martedì, marzo 03, 2009

I numeri reali non sono numerabili

Nella discussione su questo post di tomate, ci si chiedeva se ci fosse una dimostrazione topologica, non basata sull'argomento diagonale di Cantor, del fatto che i numeri reali sono sovrannumerabili.

Sicuramente ve n'è una, nota come prima dimostrazione di non contabilità di Cantor, che è dovuta allo stesso Cantor. Leggasi la dimostrazione su Wikipedia.

Una dimostrazione più rapida è basata sul teorema di Baire. Il teorema di Baire afferma che uno spazio metrico completo non può essere unione numerabile di insiemi mai densi.

Un insieme mai denso è un insieme la cui chiusura ha insieme complementare denso.

Torniamo alla dimostrazione del teorema "R è sovrannumeabile". Ovviamente R è l'unione dei suoi punti. Ognuno dei suoi punti è evidentemente un insieme mai denso. Dato che R è completo, dal teorema di Baire si deduce che non è numerabile.

Faccio notare che la facilità della dimostrazione di questo teorema rispetto alla dimostrazione originale di Cantor è dovuta al fatto che il teorema di Baire è equivalente all'assioma della scelta dipendente.

9 commenti:

tomate ha detto...

Purtroppo non sono esperto di topologia, né tantomeno di categorie. Non credo di poter confutare questa dimostrazione entro stasera, eheh... Noto solo che poggia su strutture matematiche che vengono molto dopo rispetto all'assiomatica degli insiemi numerici, io mi focalizzo invece su questioni più fondamentali. La "completezza" topologica è un concetto più strutturato rispetto all'esistenza e appartenenza del taglio di Dedekind. C'è la possibilità che i problemi siano nascosti sotto il tappeto, ma persistano. Per esempio, cosa vuol dire che i reali sono l'unione dei loro punti? Mi sembra un'affermazione piuttosto discutibile, dato che questo contemplerebbe un'"unione continua" che in topologia sicuramente non ha residenza (unioni numerabili, intersezioni finite). Se poi uno definisce l'unione continua, e questa definizione richiede una teoria degli insiemi con definizioni di infinita informazione, dal mio punto di vista si inciampa. Nel frattempo ho parzialmente modificato la mia posizione: dubito che si possa costruire un modello numerabile dei reali, ma credo che sia possibile che la questione sia indecidibile.

Lap(l)aciano ha detto...

Non capisco cosa vuoi dire. Baire è equivalente all'assioma della scelta dipendente, e solo in questo senso è più "strutturato" dei tagli di Dedekind.

I reali sono l'unione degli insiemi costituiti da punti singoli: unioni e intereszioni sono definibili, anche se sovrannumerabili, senza problemi di sorta.

In realtà questo è banalmente vero per ogni insieme, che coincide con l'unione degli insiemi costituiti dai suoi punti.

tomate ha detto...

> ogni insieme, che coincide con l'unione degli insiemi costituiti dai suoi punti.

E' proprio questo che contesto. Non sto dicendo che il teorema di Baire e' sbagliato, ma che la tua applicazione potrebbe non essere rigorosa.

Che l'insieme potenza dei naturali contenga una quantita' sovranumerabile di elementi sono d'accordo, Che l'insieme potenza sia "l'unione" di tutti i suoi elementi, beh ci andrei con i piedi di piombo. Che nozione logico-insiemistico di unione stiamo intendendo? Se scrivo P(N) = U_x {???(x)} con x parametro continuo,
come caratterizzi tutti gli elementi ???(x) di P(N) con finita informazione?

Alla fine secondo me si torna allo stesso problema che mi affligge da tempo: non si riesce ad abbracciare la totalita' dei numeri reali, comunemente intesi come successioni di infinite cifre arbitrarie, con nozioni finite.

Se non altro forse l'utilizzo di un avanzato teorema di topologia si sta dimostrando inutile per una questione piu' fondazionale.

Lap(l)aciano ha detto...

Proviamo a fare le cose con calma. L'unione sovrannumerabile di insiemi non presenta alcun problema. Per definizione

x in U_{i in I} A_i <-> esiste i in I tale che x in A_i

indipendentemente dalla cardinalità di I. Applichiamo adesso questa definizione ad un insieme X qualsiasi prendendo come A_i gli insiemi costituiti dagli elementi singoli. Otteniamo

x in U_{y in X} {y} <-> esiste y in X tale che x in {y}

Dato che x è contenuto in {y} se e solo se x=y, otteniamo l'equivalenza

x in U_{y in X} {y} <-> x in X

che è esattamente ciò che vogliamo dimostrare.

Buona giornata
Stefano

tomate ha detto...

Premetto che non desideravo essere portato su questo terreno adesso. Al di là del teorema di Baire, c'è qualcosa prima che non capisco, il che mi fa pensare che questioni di densità, completezza etc. non siano rilevanti, oppure lo siano ma assumano in qualche modo quello che io sto cercando di capire. Vedi, tu mi scrivi

R = U_{x in R} {x}

il che è abbastanza tautologico, e va bene così, me la sono cercata. C'è una cosa che non capisco in una simile scrittura, se R è più che numerabile: come puoi descrivere gli insiemi {x} senza specificare tutti gli infiniti numeri decimali di x, il che equivale a chiedersi come fai a rintracciare un label x con finita informazione. R non potrà essere l'unione numerabile dei suoi elementi, ma faccio fatica a vedere come possa essere l'unione non numerabile dei suoi elementi. Non cerco teoremi, cerco di intuire la "fisicità" di questo continuo.

Lap(l)aciano ha detto...

Forse vedi le cose in maniera troppo fisica; penso che la matematica è una scienza formale, che riguarda relazioni fra simboli. Ogni tanto, ha delle applicazioni in fisica; ma cercare di capire i fondamenti fisici di concetti matematici primitivi è secondo me sopravvalutare la realtà della matematica.

(Mi sembra che tu sia molto platonista: una lettura di Davies, "Science in the looking glass", potrebbe giovarti)

Andrea ha detto...

Secondo me l'unica cosa che turba tomate è la definizione di unione di insiemi con un indice in un insieme qualunque (in particolare non N). Ma non c'è niente di drammatico, è solo una definizione, e pure una che funziona bene. Digerita quella, l'applicazione del teorema di Baire è semplicissima (e anche elegante, non la conoscevo).

A proposito di "ogni insieme coincide con l'unione degli insiemi costituiti dai suoi punti": un insieme è definito dai suoi elementi (che qui chiamiamo punti), nulla di più e nulla di meno, no? (se non ci si crede, manca qualcosa? c'è qualcosa di troppo? di questo parla anche l'assioma di estensionalità di Zermelo-Fraenkel).

tomate ha detto...

Due cose. Il mio dubbio è più fondazionale, e non ne ho ancora discusso. Qualcosa di più complesso che cercherò di spiegare sul mio blog prossimamente. Magari tra qui e là salta fuori una bella discussione a più voci.

Se, come con la dimostrazione di Cantor, "rinormalizzo" il mio punto di vista riconosco che questa dimostrazione è elegante quanto quella e funziona bene, anche se è meno immediata.

Ma i dubbi rimangono. Il problema con questa dimostrazione è che sposta i miei dubbi in un terreno in cui tutto è meno cristallino. Non credo che ci sia bisogno di parlare della completezza topologica di R o del fatto che le infinite formule necessarie per definire R come unione dei suoi punti necessitano di infiniti caratteri. Non credo neanche che sia così diversa da quella di Cantor. Il punto che mi sconforta nella dimostrazione di Cantor dovrebbe ripresentarsi uguale quando si considera il concetto di completezza in termini di successioni di Cauchy.

Lap(l)aciano ha detto...

Ciao Andrea,

il teorema di Baire è fantastico: il mio relatore di tesi di dottorato cerca da anni uno studente che scriva una tesi di laurea che sia una raccolta di applicazioni di Baire!

La discussione sui reali e i naturali penso continuerà sul blog di tomate.

A presto
Stefano