite) sum of the functions

e_n(t):=e^{2\pi nit}
where n ranges in the integers.
The difficult problem is: how to find the weights for the sum? It goes in the following way. You start from what you are looking for

f(t)=\sum_{n \in \mathbb Z} c_n e^{2\pi nit}

Here, the numbers c_n are the (unknown!) weights of the linear combination that you want to represent the function f. We now try to isolate a single coefficient, say the kth, to know whether is possible to get a formula for a single coefficient depending only on f and not on the other coefficients. So you get

f(t)- \sum_{n\neq k} c_n e^{2\pi nit} = c_ke^{2\pi kit}

You divide by the complex exponential obtaining

f(t)e^{-2\pi kit}- \sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit} = c_k

For this you have to use all properties of the complex exponentials. Which is, by the way, only one. And in fact it is the same as for the real exponential: "sum is mapped into multiplication". This is one motivation for using complex exponentials instead of trigonometric functions.

You now have the problem that you have expressed one c_k in terms of the other ones, but you want to have c_k without its companions. Algebra gave us everything she could, so let us try with Analysis. He suggests to integrate between 0 and 1 (which is the period of all functions here) obtaining

\int_0^1 f(t)e^{-2\pi kit} dt- \int_0^1\sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit}dt = c_k

The c_k, integrated, gives c_k! And now the magic. Compute the integral of the complex exponentials: it gives 0.
So, you are left with the famous expression

\int_0^1 f(t)e^{-2\pi kit} dt- \int_0^1\sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit}dt = c_k=:\hat{f}(k)

where we have introduced the symbol \hat{f}(k). We will call this number by the suggestive name of the kth Fourier coefficient of f.

venerdì, ottobre 16, 2009

venerdì, ottobre 02, 2009

Gioelli della matematica (I)

Oggi parliamo dell'articolo Über die Unbeschränktheit der Operatoren der Quantenmechanik di Helmut Wielandt, apparso sui Mathematische Annalen nel 1949.

Il titolo, tradotto in italiano, vuol dire "Sull'illimitatezza degli operatori della meccanica quantistica". Di cosa stiamo parlando? Semplificando un po, in meccanica quantistica tutte le grandezze diventano operatori. E se due grandezze A,B sono una la trasformata di Fourier dell'altra, allora devono soddisfare la relazione
[A,B]=i \hbar
dove abbiamo indicato [A,B]=AB-BA il commutatore dei due operatori.

Questa relazione è detta la relazione canonica di commutazione, di più qui. Nel 1947 Wintner dimostrò, utilizzando una tecnica sviluppata da Rellich nel 1946, che due operatori che soddisfino le relazioni di commutazione devono essere illimitati. Tale dimostrazione era però complicata, e nel 1949 Wielandt diede una dimostrazione elementare di questo fatto. Come funziona?

Wielandt parte dall'osservazione che, se
[A,B]=1
allora
[A,B^{n+1}]= (n+1)B^n
La dimostrazione di questo fatto è una semplice manipolazione algebrica e un'altrettanto semplice induzione.

Da questo fatto, e dalla disuguaglianza triangolare inversa applicata alla norma operatoriale di A e B, ottiene una stima della norma di B
(n+1)|B^n|\leq 2|A||B||B^n|
che vale per tutti gli n.

L'attento lettore avrà già capito che questa stima implica che B=0, di conseguenza anche A=0, e così abbiamo ottenuto che l'unico operatore limitato che soddisfa le relazioni di commutazione è l'operatore nullo non esistono operatori limitati che soddisfano le relazioni di commutazione.

venerdì, settembre 25, 2009

Moltiplicatori di Fourier

Ieri ho finalmente capito cosa sono, o meglio, realizzato qual è l'utilità dei moltiplicatori di Fourier.

Prima di spiegarlo, abbiamo bisogno di due premesse.

La prima premessa: la rappresentazione temporale e la rappresentazione spettrale di una funzione sono equivalenti, nel senso che contengono la stessa quantità di informazione.

La seconda premessa: in analisi funzionale spesso si considerano degli operatori lineari molto semplici, chiamati moltiplicatori; il moltiplicatore, chiamiamolo M, con una data funzione, diciamo m, è definito come
 Mf(x) := m(x)f(x) 
Questi operatori vengono studiati per la loro semplicità e perchè è possibile illustrare molte definizioni e molti teoremi utilizzando questi operatori. Ad esempio, lo spettro di un moltiplicatore (a meno di dettagli tecnici) corrisponde all'immagine della funzione m.

Ora, dato che come abbiamo detto rappresentazione temporale e rappresentazione spettrale sono equivalenti, è lecito utilizzare operatori di moltiplicazione anche per una funzione in dominio di frequenza. Cioè, se \mu è una funzione, il moltiplicatore in dominio di frequenza è
 \mathcal Mf(\omega) := \mu(\omega)f(\omega) 
Adesso siamo in grado di definire un moltiplicatore di Fourier T, che è la rappresentazione temporale di un moltiplicatore in spazio di frequenza, cioè
Tf= \mathcal F^{-1}\mathcal M \mathcal F f
Detto in italiano: consideriamo la rappresentazione spettrale di una funzione f; la moltiplichiamo con una funzione \mu, e quello che otteniamo lo rappresentiamo temporalmente. Questa serie di operazioni definisce un moltiplicatore di Fourier.

Cui prodest? Qual è il vantaggio di tali operatori? Ma è chiaro! Che è possibile controllare esattamente come questi operatori agiscono sullo spettro!

Alcuni esempi importanti: il Laplaciano, la trasformata di Hilbert, tutti gli operatori di convoluzione, tutti gli operatori differenziali a coefficienti costanti sono moltiplicatori di Fourier.

giovedì, settembre 24, 2009

Pubblicità

Questo semestre terrò il corso per dottorandi di biologia (e fisica) "Analisi di Fourier e applicazioni alle neuroscienze".

Cercando su internet ho trovato questo bellissimo corso di Brad Osgood.

È ad un livello molto di base, ma tutto è spiegato così bene, e con una tale chiarezza di idee, da lasciarmi stupefatto.

giovedì, settembre 03, 2009

Strategie energetiche

Forse non tutti sanno che amo i giochi di strategia quanto la matematica; anzi, secondo me sono due facce della stessa medaglia.

Giochi da tavola, come Scacchi, Siedler, Risiko, Axis and Allies, Agricola, Star Quest, ma anche al computer come Civilization, Age of Empires, Pretorians, The Guild .

Ora, una delle cose fondamentali nei giochi di strategia è, tautologicamente, la pianificazione. Essa diventa particolarmente importante nel caso si vadano a compiere azioni irreversibili; se io muovo il pedone sulla colonna f, devo sapere che il mio arrocco corto sarà debole per sempre. Posso prendere il rischio, ma devo esserne cosciente.

Io dunque mi chiedo: siamo convinti che i nostri amministratori, di destra, sinistra e centro, italiani e tedeschi, siano coscienti dei rischi che ci hanno fatto assumere decidendo di usare risorse rare come petrolio e uranio per produrre energia elettrica? Non è più sensato produrla in maniera rinnovabile, magari con costi più alti?

Tornando a noi, la domanda cruciale è: fra 500 anni come faranno i nostri nipoti a far andare le navi? O satelliti e navi spaziali? O produrre plastica?

mercoledì, settembre 02, 2009

Dialetti

L'ultima volta che siamo stati in Italia, io e Ulla abbiamo comprato una montagna di classici perche lei possa conoscere le basi della letteratura italiana. Come di solito avviene in questi casi, ho ricominciato a leggere vecchi classici.

Così mi è capitato di riprendere in mano I promessi sposi e di ricominciare a leggerlo.

Subito dopo aver introdotto il falso manoscritto secentesco, Manzoni ne commenta lo stile, in una sorta di "manifesto della lingua":
Ben è vero, dicevo tra me, scartabellando il manoscritto, ben è vero che quella grandine di concettini e di figure non continua così alla distesa per tutta l'opera. Il buon secentista ha voluto sul principio mettere in mostra la sua virtù; ma poi, nel corso della narrazione, e talvolta per lunghi tratti, lo stile cammina ben più naturale e più piano. Sì; ma com'è dozzinale! com'è sguaiato! com'è scorretto! Idiotismi lombardi a iosa, frasi della lingua adoperate a sproposito, grammatica arbitraria, periodi sgangherati. E poi, qualche eleganza spagnola seminata qua e là; e poi, ch'è peggio, ne' luoghi più terribili o più pietosi della storia, a ogni occasione d'eccitar maraviglia, o di far pensare, a tutti que' passi insomma che richiedono bensì un po' di rettorica, ma rettorica discreta, fine, di buon gusto, costui non manca mai di metterci di quella sua così fatta del proemio. E allora, accozzando, con un'abilità mirabile, le qualità più opposte, trova la maniera di riuscir rozzo insieme e affettato, nella stessa pagina, nello stesso periodo, nello stesso vocabolo. Ecco qui: declamazioni ampollose, composte a forza di solecismi pedestri, e da per tutto quella goffaggine ambiziosa, ch'è il proprio carattere degli scritti di quel secolo, in questo paese. In vero, non è cosa da presentare a lettori d'oggigiorno: son troppo ammaliziati, troppo disgustati di questo genere di stravaganze. Meno male, che il buon pensiero m'è venuto sul principio di questo sciagurato lavoro: e me ne lavo le mani.
Riuscirà Cota a dividere ciò che Manzoni ha unito?

venerdì, agosto 21, 2009

Barconi

Certo che ci vuole coraggio a definire i migranti che vengono in Italia su barconi malsicuri "un problema che affligge le nostre coste".

Pensavo che il problema fosse loro, dei migranti, e fosse anche un po' più grave di quello che si può immaginare Fabio Betti.

giovedì, agosto 20, 2009

Linguaggio

Una discussione con un mio caro amico ha fatto si che una riflessione che avevo in mente da molto tempo si cristallizzasse. Non pretendo di aver scoperto qualcosa di nuovo, ma vorrei scriverla per formalizzarla coerentemente. Il tema è l'inadeguatezza assoluta del linguaggio.

Per questo dobbiamo fare un passo indietro e vedere dove nasce questo linguaggio: il quale nasce nella mente. Spesso assumiamo implicitamente che il linguaggio che parliamo abbia qualche relazione col mondo esterno; questo però è un assunto indimostrabile ed è sicuramente falso in molte situazioni.

L'esempio più evidente, ma anche più banale, è quello delle illusioni ottiche . In esse è evidente che il linguaggio rispecchia la mente, e ci porta a descrivere in maniera ingannevole il mondo esterno, ammesso che esso esista in qualche senso del termine esistere. L'unica maniera per sottrarsi a ciò è, in questo caso, l'utilizzo di un linguaggio poco naturale come quello della matematica.

Un altro esempio, più stringente, è la sovrabbondanza nelle lingue umane di termini emozionali, che dunque riflettono stati interni della mente e che solo casualmente hanno la fortuna di essere comunicabili. Casualmente: a mio parere è un gran colpo di fortuna che tutti gli uomini abbiano un universo interiore simile e comunicabile.

Che poi non è nemmeno tanto vero. Ad esempio, i libri di Oliver Sacks contengono sterminati esempi di persone il quale mondo interiore è decisamente diverso dal nostro. Diciamo così: la maggioranza degli esseri umani possiede un universo interiore che permette di parlare con un linguaggio comune degli stati interni della mente.

Questa però è un'inadeguatezza relativa, dovuta al fatto che c'è la mente fra il mondo e il linguaggio, e che quindi tutto ciò che arriva a quest'ultimo è mediato da essa, con tutti i problemi del caso. Per capire cos'è l'inadeguatezza assoluta assumiamo, per un attimo che ci sia una bigezione fra il mondo e la mente, cosicchè parlare degli stati interni della mente, o degli stati del mondo è la stessa cosa. Se il linguaggio fosse adeguato, allora dovrebbe essere in grado di comunicare questi stati interni. È qui sorge il problema: il linguaggio è uno strumento culturale, sviluppatosi con alcuni obiettivi (cacciare, raccogliere, trovare un partner etc). E i suoi mezzi sono buoni per tali obiettivi, ma non necessariamente per altri.

Questo si vede quando si tenta di piegare il linguaggio a fini che non sono i suoi: ad esempio comunicare gli stati interni, o addirittura affermare verità logiche su di essi. Fra le altre cose, questo è dovuto al fatto, banale, che il linguaggio è un insieme finito di simboli, e per questo stesso motivo incapace di rappresentare un universo (probabilmente) inifinito, o comunque molto più grande, di stati interni.

Sembra un ragionamento astratto, ma è una questione pratica! Il linguaggio, nato per comunicare cose essenziali, o comunque non per parlare del mondo, ma per sopravvivere in esso, è stato piegato a questa necessità, per il quale è totalmente inadeguato.

Questo stato di cose ha una conseguenza bizzarra, ed è qua che mi riallaccio (anche se solo parzialmente) alla discussione col mio caro amico. Che è praticamente impossibile formulare leggi valide in termini di linguaggio naturale. I motivi sono i più svariati, ma dipendono tutti sostanzialmente dal problema di esaurire i casi di applicazione di una regola, a meno che non si desideri utilizzare una regola che valga sempre, cosa evidentemente assurda, già ad un livello puramente linguistico.

Un esempio banale: supponiamo di enunciare la legge "D'estate ci sono più di 30 gradi." Evidentemente imprecisa. "D'estate, a Friburgo, la temperatura massima è più di 30 gradi". Per rispondere alle obiezioni sulle eccezioni, inseriamo una variabile temporale. "Noi prevediamo che, nelle estati del III millennio, a Friburgo, la temperatura massima sarà sempre più di 30 gradi". Ora vengono i problemi di misurazione. "Durante il III millennio, la temperatura massima misurata d'estate nella piazza di Friburgo sarà superiore ai 30 gradi". Come immaginate, si può continuare quasi all'infinito, e stiamo usando il linguaggio per esprimere uno stato di cose semplice ed oggettivamente misurabile! Pensate cosa accade quando bisogna esprimere con questo linguaggio verità su concetti trascendenti, o verità filosofiche.

Perchè scrivo queste cose? Perchè spesso soffro molto per l'inadeguatezza espressiva del linguaggio naturale.

domenica, agosto 16, 2009

Distribuzione di Poisson

Cos'è la distribuzione di Poisson? A cosa serve? Come è possibile derivarla come somma di variabili di Bernoulli infinitesimali?

Queste ed altre domande sono risposte nella prima trasmissione di CardaTV!

giovedì, agosto 06, 2009

Discriminazioni matematiche

Sono contento di essere tornato a Friburgo, dopo la mia maratona di conferenze. Così ho anche il tempo di imparare qualcosa!

Ad esempio, oggi ho perso un po' di tempo a studiare la curva ROC. Spieghiamo il problema con un esempio: supponiamo che abbiate un forte mal di denti agli incisivi e andiate dal medico. Egli vi spiega che può avere due cause: un'infenzione del virus CRO o un'infezione del batterio ORC. L'unica maniera per distinguerli è misurare nel sange la concentrazione dell'anticorpo COR. Se è alta avete il temibile batterio, se è bassa avete l'arrendevole virus.

"Quanto alta? Quanto bassa?" sono le domande che subito risuonano (dovrebbero risuonare) nel vostro brillante cervelletto di matematici. Il problema è abbastanza complesso, anzi molto complesso. La prassi è quella di stabilire una soglia: al di la' di questa soglia si crede cha abbiate il batterio, al di sotto si crede che abbiate il virus.

Ovviamente può essere che, casualmente, abbiate un valore basso di anticorpi, ma che comunque vi siate presi il batterio (falso negativo), o cha abbiate un valore alto, ma causato dal virus (falso positivo). La curva ROC è la curva che vi dice qual'è la percentuale di veri positivi che è da attendersi supponendo di avere un dato numero di falsi positivi. È fonte di molte interessanti informazioni statistiche e vi consiglio di leggere almeno la pagina di wikipedia.

mercoledì, luglio 29, 2009

Appello: dimostrazione del teorema dei 4 colori

Qualcuno sa se questo articolo e' vero?

L'autore da' una dimostrazione senza computer del teorema dei 4 colori. Potrebbe essere possibile, soprattutto dato che l'autore (Ibrahim Cahit) sembra essere un professionista.

Per i non-addetti ai lavori: il teorema dei 4 colori afferma che e' possibile colorare ogni mappa (senza enclavi) con al massimo 4 colori differenti. E' stato provato alla fine degli anni '80 verificando ogni caso possibile, dopo aver ridotto il problema ad un numero finito (ma grande) di casi critici possibili.

Ovviamente fu quasi uno scandalo per la comunita' matematica, quindi sarebbe veramente interessante sapere se esiste una dimostrazione "umana".

Purtroppo non sono un esperto di teoria dei grafi, quindi non penso di poter verificare la dimostrazione di persona: qualcuno sa qualcosa?

martedì, luglio 28, 2009

Sfere dantesche

A quei pochi fortunati fra voi che hanno accesso al Mathematical Intelligencer, e che hanno una certa passione per l'arte e la letteratura, non posso far altro che consigliare di leggere The geometry of paradise, un bellissimo saggio di Mark Peterson sulla costruzione geometrica sottostante all'universo dantesco; in particolare dell'Empireo.

Peterson porta un sacco di argomenti molto convincenti per la tesi che Dante abbia consapevolmente utilizzato come modello S3, sarebbe a dire la superficie di una palla a quattro dimensioni. Puo' sembrare un po' sorprendente, date le conoscenze primitive che i medievali avevano della matematica, ma leggere il saggio convincera' abbastanza rapidamente della plausibilita' di tale interpretazione.

Dato che qui non siamo pero' su un blog di letteratura, ma su uno di matematica, cerchiamo di spiegare cos'e' S3. Come ho detto, essa e' la superficie di una palla quadridimensionale; algebricamente, se (x,y,z,t) sono le nostre coordinate, la palla e' determinata dall'equazione

x^2+y^2+z^2+t^2 \leq 1
cioe' fanno parte di tale palla tuttio i vettori che distano meno di 1 dall'origine. Per ottenere la sfera, si sostituisca il minore o uguale con uguale:

x^2+y^2+z^2+t^2 = 1
e' l'equazione algebrica che identifica S3.

Quali sono le caratteristiche di questa sfera?

1) Localmente sembra esattamente come R3; cioe' non e' possibile determinare da una misura locale se ci troviamo in R3 o in S3
2) La sfera non ha un bordo: non si puo' cadere dal bordo della terra, perche' la sua superficie e' S2! E non si puo' arrivare alla fine dell'empireo perche' e' S3!
3) Ovviamente, esattamente come la superficie della terra, il volume di S3 e' limitato. Sembra contraintuitivo, ma e' cosi'.

Insomma, se avete tempo, leggetevi l'articolo che e' estremamente interessante!

mercoledì, luglio 08, 2009

Giro di Germania

Da oggi sono in giro per conferenze. Prima qua, poi qua, qua e qua.

Se ci riesco, vi mando un po' di notizie.

lunedì, luglio 06, 2009

Bilancio

Ho fatto un esperimento per due semestri: vedere che succede a far diventare di questo blog un diario professionale, inserendo i riferimenti alle lezioni.

L'esperimento è fallito, dato che mi ha tolto molto del piacere di scrivere su blog, e che la qualità di quello che ho scritto è stata decisamente bassa. Detto questo, è interessante vedere perchè l'esperimento è fallito.

Secondo me la causa principale di questo fallimento è il fatto che questo blog è principalmente una valvola di sfogo per le mie idee sotterranee. Per ciò che non ha un gran valore scientifico, ma piuttosto didattico, o estetico, o psicologico.

Quindi trasformarlo in uno strumento professionale ne ha distrutto un po' l'essenza.

Pazienza, gli esperimenti si fanno, e ogni tanto falliscono. Da oggi si riprende col vecchio stile.

venerdì, giugno 26, 2009

PP09 (VIII)

This week we have started the analysis of interactions between point processes. The oldest model in this context is probably due to Hawkes and it is based on the following idea.

We want to model a family point processes, each with its own events

t_j^n, \qquad j,n \in \mathbb N

where j is the index for the event and n is the index for the process. The simplest idea is to assume that each of the processes is Cox one, i.e. an inhomogeneous Poisson process whose rate function changes randomly in time. We then let depend the rate function on the realization itself of the point process, by convolving the realization with a causal kernel.

This procedure is known as a Hawkes process, and it is very useful. It only has a drawback for neuronal modeling: you cannot model inhibition, since your kernels have to be positive, but if you are interested in this problem, you probably should take a look at the lecture.

lunedì, giugno 15, 2009

Only to write that I (and many others) support pacific demonstrators in Teheran.

domenica, giugno 14, 2009

Auguri... (II)

Oggi mi sono ascoltato questa intervista a Maurizio Monti, del MSI. Al minuto 2:30 lui afferma, rispondendo all'intervistatrice che gli chiedeva se le divise delle ronde nere gli facessero venire in mente qualcosa
Ma sicuramente anche a me mi torna in mente qualcosa. [...] Il fascismo fa parte della storia italiana, fa parte del patrimonio del popolo italiano, è una cosa che è avvenuta tanti anni fa, è una cosa che può aver portato cose buone, e cose cattive, ma sa, i ricordi non fanno male a nessuno
Detto in altre parole: questi sono neofasciti (vedi qui), lo dicono pure, e non se ne vergognano.

PP09 (VII)

Last time we have defined the spectrum of a point process.

In general, spectral properties of stochastic processes are an interesting and difficult topic. Interesting because of the amount of information that can be extracted by analysis in frequency domain, and difficult mainly because it is quite difficult to measure the spectrum of a stochastic process.

Why it is difficult? To measure the spectrum, one idea could be to sample the stochastic process for a very long time, to plug the observed values into the definition of the Fourier transform, and take this as an estimation of the spectrum.

Does it work? If you do this, you're actually computing the periodogram of the stochastic process: as you can read in wikipedia, the periodogram has the problem to be a non-consistent estimator of the spectrum, and this fact can't be avoided but by collecting more observations of the process.

So, surprisingly, the key is not to observe the process for a long time, but to collect many independent observations of them.

Of course, observing for long times also is useful, e.g. to reduce spectral leakage, but this is another story...

giovedì, maggio 28, 2009

PP09 (VI)

Finally, the update of the lecture.

I will skip lecture VI: I was somehow busy last week, and I could not update the blog.

So, tuesday we started to learn something about networks. In particular, we discussed what can be said about the statistics of the superposition of renewal processes.

Superposition is not a renewal process.

Assume that you have two different processes and fix a spike at time -1 from the first process, the previous one being in a late past. Then, depending on when the last spike of the second process was, the hazard of the superposition will be different, and so it can't be a renewal process. The exception is of course the superposition of Poisson processes for which the hazard is constant.

Superposition of large numbers of renewal processes in equilibrium has exponential distributed intervals

How to see it? Formal method: compute the ISI distribution of the superposition, see the slides or the book by Cox. More intuitevly, you can reason in the following manner: first discretize with width dt the time and assume that a time 0 you had a spike from neuron 1. Now, the probability of having a spike at time 1 will be dt(r_1+r_2+...+r_n) approximately for all subsequent bins: this is because we are superimposing a large number of processes which all are in equilibrium. So, it is a Poisson process in discrete time, and going to the limit dt-->0 we obtain what we are looking for.

mercoledì, maggio 13, 2009

Auguri...

...a tutti quelli che vivono ancora in Italia e che mi chiedono perchè non voglio tornare. Quello che parla nel video linkato è il signor Borghezio.

martedì, maggio 12, 2009

PP09 (IV)

So, today we started a new topic: that of non stationary point processes. In particular, we looked at inhomogeneous Poisson processes and Cox processes. The former are Poisson processes where the rate change in time, in a deterministic manner. The latter are the same, only the rate is itself a stochastic process.

As usual, the lecture is here.

Inhomogeneous Poisson processes can be seen also from another point of view: instead of thinking of a process with changing rate. one can think of a standard Poisson process with intensity 1, where the time is distorted. The distortion is, of course, proportional to the rate.

The advantage of thinking that way is to define non stationary renewal process: a method is, in fact, to define a stationary process and then to operate a time distortion, which leads to a non stationary process.

And this is exactly what we will do next time.

venerdì, maggio 08, 2009

PP09 (III)

There was an error in the derivation of the partial differential equation for the age distribution in the slides. I have changed it, and now the slides are correct.

The derivation goes as follows; assume that we have a renewal process with age distribution u and hazard rate f. After a short time dt you will have that units with age s+dt at time t+dt are exactly the units that at time t had age s and that did not produce an event. Locally on time, the probability of not emitting an event is

P(\mbox{no event in (t,t+dt}) \approx e^{-\phi(s(t)) dt}

so, plugging this into the age distribution we obtain

u(t+dt,s+dt) \approx e^{-\phi(s) dt} u(t,s)

Fine. We now subtract u(t,s+dt) from both sides of the equation and expand the exponential function up to first order. This leads to

u(t+dt,s+dt)-u(t,s+dt) \approx (1-\phi(s) dt) u(t,s) - u(t,s+dt)

Rearrangin and dividing by dt leads to

\frac{u(t+dt,s+dt)-u(t,s+dt)}{dt} \approx \frac{u(t,s)- u(t,s+dt)}{dt}- \phi(s) u(t,s)

Of course this means

\partial_t u(t,s) \approx -\partial_s u(t,s) - \phi(s) u(t,s)

complemented with some initial and boundary condition.

venerdì, maggio 01, 2009

QED

Ieri ho notato che l'elettrodinamica quantistica e il quod erat demonstrandum hanno la stessa abbreviazione

Cosa significa?

martedì, aprile 28, 2009

PP09 (II)

Today we had another lecture about renewal processes. The focus was on variability of count statistics.

We have seen a theorem relating the asymptotics of the Fano factor, which is the normalized variance of the counts, and the coefficient of variation of the inter event times.

If you have a point process, you can think of two different types of variability:

1) variability within each realization: how inter event times do differ from each other;

2) variability across trials: how statistics change from one realization to the next.

It is quite intuitive that for renewal processes both type of variability should be somehow connected: if you have a long realization of a renewal process, you can cut that into pieces and construct many shorter realizations; the renewal property implies that the statistics of the every single realization will be independent from the others.

This is exactly the meaning of the theorem about the asymptotics of the Fano factor: in the limit, for a renewal process the Fano factor and the CV2 will coincide.

mercoledì, aprile 22, 2009

Why the exponential function?

In the first lecture of the point processes course, we have used at least twice the exponential function. It is maybe worth to shortly explain why the exponential function can be represented in different ways.
We are mainly concerned with the identities

e^{x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}= \lim_n (1+\frac{x}{n})^n

Let us start by defining the exponential function to be the only function for which

f(x) = f'(x)

up to a scalar factor. So, we have to check that both definitions enjoy this property. If it is case, then they will both agree with the exponential function, assumed that everything converges.

Let us check it for the first formula. Deriving term by term yields

d/dx\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n x^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^\infty \frac{ x^{n-1}}{(n-1)!}

By calling k the term n-1 we obtain our desired identity.

For the second one, observe that

d/dx f^n(x) = nf'(x)f^{n-1}(x)

Applying this to the product in the formula we obtain

d/dx(1+\frac{x}{n})^n =\frac{n}{n} (1+\frac{x}{n})^{n-1}

But since

\lim_n (1+\frac{x}{n})=1

one could hope that the identity holds. But here we have some difficulties with the convergence, indeed.

lunedì, aprile 20, 2009

PP09 (I)

Tomorrow the lecture "One-dimensional point processes" will start.

I will introduce the theory of point processes on the real line in a rather mathematically informal way. The main goal is to provide the students with some tools for modeling neural networks on the basis of point processes and to give them a feeling for what could be done with spike data, once you have collected them.

The first topic will be very basic: the time-representation of renewal processes. We will see how far we can go by describing renewal processes as sum of an i.i.d. sequence.

I will post the lectures here and will try to give some additional material here on the blog.

domenica, aprile 19, 2009

Al Mercato Nero

Ho varie cose su cui vorrei scrivere nei prossimi giorni: spero di riuscire ad evaderle tutte prima che il semestre cominci: varie conferenze a cui sono stato nell'ultimo mese, un'altra che stiamo organizzandon con un collega, l'ultimo paper che ho messo su arXiv, il corso che terrò questo semestre.

Comincio con la bizzarra installazione teatrale a cui ho partecipato ieri. La compagnia teatrale del teatro cittadino di Friburgo ha realizzato un progetto con delle scuole, in cui gli studenti dovevano realizzare delle rappresentazioni teatrali che trattasero di alcuni temi neuroscientifici: stimulazione cerebrale profonda, interfaccia cervello-computer ed altre amenità.

Ieri hanno presentato questi spettacoli, insieme a conferenze e dibattiti diretti da alcuni specialisti del settore. La sera è stato organizzato dalla compagnia un mercato nero del sapere. 48 esperti hanno offerto delle conversazioni di 1/2 ora su un tema a loro scelta al pubblico. Il pubblico poteva scegliere l'espero, e per 1 euro, parlare con lui del tema proposto.

Il mio tema era "Conway's game of life: l'ultimo gioco dove l'uomo è ancora superiore alla macchina". La mia idea era di partire dalla notizia che da pochi mesi esistono programmi giocatori di go in grado di competere con giocatori professionisti. Questo è stata una grande soprpresa per me, perchè nell'ambiente dei giocatori di strategia si andava mormorando che, a differenza degli scacchi, il go era insolubile per i computer, perchè non è attaccabile in maniera brute force, e per altri motivi più profondi. Da quello che ho capito essenzialmente è difficile scrivere un algoritmo di valutazione.

Poi volevo introdurre il game of life: spiegarne le regole, e giocare alcune situazioni semplici, per far capire che è in teoria è possibile costruire un computer composto da automi cellulari.

L'idea era di poi passare a Turing, Gödel, e argomentare che il computer non può, a causa del teorema di Gödel, superare l'uomo nel game of life.

Cosa a cui non credo fino in fondo, a dire il vero. Ma tant'è: tutte e due le conversazioni sono andate benissimo, nonostante il primo ragazzo fosse uno scolaro di 17 anni e il secondo uno studente di storia al 3° anno.

Di più: certamente un'esperienza ispiratrice e che ripeterò, qualora ce ne sia ancora l'occasione.

giovedì, aprile 16, 2009

Scoperte scientifiche

Oggi ho scoperto una nuova forma di autocondizionamento: la mia ragazza è (scherzosamente) convinta che la sua ipocondriaca convinzione di essere malata delle malattie più improbabili avrà un effetto anti-placebo su lei stessa, facendola realmente ammalare delle malattie di cui lei crede essere già malata.

Abbiamo già deciso il nome per questo disturbo: "metaipocondria".

martedì, aprile 14, 2009

25 deputati

Con poca voglia di lavorare appena tornato da Londra, girando un po' su internet ho trovato questa meravigliosa predizione di Ferrara prima delle elezioni:
Mi aspetto di portare alla Camera 20-25 deputati che avranno come missione quella di lanciare un grande piano nazionale di aiuto alla vita. E penso di riuscirci

Giusto per ricordare come è andata a finire.

martedì, marzo 31, 2009

Curve caratteristiche e curve di risposta

Cosa c'entra il metodo delle curve caratteristiche con le neuroscienze, mi chiedeva oggi un collega per telefono?

Se descriviamo un neurone tramite un processo puntuale caratterizzato da una certa frequenza condizionale h, allora avremo che l'evoluzione della distribuzione d'età sarà governata per tempi brevi t dall'equazione

\partial_t u = -\partial_\tau u - h u

dotata di una condizione iniziale. Questa è una equazione alle derivate parziali libera (cioè priva di condizioni al bordo), e la risposta in termini di frequenza di potenziali d'azione è data da

\int uh dx

Ma tale PDE può essere risolta analiticamente tramite il metodo delle caratteristiche: ecco che c'entra!

venerdì, marzo 27, 2009

NWG

Al moment sono alla conferenza della società tedesca di neuroscienze.

Matematica, ovviamente, ce n'è poca, ma sto studiando il metodo delle curve caratteristiche: potrebbe essermi d'aiuto per alcune questioni relative ai processi puntuali.

Per essere brevi: è un metodo che permette di ridurre equazioni alle derivate parziali del prim'ordine ad un sistema di equazioni alle derivate ordinarie, sfruttando il fatto che la soluzione dell'equazione forma una superficie di cui è noto lo spazio tangenziale.

Di più su Wikipedia...

lunedì, marzo 23, 2009

Diciotto anni

Deh! Non volerli vittime del mio fatale errore...

Norma


Raramente scrivo di politica. Spesso per far notare che scempio hanno fatto e stanno facendo del Petruzzelli.

sabato, marzo 14, 2009

Repubblica

Dato che il dm ha abbandonato il suo lodevole lavoro, provvedo io a listare i titoli una delle pagine di scienze più terrificanti della storia di repubblica.

Attrazione tra gli ultimi maschi l'anatra blu rischia di estinguersi.

Anoressia e bulimia tra ragazze prima causa morte per malattia.

A Parigi lo spot adesso ti spia. La città contro i pannelli hi-tech.

Santino, scimpanzè lancia-pietre che pianifica i suoi attacchi.

Ecco la zona del cervello dove nasce la fede in Dio.

Amore o odio a prima vista così decide la nostra testa.

Un partner più sensibile se ha orecchio musicale.

Faccio notare: 3 su 7 contengono riferimenti più o meno impliciti al sesso. 4 su 7 sono di neuroscienze. E non capisco perchè l'articolo su Parigi si trovi qui e non nella sezione tecnologia.

E poi la gente si lamenta che non esiste una cultura scientifica in Italia.

mercoledì, marzo 11, 2009

NSA: due strade diverse

Esistono sostanzialmente due approcci all'analisi non standard. Il primo, quello classico di Robinson è legato alla teoria dei modelli. Ridotto all'osso e oltre: si costruisce una "superstruttura" in cui esistono numeri naturali non standard, e si dimostra tramite ultrafiltri, che questa struttura è consistente logicamente.

Pur nel suo grande valore, sia intrinseco sia storico, questa versione della NSA è estremamente complicata, e richiede uno studio approfondito prima di capirci qualcosa.

L'alternativa è l'approccio assiomatico. Si introduce un nuovo predicato per gli oggetti di ZFC, "standard" e si pongono alcuni assiomi per operare con questo predicato. Se si ha fortuna (cioè se si usa una versione assiomatizzata da qualche matematico bravo) si disporrà anche di un algoritmo di traduzione dall'NSA all'analisi classica, che è una cosa utile. Questo è l'approccio scelto da Nelson.

Una variante è la teoria alpha di Benci e Di Nasso, in cui si introducono direttamente in maniera assiomatica i numeri non-standard.

Per un principiante, le teorie assiomatiche sono certamente meglio!

Letture consigliate:

[1] Benci, Di Nasso, "Alpha-theory: an elementary axiomatics for nonstandard analysis", Expositiones Mathematicae, 2003

[2] Davis, "Applied non standard analysis", Dover Publications, 2005

[3] Nelson, "Internal set theory: a new approach to nonstandard analysis", Bullettin of the American Mathematical Society, 1977

[4] Robinson, "Non-standard analysis", Princeton University Press, 1966

martedì, marzo 03, 2009

I numeri reali non sono numerabili

Nella discussione su questo post di tomate, ci si chiedeva se ci fosse una dimostrazione topologica, non basata sull'argomento diagonale di Cantor, del fatto che i numeri reali sono sovrannumerabili.

Sicuramente ve n'è una, nota come prima dimostrazione di non contabilità di Cantor, che è dovuta allo stesso Cantor. Leggasi la dimostrazione su Wikipedia.

Una dimostrazione più rapida è basata sul teorema di Baire. Il teorema di Baire afferma che uno spazio metrico completo non può essere unione numerabile di insiemi mai densi.

Un insieme mai denso è un insieme la cui chiusura ha insieme complementare denso.

Torniamo alla dimostrazione del teorema "R è sovrannumeabile". Ovviamente R è l'unione dei suoi punti. Ognuno dei suoi punti è evidentemente un insieme mai denso. Dato che R è completo, dal teorema di Baire si deduce che non è numerabile.

Faccio notare che la facilità della dimostrazione di questo teorema rispetto alla dimostrazione originale di Cantor è dovuta al fatto che il teorema di Baire è equivalente all'assioma della scelta dipendente.

martedì, febbraio 17, 2009

MCCN XIII

Nell'ultima settimana ci siamo occupati ancora una volta di processi puntuali. È stata molto simile alla precedente, solo un po' più didattica, dato che è stata durante la lezione e non durante l'esercitazione

Si trova qua.

sabato, febbraio 07, 2009

NSA e assioma della scelta

Ieri ho scoperto una cosa veramente interessante leggendo questo libro. E cioè che l'analisi non standard è indipendente dall'assioma della scelta, e necessità solo dell'esistenza di ultrafiltri.

Dato che quest'ultima è più debole dell'assioma della scelta stessa, e che i teoremi dell'analisi non standard possono essere provati anche nell'analisi standard, ne consegue che, se di un teorema esiste una dimostrazione non standard, allora il teorema stesso dipende solo dall'esistenza di ultrafiltri, e non dall'assioma della scelta.

Un altro motivo per studiarla, l'analisi non standard.

mercoledì, febbraio 04, 2009

Aria fresca

Sergio Zavoli, il nuovo presidente della commissione di vigilanza RAI, è nato il mio stesso giorno.

Di 85 anni fa.

MCCN XII

Giovedì scorso ci siamo occupati di effetti transienti in processi puntuali. È un argomento è un po' tecnico: proverò a riassumerlo senza troppe formule. Se un processo puntuale non è di Poisson, allora la probabilità che ad un certo punto venga generato un evento dipende dalla distanza nel tempo dell'ultimo evento: questa distanza la chiamo, per ovvi motivi, età del processo. Questa proprietà, in effetti, caratterizza un processo di Poisson.

Quando cominciamo ad osservare il processo, esso avrà un'età ben definita, specificata da noi. Ad ogni tempo successivo, però, l'età sarà essa stessa una variabile casuale. Pare allora ragionevole considerare che anche l'età iniziale sia una variabile casuale.

Supponiamo adesso di conoscere la distribuzione iniziale della variabile casuale in questione: il nostro obiettivo è quello di scrivere un'equazione alle derivate parziali (non stocastica) che spiega come si evolve la distribuzione iniziale delle età. Come si può vedere negli appunti, l'equazione è di prim'ordine, e non di secondo, a differenza delle equazioni di Fokker-Planck (e equazioni simili), che pure tendono a obiettivi simili.

PS: l'articolo su Wiki è ancora un abbozzo. Prometto di metterci mano al più presto...

martedì, febbraio 03, 2009

L'alieno imbroglione

Ho finalmente risolto l'enigma presentato qua.

In questo racconto, un alieno raccoglie tutti i dati sulla terra; per memorizzarli, un computer incide su una barretta metallica una fessura. Lo sviluppo binario della posizione della fessura è esattamente il file contenente i dati raccolti sul pianeta terra.

Questo, in via teorica, permette di conservare una quantità di dati infinita tramite un oggetto semplice quale una barretta metallica: basta memorizzare in maniera analogica, in maniera da evitare di utilizzare l'inefficiente memoria di un computer digitale.

L'errore nel racconto è: i dati, prima di essere stampati sulla barretta metallica, devono essere presenti nel computer che manovra la macchina che esegue la fessura. Esso deve quindi avere una memoria digitale sufficiente!

Ovviamente, si può ovviare a questo problema utilizzando un computer esso stesso analogico, ma questo non c'è, nel racconto.

PS: sto leggendo questo libro: fino ad adesso posso solo consigliarlo

venerdì, gennaio 30, 2009

Prove di esistenza

Al contrario di quello che suggerirebbe il titolo, questo post non ha nulla a che vedere con il post del sempre interessante Ivo. Piuttosto, mi propongo di mostrare in un esempio perchè, prima di cercare la soluzione di un problema matematico, è necessario dimostrare l'esistenza di tale soluzione.

L'esempio è anche noto come paradosso di Perron.

Problema

Qual'è il più grande numero naturale?

Soluzione

Supponiamo che questo numero, chiamamolo N, sia maggiore di 1. Ma allora N²>N e questa è una contraddizione. Allora N=1. Quindi l'insieme dei numeri naturali si riduce all'insieme {0,1}.

Detto en passant: Perron è stato uno dei pochi matematici tedeschi che 1) era antinazista e 2) rimase in Germania durante la guerra. Se conoscete il tedesco e amate la storia della matematica questo vi interesserà.

domenica, gennaio 25, 2009

Does LaTeX work? A simple identity

Let us find it out!

\int_{\Omega} dx =: |\Omega|

MCCN XI

L'ultima volta abbiamo trattato di nuovo grafi. In particolare ci siamo occupati del Laplaciano di un grafo non diretto. Supponiamo di avere un grafo con n vertici: il Laplaciano di un grafo è allora la matrice \inline \Delta=(d_{ij}), di dimensione n x n, costruita come segue:

d_{ii} è il grado del nodo i,

d_{ij}=-1 se i e j sono connessi,

d_{ij}=0 se i e j non sono connessi.

La cosa interessante è che il Laplaciano di un grafo ha alcune proprietà in comune col Laplaciano su un aperto di \inline \mathbb R^d. Ad esempio, le soluzioni dell'equazione

\Delta v=0

sono tutte e solo le funzioni v che sono costanti sulle componenti connesse del grafo. Una direzione è facile da capire: se v è costante (diciamo di valore 1) su una componente connessa degl grafo, e 0 altrimenti, allora \inline \Delta v ha per ogni componente un contributo positivo pari al grado del nodo corrispondente e un contributo negativo per ogni nodo con cui è collegata: quindi tutto si semplifica dando 0. Divertente, no?

Un altro bel teorema per il Laplaciano di un grafo è il Teorema di Kirchhoff sul numero degli spanning trees. Mi chiedo se anche questo abbia un corrispettivo per il Laplaciano di un aperto.

sabato, gennaio 24, 2009

Evoluzione, fatti, descrizioni

Oggi vorrei chiarire la mia opinione sulla teoria dell'evoluzione. Fondamentalmente perchè ci sono un sacco di persone che non l'hanno capita e che mi attribuiscono teorie astruse.

Per sapere a cosa mi riferisco, vedere i commenti di Marco Ferrari e di Fabristo in coda a questo questo post, oppure questo post di hronir.

Introduzione

Vi racconto un po' il background: qualche tempo fa John Rennie scrisse una lista di15 risposte alle stupidaggini creazioniste sullo Scientific American. Progetto Galileo decise (per motivi a me ignoti, dato che non è che in Italia e in Europa ci sia tutta questa diffusione di idee creazioniste, ma tant'è, ognuno fa quello che vuole) che era assolutamente necessario tradurre le risposte di John Rennie in italiano.

La prima risposta di John Rennie ad una stupidaggine creazionista, quindi anche la prima tradotta da Progetto Galileo è la seguente:
L'evoluzione è solo una teoria. Non è un fatto o una legge fisica.
Il problema di questa affermazione è che, lungi dall'essere una cretinata creazionista, è completamente vera. Rennie lo sa, e infatti non cerca nemmeno di dimostrare che è falsa. Bensì, durante la sua risposta fa un processo alle intenzioni ai creazionisti, accusandoli, in pratica, di utilizzare con un fine malvagio il fatto che il termine "teoria" è inteso dall'uomo della strada con un connotato dubitativo.

Che non sarebbe nemmeno un male, se avesse intitolato il suo articolo in maniera diversa. Ma lui ha intitolato l'articolo "15 risposte a cretinate creazioniste", e la sua prima risposta è un processo alle intenzioni alla corrente creazionista. Che certamente non capiscono niente di biologia, i creazionisti, ma questo non autorizza nessuno ad usare argomenti scorretti nei loro confronti.

La cosa mi ha fatto innervosire e ne è scaturita una feroce discussione su Progetto Galileo, in cui mi sono state attribuite opinioni da me mai espresse. hronir si è addirittura premurato di affermare che secondo me
Stefano insiste sulla mancanza di certezze come un'entità indissolubile e assoluta: o ce l'hai, o è come non avere niente.
La cosa più divertente è che non ho sentito un'unica argomentazione contro la mia critica a John Rennie, ma solo varianti più o meno raffinate della reductio ad Hitlerum nella forma.

Tu sei contro JR.
JR scrive contro i creazionisti.
Ergo, tu sei a favore dei creazionisti.

Dato che faccio lo scienziato di lavoro e non ho intenzione di permettere a nessuno di affermare che
Stefano sia una delle più belle dimostrazioni di come sia facile fraintendere il fatto e la teoria dell’evoluzione, e come sia facile non capire un concetto che per molti è assolutamente elementare. E della necessità del vostro fondamentale lavoro di divulgazione.
ho deciso di spiegare per bene cosa voglio dire. Poi, se questi signori vogliono capire, bene, se no, come si dice a Bari, chedd'iè la strad'.

Descrizioni e interpretazioni

Il succo dell'argomento che segue è la seguente semplificazione. Divido il modo di fare scienza in due settori: fare scienza in due maniera tramite "intrepretazioni", o tramite "descrizioni". Poi noto che una teoria è un'"interpretazione". Quindi faccio vedere che la teoria dell'evoluzione darwiniana è un'interpretazione. In fondo spiego qual'è il fatto (la "descrizione") che questa teoria va a spiegare.

Prima di fissare un contesto formale faccio un esempio, scrivendo due brevi immaginari articoli.

Articolo descrittivo:

Titolo: Anatomia del cervello di Stefano Cardanobile
Testo: Il cervello di Stefano Cardanobile contiene un unico neurone, di peso pari a 0.0001 microgrammi.

Articolo interpretativo:

Titolo: Fisiologia del cervello di Stefano Cardanobile
Testo: Il cervello di Stefano Cardanobile contiene un unico neurone perchè al suo possessore non serve pensare.

Se vogliamo metterci in un contesto formale, escludendodo volutamente i casi di: malafede, manipolazione dei dati, strumentazione pessima, malintesi nella scelta del vocabolario, ecco un algoritmo per produrre una descrizione scientifica,

1) Compiere un'osservazione ripetibile
2) Selezionare un pubblico
3) Selezionare un vocabolario sul quale vi sia consenso all'interno del pubblico selezionato
4) Esprimere nel vocabolario selezionato in 3) l'osservazione compiuta in 1)

Per produrre un'interpretazione scientifica, è necessario

1) Selezionare alcune descrizioni scientifiche
2) Selezionare un pubblico
3) Selezionare un vocabolario sul quale vi sia consenso all'interno del pubblico selezionato
4) Esprimere nel vocabolario selezionato in 3) una possibile spiegazione dei fatti selezionati in 1)

Osservando questi due (vaghi) algoritmi, che a me paiono condivisibili, mi pare che sia ragionevole assegnare a concetti provenienti dal primo tipo di algoritmi lo status di fatti, mentre a concetti provenienti dal secondo tipo quello di teoria.

Per essere precisi, la maggior parte (tutti) degli scienziati che ho incontrato usa i termini teoria e dato di fatto esattamente in questa accezione.

Evoluzione

Avendo ora un criterio di classificazione, mi chiedo: dove metteremo l'evoluzione in questo schema?

Per capirci, partiamo da un articolo descrittivo:

Articolo: Diversità biologica sul pianeta terra
Testo: Sul pianeta terra sono presenti diversi animali, con anatomie e fisiologie estremamente differenti.

Perchè? Ecco tre possibili spiegazioni, in forma di immaginari articoli apocrifi.

Articolo: Dell'origine divina della vita sulla terra
Testo: I vari tipi di animali sono stati creati così come sono adesso 6000 anni fa da Dio. Da allora si sono solamente riprodotti.

Articolo: L'adattamento nelle specie animali
Autore: Jean-Baptiste Lamarck
Testo apocrifo: Ogni individuo di una specie (concetto non ben definito, ma accettiamolo, ndr) è capace di adattarsi all'ambiente. Così si sono originate le specie.

Articolo: L'origine della specie
Autore: Charles Darwin
Testo apocrifo: Le variazioni avvengono in maniera casuale in sede riproduttiva. Le variazioni utili danno aditto ad invidui con successo riproduttivo maggiore. Le variazioni vengono trasmesse alla prole. Così si originano le specie.

Excursus: valutazione delle teorie

È forse interessante, anche se esula un po' dal dibattito, vedere come si valutano le teorie.
Si potrebbe pensare che ogni teoria equivalente, se si pensa che i 3 articoli precedenti hanno qualcosa in comune: esprimo delle teorie consistenti in se stesse, ma diverse che si riferiscono allo stesso dato di fatto.

Ma hanno anche qualcosa di diverso. Ognuna ha la sua specifica capacità predittiva e contenuto di verità. Nel dettaglio: la teoria creazionista è completamente sbagliata (dimostrazione: oggi ci sono specie che nel passato non c'erano, come dimostrato dai fossili - dimostrazione archeologica), la teoria lamarckiana è parzialmente sbagliata (un individuo si può adattare nel corso della sua vita, ma tali adattamenti non vengono trasmessi - dimostrazione genetica), la teoria darwinista è giusta. Faccio notare ade che il valore di giustezza è sempre determinato da altri dati di fatto, che non quelli che voglio spiegare.

Questo perchè non ho maniera di accettare o rigettare una teoria consistente in se, solo sulla base dei fenomeni che questa teoria spiega. Sembra una banalità, ma ogni tanto la gente se ne dimentica. Verifiche e falsificazioni sono da cercare all'esternodell'ambito dei fenomeni che la teoria vuole spiegare: questo a ha a che fare col fatto noi accettiamo solo teorie che abbiano una certa forza predittiva.

Conclusione

La diversità anatomica, fisiologica e zoologica delle specie viventi è un dato di fatto.
La teoria dell'evoluzione è, per l'appunto, una teoria che spiega questo dato di fatto.
Affermare che l'evoluzione è un dato di fatto è attribuire implicitamente il valore di dato di fatto ad un'interpretazione degli stessi.

Quello che Fabristol, hronir, Paolo Ferrari & co non capiscono è che distinguere fra teorie e dati di fatto non porta in nessuna maniera a sminuire il valore di tali teorie, nel caso siano giuste. Serve solo a distinguere cose che sono diverse: un'interpretazione e una descrizione appartengono semplicemente a due categorie diverse del sapere.

giovedì, gennaio 22, 2009

Decomposizioni tensoriali

Un mio caro amico mi ha oggi posto una domanda di matematica. Al telefono gli ho dato una risposta vaga, qui ce n'è una più completa. Partiamo dall'inizio.

Supponiamo di avere una funzione F di più variabili, che chiamiamo x1,x2,...,xN. Ora supponiamo che per ogni sottoinsieme I < {1,...,N} di cardinalità |I| esistano |I| funzioni f tali che

F(x_1,\ldots,x_N)= \sum_{I \subset \{1,\ldots,N\}} \prod_{i \in I} f^I_i(x_i)

È possibile decidere se esistono variabili "indipendenti" xi, xj? Con indipendenti intendo che, se xi,xj appartengono ad un sottoinsieme I, allora le corrispettive funzioni f^I_k devono essere identicamente nulle per ogni k. Detto in altre parole, stiamo chiedendo che xi e xj non compaiano mai contemporaneamente in uno dei fattori che compongono F. Il test è facile: questo è vero se e solo se,

\partial_i \partial_j F (\vec{x})=0

per ogni x vettore di R^N. È facile verificare che vale anche per triplette di variabili xi,xj,xk e così via. (In realtà bisogna stare un po' attenti con fattori moltiplicativi davanti a F, ma non è essenziale adesso).

La proprietà di decomposizione tensoriale che ho specificato qui sopra non è fondamentale: è sufficiente che per ogni I esistano n_I gruppi, ciascuno contenente |I| funzioni che abbiano la proprietà succitata. Il caso che ho discusso è quello in cui n_I è sempre 1.

Visto da un altro punto di vista: se stiamo parlando di funzioni lisce, allora stiamo affermando che F deve essere una combinazione lineare di prodotti tensoriali di funzioni lisce di una variabile.

La cosa divertente è che tempo fa, mentre lavoravo con un collega a questo articolo, ci eravamo scontrati con un problema analogo: si trattava di stabilire (se ricordo bene, il contesto era comunque quello di funzioni a valori operatoriali) se le combinazioni lineari di prodotti tensoriali siano un sottospazio denso di un qualche spazio (che non ricordo più quale era) di funzioni definite su R^N.

mercoledì, gennaio 21, 2009

MCCN X

Giovedì scorso ho spiegato qualcosa sui grafi casuali. Questi sono variabili aleatorie con valori in insiemi di grafi; di solito vengono realizzati utilizzando un qualche tipo di algoritmo casuale.

Faccio un esempio: disegnate N nodi su un foglio e scegliete un valore p fra 0 e 1, che rappresenta la connettività attesa del grafo.

Per ogni lato possibile (sono 0.5N(N+1), quindi prendetevi un po' di tempo) estraete un numero casuale uniformente distribuito tra 0 e 1. Se non avete un generatore di numeri casuali a portata di mano (basta Excel) scegliete un numero fra 1 e 6 al posto di p, e tirate un dado. Se questo numero è minore di p, disegnate il lato che state esaminando. Altimenti no. Il disegno che ottenete dopo aver tirato per tutti i possibili lati è un grafo casuale alla Erdös-Renyi.

La cosa interessante: c'è gente che afferma che le connessioni cerebrali sono, più o meno, un grafo casuale di questo tipo.

mercoledì, gennaio 14, 2009

John rules

At about the same time, the theory of automata developed as an independent study, making use of closely related mathematical notions. There was those - John von Neumann, for example - who felt that the entire development was dubious and shaky at best, and probably quite misconceived, but such qualms did not go far to dispel the feeling that mathematics, technolog, and behavioristic linguistics and psychology were converging on a point of view that was very simple, very clear, and fully adequate to provide a basic understanding of what tradition had left shrouded in mystery.

Noam Chomsky, in "Languange and Mind"

Mi chiedo: mettiamo che John von Neumann avesse vissuto 100 anni, invece di 54. Dove sarebbe arrivata adesso la scienza?

lunedì, gennaio 12, 2009

MCCN IX

Giovedì ci siamo occupati di equazioni differenziali ritardate. Quest'ultime sono equazioni della forma

\dot{u}{(t)}=u(t-1)

Il loro carattere distintivo è che la derivata ad un certo tempo dipende dallo stato ad un tempo passato. Questo è importante in alcune questioni di modellazione; nelle neuroscienze, ad esempio, può servire includere in un modello i ritardi nella trasmissione dell'attività dovuti al tragitto che i potenziali d'azione devono percorrere lungo l'assone, o dovuti all'integrazione sinaptica.

Le equazioni con ritardo sono uno degli esemplici più classici di equazioni che possono essere risolte con l'aiuto di spazi di dimensione infinita. Questo lo si può vedere scrivendo l'equazione di cui sopra in forma infinitesimale

u(t+n \epsilon) = u(t) +\epsilon(u(t+(n-1)\epsilon-1))

Se n è un numero finito, allora t+(n-1)e-1 è minore di t, e dato che questo vale per ogni n finito, allora se ne deduce (overspill!) che è necessario conoscere i valori assunti dalla funzione in tutto un intervallo (t-1,t) che precede t, per poterne costruire i valori nell'intervallo (t,t+1).

Questo vuol dire che è necessario specificare una intera funzione come valore iniziale, e quindi lo spazio degli stati è uno spazio di funzioni!

mercoledì, gennaio 07, 2009

Vector-valued diffusions

After a long break (we went to Hamburg for New Year's Day: it was cold and rainy but the Kunsthalle and the Hafenrundfahrt have been fantastic) I'm back on math.

Delio Mugnolo and me just uploaded on arXiv our last work on parabolic systems.

If you are analysing a diffusion equation on a graph, you usually define a measure space representing the network, and then define a scalar-valued diffusion on this network. Of course, you could take the symmetric way and choose to use a single interval, and to represent your diffusion equation as a 'diagonal', vector-valued diffusion. The graph structure is in both cases encoded in the non-diagonal coupling of the boundary conditions.

If you use this point of view, you maybe come up with the idea of use exactly the same approach on domains in order to obtain vector-valued diffusion equations with non-diagonal couplings in the boundary conditions.

This is exactly what Delio and me do in the paper: we study such systems, also because we are interested in understanding the connections of the these systems to gauge symmetries - if there are some.

PS: of course, you can also introduce coupling in the coefficients of the diffusion, and then it is no longer a 'diagonal' diffusion, but I only wanted to write a post, not a full article...

PPS: probably, in two or three week I also will upload on arXiv my first neuro-paper!