venerdì, gennaio 30, 2009

Prove di esistenza

Al contrario di quello che suggerirebbe il titolo, questo post non ha nulla a che vedere con il post del sempre interessante Ivo. Piuttosto, mi propongo di mostrare in un esempio perchè, prima di cercare la soluzione di un problema matematico, è necessario dimostrare l'esistenza di tale soluzione.

L'esempio è anche noto come paradosso di Perron.

Problema

Qual'è il più grande numero naturale?

Soluzione

Supponiamo che questo numero, chiamamolo N, sia maggiore di 1. Ma allora N²>N e questa è una contraddizione. Allora N=1. Quindi l'insieme dei numeri naturali si riduce all'insieme {0,1}.

Detto en passant: Perron è stato uno dei pochi matematici tedeschi che 1) era antinazista e 2) rimase in Germania durante la guerra. Se conoscete il tedesco e amate la storia della matematica questo vi interesserà.

4 commenti:

tomate ha detto...

Sia N il più grande. Ma 2N-2 > N. Paradosso. Quindi i numeri naturali sono {0,1,2}.

Non capisco il ragionamento. Cosa vuoi dire?

La funzione potenza/prodotto/somma è definita in termini della funzione successore della logica di Peano, che ha solo modelli di cardinalità numerabile, tutti isomorfi.

Lap(l)aciano ha detto...

Voglio dire: prima di cercare il valore di una soluzione, dimostrate che essa esiste.

Altrimenti rischiate di sparare cavolate del tipo N={0,1}.

(La cosa sembra banale, ma non lo è tanto se si cercano soluzioni di problemi più difficili)

Ivo Silvestro ha detto...

Una curiosità: come si dimostra l'esistenza della soluzione? C'è un procedimento "standard" o ogni volta si inventa?

Lap(l)aciano ha detto...

Quello che puoi trovare sono metodi per classi di problemi. Mi spiego: supponiamo di avere una classe di problemi ha i parametri a,b,c. Allora i matematici cercheranno di dimostrare che, chessò, per tutti i parametri a e b e per c positivi, allora il problema corrispondente ha una soluzione.

Per farti un esempio: se la classe di problemi è trovare numeri reali, chiamiamoli x, tali che

ax^2+ bx+c=0,

allora si è dimostrato che un problema di questa classe ha due soluzioni distinte se e solo se b^2-4ac > 0 e ha una soluzione unica se e solo se b^2-4ac=0. (Queste cose dovresti anche averle studiate a scuola).

Ovviamente, quando i problemi sono più complicati, anche le regole saranno più complicate; inoltre, i metodi per dimostrare che una certa regola vale non sono sempre gli stessi.