giovedì, ottobre 22, 2009

Sorpresa

Quando era partito questo sito, un mese fa, pensavo fosse una iniziativa estemporanea che sarebbe terminata dopo poche settimane. E invece...

mercoledì, ottobre 21, 2009

FM09010 (I)

So, let us start we the new lecture: Fourier methods and their applications to neuroscience.

Preliminary disclaimer: there are many many approaches to the topic. I will follow this one. In fact, Osgood's lecture is by far better than what I can hope to do in my life, but he has a slow pace which is not suitable for PhD students at the BCCN.

In the first lecture we explained the basic idea, which is simple: you have a complex periodic function (where complex stays for both "complicated" and "not real") and you want to represent it as weighted sum of simpler (but also not real) periodic functions. For definiteness, let us say that all functions have period 1.

We can choose to use trigonometric functions or complex exponentials. We will choose the complex exponentials for different reasons. To be precise, we want to express any periodic function of period 1 as the weighted (probably infinite) sum of the functions

e_n(t):=e^{2\pi nit}
where n ranges in the integers.
The difficult problem is: how to find the weights for the sum? It goes in the following way. You start from what you are looking for

f(t)=\sum_{n \in \mathbb Z} c_n e^{2\pi nit}

Here, the numbers c_n are the (unknown!) weights of the linear combination that you want to represent the function f. We now try to isolate a single coefficient, say the kth, to know whether is possible to get a formula for a single coefficient depending only on f and not on the other coefficients. So you get

f(t)- \sum_{n\neq k} c_n e^{2\pi nit} = c_ke^{2\pi kit}

You divide by the complex exponential obtaining

f(t)e^{-2\pi kit}- \sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit} = c_k

For this you have to use all properties of the complex exponentials. Which is, by the way, only one. And in fact it is the same as for the real exponential: "sum is mapped into multiplication". This is one motivation for using complex exponentials instead of trigonometric functions.

You now have the problem that you have expressed one c_k in terms of the other ones, but you want to have c_k without its companions. Algebra gave us everything she could, so let us try with Analysis. He suggests to integrate between 0 and 1 (which is the period of all functions here) obtaining

\int_0^1 f(t)e^{-2\pi kit} dt- \int_0^1\sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit}dt = c_k

The c_k, integrated, gives c_k! And now the magic. Compute the integral of the complex exponentials: it gives 0.
So, you are left with the famous expression

\int_0^1 f(t)e^{-2\pi kit} dt- \int_0^1\sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit}dt = c_k=:\hat{f}(k)

where we have introduced the symbol \hat{f}(k). We will call this number by the suggestive name of the kth Fourier coefficient of f.

venerdì, ottobre 16, 2009

venerdì, ottobre 02, 2009

Gioelli della matematica (I)

Oggi parliamo dell'articolo Über die Unbeschränktheit der Operatoren der Quantenmechanik di Helmut Wielandt, apparso sui Mathematische Annalen nel 1949.

Il titolo, tradotto in italiano, vuol dire "Sull'illimitatezza degli operatori della meccanica quantistica". Di cosa stiamo parlando? Semplificando un po, in meccanica quantistica tutte le grandezze diventano operatori. E se due grandezze A,B sono una la trasformata di Fourier dell'altra, allora devono soddisfare la relazione
[A,B]=i \hbar
dove abbiamo indicato [A,B]=AB-BA il commutatore dei due operatori.

Questa relazione è detta la relazione canonica di commutazione, di più qui. Nel 1947 Wintner dimostrò, utilizzando una tecnica sviluppata da Rellich nel 1946, che due operatori che soddisfino le relazioni di commutazione devono essere illimitati. Tale dimostrazione era però complicata, e nel 1949 Wielandt diede una dimostrazione elementare di questo fatto. Come funziona?

Wielandt parte dall'osservazione che, se
[A,B]=1
allora
[A,B^{n+1}]= (n+1)B^n
La dimostrazione di questo fatto è una semplice manipolazione algebrica e un'altrettanto semplice induzione.

Da questo fatto, e dalla disuguaglianza triangolare inversa applicata alla norma operatoriale di A e B, ottiene una stima della norma di B
(n+1)|B^n|\leq 2|A||B||B^n|
che vale per tutti gli n.

L'attento lettore avrà già capito che questa stima implica che B=0, di conseguenza anche A=0, e così abbiamo ottenuto che l'unico operatore limitato che soddisfa le relazioni di commutazione è l'operatore nullo non esistono operatori limitati che soddisfano le relazioni di commutazione.