Lap(l)aciano

Modelli computazionali del Parkinson

2011-10-08T11:04:00.000+02:00

Qualche giorno fa ci è stato accettato un articolo in cui esploriamo con dei modelli le possibili cause di alcuni sintomi del morbo di Parkinson.

Il morbo di Parkinson è caratterizzato da deficit motori e cognitivi. Fra questi, il più conosciuto è il tremore. Questi sintomi hanno un correlato neurale molto preciso: il segnale elettrico nel nucleo subtalamico mostra delle oscillazioni molto marcate intorno alla frequenza di 20 Hz, assenti nello stato sano del cervello. È stato scoperto che sopprimere queste oscillazioni, ad esempio tramite la stimolazione cerebrale profonda, porta alla scomparsa quasi immediata dei sintomi.

Nel nostro studio (e qua andremo un po' sul tecnico) abbiamo tentato di portare un po' di chiarezza sulle possibili cause di queste oscillazioni. Quello che si sa con certezza (più o meno) è che queste oscillazioni sono generate tramite un processo di feedback negativo-positivo tra il nucleo subtalamico e la parte esterna del globo pallido. La teoria dominante sulla causa dell'insorgere delle oscillazioni è l'aumento della connettività tra queste due strutture. Purtroppo, però, i dati sperimentali non supportano questa ipotesi.

La nostra teoria alternativa prevede che le oscillazioni siano generate da un livello di attività maggiore nella struttura a monte del globo pallido: il corpo striato. Il globo pallido riceve la maggior parte dei suoi input (di tipo inibitore) dal corpo striato. Quello che noi abbiamo mostrato in un modello computazionale è che un aumento dell'input inibitore al globo pallido è da solo in grado di generare oscillazioni.

Podcasts & co

2011-09-13T14:37:00.000+02:00

Oggi il nostro responsabile per le relazioni esterne ha messo in rete la versione italiana di What are computational neuroscience?

(Tradotta e detta dal sottoscritto)

Market hold'em

2011-09-06T18:48:00.000+02:00

Draghi fold, Hildebrand all-in

Networks with distance dependent connectivity, part I

2011-07-26T15:44:00.001+02:00

Today I will give a short tutorial about the generation of random networks with distance dependent connectivity. Which means: we place the nodes somewhere in the space and we connect them with some probability which depends on the distance. Here you can find the python script.

Let me first discuss how to construct the matrix of distances between a set of vectors \{v_i\}. The idea is, obviously, to use the fact that the p-distance between two vectors is given by the formula

d_p(v_1,v_2) = \|v_1-v_2\|_p = \left(\sum_k (v^k_1-v^k_2)^p\right)^{1/p}

For the Euclidean distance $p=2$ and we have

\|v\|^2 = (v,v)

. So the squared distance is nothing but

\|v_1-v_2\|^2 = (v_1-v_2,v_1-v_2)

This is good, then using the linearity of the scalar product, we obtain

\|v_1-v_2\|^2 = \|v_1\|^2 + \|v_2\|^2 -2(v_1,v_2)

This expression can be computed with matrix multiplications. In python you can do it using numpy as follows. First, onstruct the matrix of the positions, i.e. stack all 'size' vectors of lenght 'dimension' on the top of each other

import numpy
dimension = 2
size = 100
positions = numpy.random.uniform(0,1, (size,dimension))

Here I have chosen uniformly distributed vectors, but you can use others of course.
Now, we construct the matrix s_{ij} = \|v_i\|^2 +\|v_j\|^2 by repeating, reshaping and transposing the vector of the norms. This is as easy as this

# construct the matrix s_ij = |v_i|**2+|v_j|**2
norms = numpy.sum( positions**2. , axis = 1 )
tmp = numpy.reshape(norms.repeat(size),(size,size))
sum_matrix = tmp + tmp.transpose()

'sum_matrix' is what you are looking for. The scalar product is even easier. Indeed the matrix of the products x_{ij} = (v_i,v_j) is just the multiplication of the vector matrix with its transpose (try on 2x2 example to see that it works). So you can do it easily by

# construct the matrix x_ij = (v_i,v_j)
scalars = numpy.dot(positions,positions.transpose())

Testamento biologico: un'assurdità

2011-07-13T08:57:00.000+02:00

L'applicazione dei biotestamento scatta solo per chi è "nell'incapacità permanente di comprendere le informazioni circa il trattamento sanitario e le sue conseguenze per accertata assenza di attività cerebrale integrativa cortico-sottocorticale e, pertanto, non può assumere decisioni che lo riguardano"

Ma si può? Tanto valeva vietarlo, il testamento biologico.

Retroactive facilitation (updated)

2011-06-28T17:03:00.000+02:00

Qualche tempo fa, vi avevo raccontato di un articolo, apparso nel Journal of personality and social psychology riportava di alcuni effetti osservati in esperimenti di larga scala spiegabili solo con la precognizione. Ovviamente, ne era seguito un furioso dibattito. La mia obiezione 5) era:

Alcuni matematici olandesi hanno polemizzato col tipo di test statistici utilizzati da Bem, affermando che è necessario usare test più raffinati. Per prevenire questa obiezione, Bem ha utilizzato test statistici considerati standard nel campo della psicologia. Per cui la critica di Wagenmakers et al. è un po' a doppio taglio, perchè, se giusta, invaliderebbe più o meno tutta la ricerca nelle scienza sociali (e non solo) fatta negli ultimi 50 anni.

Ho continuato a seguire il dibattito per un po', e per questo ed altri motivi, ho cominciato a studiare un po' meglio le tecniche di inferenza Bayesiana.

Circa un mese fa è apparso un articolo in cui Rouder e Morey migliorano il metodo Bayesiano utilizzato precedentemente per realizzare meta-analisi dei dati raccolti da Bem. Il metodo utilizzato in quell'articolo, infatti, non teneva conto del fatto che tutti gli esperimenti di Bem andavano nella stessa direzione.

Armati di questo nuovo metodo, hanno rianalizzato i dati di Bem, trovando per uno dei 4 tipi di stimoli un fattore di Bayes di 40, che è "noteworthy", per citare gli autori, ma non sufficiente evidenza per effetti di precognizione, contraddicendo le conclusioni di Bem.

A che pro tutto questo discorso? Per prima cosa per motivarvi a leggere l'articolo di Rouder e Morey, che è molto chiaro riguardo i rischi dei test di verifica di ipotesi. In secondo luogo, per convincere gli scettici tra di voi (a buon intenditor...) che Bayes è superiore ai test di verifica di ipotesi, secondo i quali, adesso, dovremmo tutti credere all'ESP.

No ai Prerequisiti! (riflessione su un vecchio post su Borborigmi)

2011-05-21T10:34:00.000+02:00

A distanza di più di un anno sono andato a rileggermi un vecchio post su Borborigmi e l'interessante discussione che ne è seguita (anche se ha rischiato più volte di degenerare in un flame).

Mi ero ripromesso, allora, di dire la mia con calma.

Oggetto del discutere è: quanto è necessario conoscere tutti i prerequisiti di una certa materia per potersene fare un opinione competente? Per fare un esempio: è possibile che io affermi di capire qualcosa di meccanica quantistica avendo solo un'infarinature di calcolo delle probabilità? Oppure ancora: posso capire il calcolo delle probabilità senza conoscere la teoria della misura? Oppure ancora [ad libitum sfumando...]

Secondo Marco (l'autore di Borborigmi) la risposta è: molto. (In realtà la sua opinione è un po' più elaborata: invito a leggere il post e la seguente discussione).

Secondo me la risposta è: poco.

Dopo qualche anno passato a fare ricerca attiva (in due campi completamente differenti) mi sono fatto questa idea: ogni comunità scientifica ha degli assiomi da cui si sviluppa la ricerca. Questi assiomi sono dei fatti provenienti da discipline più basilari che sono riconosciuti come veri e importanti da gli scienziati che lavorano in un certo campo. Tuttavia, possono essere oggetto di ricerca per scienziati in un altro campo. La conoscenza di tali assiomi è ciò che è necessario per formarsi un'opinione competente.

Faccio un esempio con qualcosa che mi è familiare: nei corsi di Analisi Funzionale si insegna generalmente il teorema di Hahn-Banach (afferma che ci sono un numero sufficiente di forme lineari definite su uno spazio di Banach, più o meno). Questo fatto è accettato come un dogma dai "semigruppisti" (la comunità, per così dire, dove lavoravo prima di andare a fare neuroscienze) (sono dei matematici che risolvono le equazioni differenziali alle derivate parziali usando l'analisi funzionale). Tuttavia, per alti matematici, che magari lavorano su temi più di base: il teorema di Hahn-Banach (o argomenti correlati) è un campo di ricerca a se stante: in quali spazi vale? qual'è la dimostrazione minima? quali ne sono le generalizzazioni?

Tutto ciò però non serve ai semigruppisti: a loro interessa solo che tale teorema esista per provare i loro teoremi. Ad esempio: il teorema di Hille-Yosida (specifica le condizioni di buona positura per problemi di Cauchy astratti).

Facendo un salto avanti, potremmo adesso rivolgersi a quanto fanno i meccanici quantistici (?!) quando studiano l'equazione di Schrödinger, calcolandone attentamente lo spettro. Di solito non si pongono il problema della buona positura. Suppongono semplicemente che il problema lo sia. Per loro, per così dire, l'assioma è il teorema di Hille-Yosida, che però è per i semigruppisti un attivo terreno di ricerca.

Risalendo la gerarchia arriviamo ai fisici dei laser, o magari ai chimici, su su fino ai biologi, psicologi e scienziati sociali. [E qua mi fermo, ad essere sinceri non so se ho voglia di includere i letterati in questa gerarchia del sapere :-)].

Quindi: ciò che è necessario per farsi un'opininone competente in una materia non è la conoscenza dei prerequisiti, ma la conoscenza degli assiomi della materia in considerazione. La conoscenza dei prerequisiti è certamente un vantaggio, e fa magari la differenza fra un buon scienziato e uno scienziato eccellente, ma certamente non è necessaria all'uomo della strada per capire di cosa parlano gli scienziati.

Correlazioni in popolazioni neurali

2011-05-20T16:08:00.000+02:00

Settimana ricca di soddisfazioni!

Oggi è apparso un altro articolo in cui sono coautore: Volker, un dottorando del nostro centro, ha passato l'anno scorso a impratichirsi dei segreti della teoria di Hawkes sulle reti di processi puntuali interagenti linearmente.

Il risultato è un approccio capace di decomporre le correlazioni fra le attività dei nodi in una tale rete grazie ad alcune proprietà della serie geometrica.

Non voglio togliervi il gusto della scoperta: qua si trova l'articolo originale, open access su PLoS Comp Bio e qua la press release del BCF, in inglese.

Particelle perse nel nulla di uno spazio infinito

2011-05-16T21:53:00.000+02:00

Su Linear Algebra and its Applications è stata appena pubblicata la mia ultima fatica.

Il messaggio principale dell'articolo è il seguente: l'equazione di diffusione su un grafo infinito non soddisfa necessariamente la conservazione di probabilità. Per essere più precisi: la conserva se e solo se tutti i nodi hanno grado finito.

La dimostrazione è abbastanza semplice, ma vorrei tentare di spiegare in maniera non tecnica qual'è la ragione di questo comportamento bizzarro.

Il problema è il seguente: immaginate di avere un grafo e una particella che si muova di moto browniano in prossimità di un nodo. Quando codesta particella arriva all'incrocio dei vari lati, che si incontrano nel nodo, non avrà una velocità ben definita, come accade per particelle che si muovono di moto browniano: la sua velocità cambia in continuazione in maniera discontinua.

Tale particella dunque, nel suo muoversi disordinato, proverà prima un lato, poi l'altro, e poi alla fine, una serie di fluttuazioni che indichino in continuazione un certo lato la porteranno abbastanza lontano dal nodo da non ricaderci più dentro.

Quello che succede se però il nodo è di grado infinito è che la particella non ha maniera di decidersi per un lato! Non appena una fluttuazione la porta su un lato, la fluttuazione "successiva" la porterà necessariamente su un altro, dato che sono infiniti, e così via fluttuando.

Una particella arrivata su un nodo di grado infinito non ne può più uscire. Al nodo si applica, in pratica, una condizione al bordo di Dirichlet.

E come vi è sicuramente noto, le equazioni di diffusione con condizioni di Dirichlet non conservano la probabilità!

Gmail Motion BETA is finally out!

2011-04-01T10:45:00.000+02:00

Gmail Motion BETA

Large deviations

2011-03-15T11:03:00.000+01:00

Una piccola riflessione su quello che sta accadendo in Giappone può essere innescata da un'osservazione di Rubbia, qui il link.

"Non esiste un nucleare sicuro. O a bassa produzione di scorie. Esiste un calcolo delle probabilità, per cui ogni cento anni un incidente nucleare è possibile: e questo evidentemente aumenta con il numero delle centrali."

Peraltro, dato che molti fenomeni naturali hanno una coda lunga bisogna stare molto attenti a non sottostimare le probabilità di eventi catastrofici.

Il mondo come rappresentazione

2011-03-10T14:08:00.000+01:00

, e quanto alla volontà un giorno magari ci arriviamo.

Ho deciso che riprendo a scrivere sul blog di cose meno matematiche, dato che la quantità di matematica nella mia vita di scienziato sta, purtroppo, decrescendo.

Oggi abbiamo avuto un articolo molto interessante di un gruppo di scienziati della Brandeis University.

Allora, hanno preso dei furetti neonati e li hanno impiantati con degli elettrodi per misurare l'attività neurale. Quindi li hanno sottoposti per vari mesi a tipi diversi di stimoli visuali: immagini naturali, barre in movimento e rumore bianco. (Il rumore bianco lo potete ammirare qui sotto in tutto il suo splendore).

Insomma, cosa hanno scoperto?

Hanno scoperto che man mano che il furetto cresceva, le statistiche dell'attività spontanea diventavano sempre più simili a quelle dell'attività neurale stimolata con le immagini naturali, cosicchè, dopo 5 mesi, la distribuzione di attività spontanea era identica alla distribuzione stimolata con immagini naturali.

Questo sembrerebbe banale, se non fosse che le immagini "naturali" di naturale avevano soltanto, per così dire, la statistica. Infatti hanno utilizzato il trailer del primo film di Matrix, come sample di immagini naturali, immagino appunto per far si che solo le statistiche generali dell'immagine combaciassero con quelle dell'ambiente del povero furetto.

Questo vuol dire, in parole povere, che la statistica dell'attività spontanea del cervello si evolve durante la prima fase della vita (almeno nel furetto) verso una distribuzione in cui un'immagine attesa non ha alcuna rappresentazione particolare dal punto di vista delle statistiche globali della rete neurale!

Orwell fra noi

2011-02-09T11:09:00.000+01:00

Una delle chiavi del successo del bispensiero in 1984, quella su cui Orwell insiste di più è la sua manipolazione del linguaggio e della verità. Il bispensiero è (almeno in parte) la separazione del linguaggio dalla realtà (logica e/o fisica).

In Italia vi è adesso un tentativo di regime tecnicamente Orwelliano. Un sintomo, un segnale inquietante è il fatto che un parlamentare, un rappresentante del popolo possa andare in parlamento e mentire, sapendo di mentire e sapendo che gli altri sanno che lui sta mentendo, senza che questo abbia alcuna conseguenza reale. Ma proprio nessuna.

La società descritta in 1984 ci sembra fantascientifica e impossibile da raggiungere, ma i suoi assiomi, la sua base sono già fra noi.

(Un'altra) discussione sul riscaldamento climatico

2011-01-28T10:20:00.000+01:00

Ultimamente mi sono (di nuovo) impelagato in una discussione sul blog di Vietti riguardo il riscaldamento globale.

E ho sentito i soliti argomenti triti e ritriti sul perchè non c'è riscaldamento globable e se c'è non è antropico. Rispondo qui, così non vado a visitare ogni giorno Vietti per una discussione sull'aria fritta.

Obiezione 1: Non c'è nessun riscaldamento. I dati che mostrano il riscaldamento non valgono perchè usano una grandezza, la temperatura media della terra, che non ha senso.

Quello della non esistenza della temperatura media è uno degli argomenti prediletti dei negazionisti del riscaldamento globale. Mettiamo le cose in chiaro da un punto di vista termodinamico: ciò che non esiste è la temperatura della terra, dato che la terra non è un sistema termodinamico in equilibrio e dunque non ha una temperatura di per se.

Una temperatura media sulla terra è però qualcosa di differente. Siamo d'accordo che sia ragionevole dire: "stamattina a Roma c'erano 18 gradi". Di nuovo, tecnicamente, questa cosa non ha senso perchè "Roma" non è un sistema termodinamico in equilibrio. Tuttavia, sappiamo cosa significa questa frase: si prendono i vari rilevatori di temperatura a Roma e si fa la media (magari pesata) ad un certo punto della giornata. Questo numero lo chiamiamo "temperatura media". Adesso, questo è un processo stocastico, quindi questa temperatura media a Roma cambierà nel tempo. Stamattina 18°C, domattina 20°C. Da buon processo stocastico, avrà un valore atteso, no? Questo valore atteso, lo chiamiamo temperatura media annuale a Roma.

(Ora non sono un metereologo, quindi probabilmente i dettagli sono diversi, volevo solo far notare che non vi è nulla di assurdo nel parlare di una temperatura media).

Obiezione 2: I climatologi hanno finora fatto solo previsioni sbagliate, quindi sbaglieranno anche in futuro.

A parte l'evidente assurdità intrinseca di questo argomento, è semplicemente falso che i climatologi abbiano fatto previsioni sbagliate.

Negli ultimi 30 anni la temperatura media è aumentata di circa 0.2°C per decade

http://en.wikipedia.org/wiki/Global_warming

Ci sono una serie di articoli degli anni '70-'80 in cui si prevedeva un riscaldamento esattamente di queste dimensioni; ve ne linko 2, segnalandovi accanto il (grande) numero di citazioni raccolte per mostrare come fossero articoli main stream e che non sono andato a cercarmi delle cose troppo favorevoli (ho impiegato, tra l'altro, meno di 5 min).

Dickinson, Cicerone, Nature (1986) (citato 384 volte su Scholar)

Hansen et al., J. Geophy. Res. (1988) (citato 612 volte su Scholar)

Un'altra cosa interessante: nel 2007 Rahmstorf e altri avevano già fatto un lavoro del genere, ovvero di confrontare le previsioni fatte dal '90 in poi con i dati effettivamente raccolti, col risultato che le previsioni tendevano a sottostimare la dimensione del riscaldamento globale.

Ma che faccia tosta!

2011-01-20T19:23:00.001+01:00

Per divertirmi stavo leggendo questo editoriale del Giornale.

Che ha la faccia tosta di affermare prima

Peccato, però, che la «nuova» inchiesta riveli [...] frequenti violazioni delle guarentigie parlamentari

e poi

si parla di centinaia di telefonate del premier a Ruby. Ma di queste chiacchiere non c’è traccia nelle intercettazioni, non c’è un passaggio negli atti.

facendo finta di dimenticare che una di queste ``guarentigie'' è appunto il fatto che le intercettazioni di un parlamentare non si possono utilizzare! Ma come si fa ad essere così privi di scrupoli?

Retroactive facilitation?

2011-01-12T08:49:00.002+01:00

Sicuramente avrete notato il dibattito furioso sorto intorno ad un articolo di Daryl Bem dal suggestivo titolo Feeling the future: Experimental Evidence for Anomalous Retroactive Influences on Cognition and Affect.

L'autore (che, detto per inciso, si occupa di "parapsicologia" più che altro come hobby, essendo il suo campo principale di ricerca la psicologia dell'orientamento sessuale) afferma di offrire prove supportanti la possibilità della precognizione.

Detto così, sembra una delle tante cose esoteriche aggirantisi al confine tra la Scienza e Giacobbo. Le cose però sono un po' più complesse. Per prima cosa, a causa dell'autore che non è un ciarlatano di mestiere, ma cha ha una rispettabile storia di scienziato. Poi per il giornale, che con il suo impact factor di 5+ e una riconosciuta autorevolezza, non è certo il luogo dove si pensa che si possano trovare ciarlatanerie. E infine, forse cosa più importante, per l'idea alla base dello studio.

Una delle critiche più comuni agli studi sul psi (utilizziamo questo termine, che è quello comune nell'ambiente scientifico, piuttosto che quello lievemente dispregiativo di "parapsicologia") è di usare paradigmi sperimentali e metodi statistici poco comuni, o comunque estremamente complessi, con la conseguenza di essere poco riproducibili. Si veda a proposito la storia degli esperimenti ganzfeld.

La strategia seguita da Bem è quella esattamente opposita. Bem ha scelto 9 paradigmi classici della psicologia moderna, li ha lievemente modificati (spiego dopo come) e li ha analizzati con tecniche standard; inoltre mette a disposizione dei richiedenti il software usato per eseguire gli esperimenti.

Il fenomeno che Bem vuole studiare è il cosiddetto "priming". Ovvero l'influenza che hanno sulle scelte di un soggetto dei segnali precoscienti (subliminali). L'esperimento base (ripetuto mille volte da psicologi di ogni tipo) funziona così: un soggetto è messo di fronte a due possibilità (di solito di fronte ad un computer: due finestre, una a destra e una a sinistra) e deve effettuare una scelta. Prima che effettui la scelta viene mostrata un'immagine per un tempo molto breve (tale che non raggiunga la coscienza del soggetto) dietro una delle finestre. Se l'immagine è di un certo tipo (immagini erotiche funzionano molto bene), la probabilità che la finestra con l'immagine subliminale venga scelta è più alta, e questa cosa si può rilevare statisticamente ripetendo l'esperimento più volte.

Questo esperimento è stato cambiato da Bem in questa maniera: l'immagine subliminale veniva mostrata DOPO che il soggetto aveva effettuato la scelta; in realtà gli esperimenti che lui effettua sono 9, ma sono tutti, più o meno, varianti di questo esperimento classico. Lui ha trovato che in 8 dei 9 esperimenti, l'immagine subliminale mostrata dopo aveva un effetto facilitante sulla scelta precedente, ad un livello statistico che verrebbe considerato convincente dalla maggior parte degli studiosi.

Alcune obiezioni vengono subito in mente:
1) Spesso questi esperimenti sono inficiati dal fatto che lo sperimentatore interagisce direttamente con i soggetti. Per eliminare questo problema, l'esperimento era disegnato in modo tale che le istruzioni venissero tramite computer.
2) Ovviamente, il numero dei soggetti è importante. Bem ha utilizzato circa 100 soggetti per esperimento, un numero abbastanza convincente.
3) È importante anche come la scelta del computer della finestra dove mostrare l'immagine subliminale viene randomizzata. Bem ha scelto di utilizzare come generatore di numeri casuali il CD Marsaglia. Se ricordo bene, in un esperimento ha addirittura usato un generatore di numberi casuali veri.
4) Il problema dei sottogruppi: fra le altre cose, Bem mostra che quella che lui chiama "psi-performance", cioè l'efficienza con cui i soggetti hanno azzeccato la loro predizione, correla con alcuni tratti della personalità comunemente associati a capacità psi: apertura mentale, essere estroversi etc... In alcuni forum, Bem è stato accusato di formare sottogruppi dei suoi sample per costruire le sue prove. A me non pare che sia così: i suoi risultati sono indipendenti da questi sottogruppi. Solo, successivamente e addizionalmente, egli mostra che questa "psi-performance" correla con altri fattori.
5) Alcuni matematici olandesi hanno polemizzato col tipo di test statistici utilizzati da Bem, affermando che è necessario usare test più raffinati. Per prevenire questa obiezione, Bem ha utilizzato test statistici considerati standard nel campo della psicologia. Per cui la critica di Wagenmakers et al. è un po' a doppio taglio, perchè, se giusta, invaliderebbe più o meno tutta la ricerca nelle scienza sociali (e non solo) fatta negli ultimi 50 anni.

Giri e mezzi giri

2010-12-09T15:47:00.000+01:00

Devo ricordamene quest'estate quando rifaccio Analisi di Fourier.

Come sostenere Wikileaks

2010-12-07T21:56:00.003+01:00

Dopo che la polizia londinese si è lasciata convincere a partecipare a questa farsa della cattura di Assange, posto qualche link utile per supportare wikileaks.

1) Wikileaks è ancora accessibile qui

2) Da qui potete donare

3) Qui potete diventarne fan su Facebook

4) Se volete, potete boicottare Amazon, Paypal e Mastercard

5) Visa sta anche prendendo in considerazione la possibilità di bloccare Wikileaks

Leggete qui per ulteriori informazioni

Un ubriaco

2010-06-23T13:42:00.001+02:00

Tremonti mi sembra argomenti come faccio io quando voglio impressionare qualcuno, però ho bevuto un bicchiere di troppo: da non perdere

Ennesima discussione sulle rinnovabili

2010-06-09T13:04:00.000+02:00

Sul blog di Vietti ho avuto una discussione con un certo Maurizio sul tema delle energie alternative.

La opinione che io difendevo è: un transito rapido dal carbone e petrolio a fonti rinnovabili è doveroso non tanto per il problema di contenere il riscaldamento globale, ma per avere un mondo più efficiente energeticamente.

Maurizio aveva postato delle obiezioni a cui non avevo dato risposta per mancanza di tempo. Dato che mi ha sollecitato, mi vedo costretto a postare le mie risposte.

Secondo Maurizio, la transizione sarebbe a nostro svantaggio perché:

- dovremmo rivedere i nostri mezzi produttivi al ribasso ma pagando il prezzo della complessità, questo prezzo oggi è a carico dei cittadini che finanziano "inconsapevolmente" un sistema di produzione energetico retto da incentivi, altrimenti sarebbe ampiamente fuori mercato. Altro che mettere fuori gioco le altre tecnologie perché più costose!

Qua si ignora il fatto che, a livello globale, i combustibili fossili ricevono anche loro sostanziosi sussidi, vedi il sito dell'IEA

- dovremmo farlo in competizione con economie emergenti senza obblighi e vincoli che gravano invece su di noi.

Qui si ignora che una maggiore efficienza energetica sarà, a lungo termine, un vantaggio per noi.

- dovremo farlo senza la certezza (ma nemmeno la speranza) che le rinnovabili si sostituiscano alle non rinnovabili tranne se non in parte.

Chi lo dice? Si citi uno studio ragionevole sul tema.

- non riuscendo a raggiungere gli obiettivi di riduzione saremmo costretti a pagare (a chi?) ingenti somme da aggiungere agli attuali gravami dei nostri welfare che i competitors non hanno. Chiaramente ci chiedono di portare un handicap che non sappiamo se saremo in grado di reggere. Nella migliore delle ipotesi se ne avvantaggeranno, nella peggiore ci sbaraglieranno.

Questo problema (politico e che quindi non ha nulla a che vedere col fatto che la transizione sia vantaggiosa o meno) si risolve in maniera semplice: raggiungendo gli obiettivi.

- in futuro avremo sicuramente a che fare con nuovi sistemi di produzione energetica, più o meno rinnovabili. Sarebbe una buona idea aspettare che le cose maturino senza prima farci del male da soli.

Quindi, secondo questo ragionamento, dato che i computer del futuro saranno più veloci, non dovremmo usare quelli odierni perché è uno spreco di risorse, ne dovremmo usare le attuali, primitive cure contro il cancro, perché fra dieci anni ce ne saranno di migliori etc etc

- non solo chi ha investito in tecnologie rinnovabili avrà lauti guadagni (ma, allo stato, solo finché ci saranno gli incentivi) anche chi specula in quote di CO2 (Gore?) avrà, ha guadagni! Anche i politici che cavalcano la tigre guadagnano, e con loro le fondazioni di ricerca compiacenti che si nutrono di finanziamento pubblico.

Sarebbe bene che finalmente guadagnino le persone che investono in cose sensate. "Le fondazioni di ricerca compiacenti che si nutrono di finanziamento pubblico." è un'insinuazione demagogica.

- nelle teorie AGW il problema non è quello che poni tu in modo soft quando dici che -il CO2- non è un argomento fondamentale, Gore & C. parlano di catastrofi imminenti e truccano i dati per farci credere alla fine del mondo. Questo non è utile, è una truffa, secondo me.

Che Gore & C. abbiano opinioni discutibili, diverse dalla mia, non inficia il fatto che la mia opinione sia corretta.

- per l'ennesima volta si ribadisce che non siamo inquinatori contro verdi, io non sono un inquinatore, sono fautore del riciclaggio e del risparmio energetico.

Buon per te. Allora utilizza forme di energie più economiche, se vuoi veramente risparmiare energia.

- se continueremo ad avere a che fare con gli antinucleari non potremo neppure contare troppo su una fonte assai pulita e conveniente oltre che in parte rinnovabile grazie ai reattori autofertilizzanti. Problema, per esempio, che in Cina non si pone!

Nella ricerca su nucleare e sulla fusione è stato investita una quantità inimmaginabile di denaro e non ne è uscito nulla di accettabile. È tempo di abbandonare una strada evidentemente morta. Premesso che l'uranio, plutonio, radio etc. ti servono per un sacco di altre cose, e che se li bruciamo tutti per fare energia, fra 500 anni piangeremo.

Invidia nera

2010-06-08T19:07:00.002+02:00

Se fossi un blogger bravo, invece di un dilettante, allora questo blog.

Il primo teorema non si scorda mai

2010-06-04T11:00:00.005+02:00

Un po' di intimismo per oggi.

Mi sono appena accorto che i ricordi molto forti che ho si dividono in tre categorie.

- esperienze sentimentali (ci capiamo)
- esperienze sportive

e, last but not least, esperienze matematiche.

Ad esempio mi ricordo esattamente dove e quando e come:

- ho capito il problema di Monty Hall
- ho imparato la costruzione dei naturali secondo Peano
- ho capito il teorema della dimensione
- ho letto e studiato il teorema di Gödel
- ho incontrato per la prima volta la topologia insiemistica

etc etc etc...

Metamorfosi

2010-05-25T18:07:00.003+02:00

In nova fert animus mutatas dicere formas corpora

Ovidio

Immagino che a nessuno dei miei fedeli lettori (ormai probabilmente ridotti a molti meno di 25) sia sfuggito questo articolo del team di Craig Venter.

Se vi è sfuggita, leggere qua.

Vorrei fare alcune precisazioni semantiche sulla questione, ispirato dalle ripetute insistenze di Dario Bressanini sulla ideologia insita nell'uso dell'aggettivo naturale contrapposto ad artificiale.

Cliccando qua e la, mi sono accorto che un sacco di fonti (L'Estinto, Bioetica, Il Corriere, Repubblica etc... ma non il New Scientist), usano i termini vita artificiale, codice genetico artificiale etc... riferendosi alla questione.

Ovviamente, già si discute se sia veramente vita artificiale e non piuttosto un genoma artificiale etc. Alcune considerazioni

- il concetto di genoma o DNA artificiale è un'assurdità. Un DNA è una sequenza (circolare o elicoidale o come voi desideriate che sia) di 4 basi azotate. Usare gli aggettivi naturale o artificiale
suggerisce immediatamente una diversità essenziale tra i due, che non esiste.

- il termine corretto (per altro usato dagli autori) da utilizzare è sintetico, dato che ci riferiamo all'origine riconducibile ad esseri umani del DNA stesso.

- visto che ci siamo, mi piacerebbe precisare che il genoma utilizzato è sintetico nel senso che è stato prodotto utilizzando una procedura guidata dall'uomo; ma il template, la sequenza, utilizzata è fornita da un altro tipo di batterio. Come dire: lo stampo è di un batterio, la riproduzione è sintetica.

- come specificato da Craig Venter nella conferenza stampa, il problema grave non era la sintesi del DNA, già realizzata nel 2008, ma il suo inserimento in un altro batterio.

- per approfondire, qui l'articolo dove dimostrano come si possa trapiantare il DNA da un batterio ad un altro.

- da questo punto di vista, il termine forse più corretto da usare è impianto completo di DNA sintetico. Volendo usare un termine più spettacolare per una prima pagina, sarebbe stato molto più corretto parlare di metamorfosi batterica o qualcosa del genere.

Riassumendo, questa tecnologia è solo l'ultima di una lunga serie. Forse la più promettente, e, ovviamente, non è ancora dato sapere quali saranno le conseguenze di questo progresso per l'umanità. Io, personalmente, posso tentare di indovinare quali potrebbero essere per Venter: il premio Nobel.

Logic rules (but not here)

2010-03-10T11:41:00.004+01:00

Sentite questa qua: Obama dice sul terremoto in Chile "Non possiamo controllare la natura", e quel raffinato logico di Vietti ne deduce che adesso deve ammettere che non si può controllare il clima, perchè esso è parte della natura.

Come a dire: io non posso controllare un branco di cani, DUNQUE non posso controllare nessun singolo cane. Oppure: io non so cucinare una torta di mele, ERGO non so sbucciare le mele. O ancora: io ho le capacità di scrivere un libro, e NE DEDUCIAMO che io non so tenere una penna in mano.

Ci è o ci fa?

Jacko for Berlusca

2010-03-09T18:24:00.000+01:00

Da crepare

OECD

2010-03-09T16:28:00.002+01:00

Sto scrivendo poco sul mio, ma leggendo molto su blog di altri.

Per esempio questo.

Avatar e Matrix

2010-02-04T16:37:00.000+01:00

Uno degli aspetti più fondamentali di Avatar è, banalmente, il suo trattare di un Avatar. Il protagonista manovra a distanza un corpo non suo, quello, insomma, di un Avatar. È evidente che questo tema è molto simile a quello di Matrix, come spiegato qui, anche se io non parlerei di plagio.

Una prima riflessione: il fatto di possedere un Avatar da a tutta la narrazione un aspetto da Bildungsroman, nel senso che il protagonista viene descritto nel suo apprendere le regole di vita della sua nuova realtà. Ecco, secondo me, questo tema è svolto in maniera più interessante in Avatar rispetto a Matrix.

In Matrix, questo elemento da della storia è tutto interno al protagonista: è una sua presa di coscienza non visibile allo spettatore. Più precisamente, visibile allo spettatore quasi solamente nella misura in cui Neo diventa più abile nello scontrarsi con i suoi avversari. Da questo punto di vista, sembra preso da un videogioco, e l'elemento è abbastanza avulso dalla narrazione.
In più, i due mondi in cui avviene la storia, in Matrix, non interagiscono molto (almeno nel primo film, ma anche negli altri della serie), o almeno interagiscono solo indirettamente. Questo ha l'effetto che i cambiamenti (visibili in Matrix) del protagonista, la sua maturazione, non abbia alcun riflesso sulla sua vita da non-Avatar.

[Detto per inciso, questa separazione fra i due mondi fa si che non vengano sfruttate tutte le meravigliose possibilità offerte da meccanismi ricorsivi all'interno delle narrazioni che posseggano diversi livelli. Un esempio: in Matrix, la fantastica scena finale in cui Neytiri vede e salve Jack mentre sta soffocando, sarebbe semplicemente impossibile. Come anche il tema tradimento (Cypher in Matrix e simmetricamente di Trudy in Avatar), si può declinare nel mondo di Matrix solo nella morte del traditore, mentre in Avatar può essere utilizzato per creare un ponte fra i due mondi (cosa che in Matrix è solo accennata).]

In Avatar, invece, la formazione del protagonista viene vista dallo spettatore: in parte nell'addestramento di Jack (e qui il film è molto simile a Matrix, ancora una volta), e in parte nelle sue interazioni con il mondo degli alieni. In Matrix, il simmetrico è nel relazionarsi di Neo con l'Oracolo, ma questo può essere compreso solo negli altri film (e anche allora rimangono un sacco di errori logici, secondo me, ma questa è un'altra storia). Inoltre, la maturazione (da Avatar) del protagonista ha un risvolto anche sulla sua vita da non-Avatar, e questo da alla narrazione una tensione che trascende l'azione pura.

Riassumo la mia opinione: in Matrix, l'interazione fra i due mondi è poca, ed avviene ad un livello puramente conflittuale. Per questo, diventa quasi una scusa per giustificare le scene d'azione. In Avatar, invece, l'interazione fra i due mondi È il film, cosicchè ne vengono sfruttate le eccezionali possibilità ricorsive.

La realtà supera la fantascienza (I)

2010-01-18T14:25:00.002+01:00

La santificazione di Bottino Craxi è cominciata.

Così come il mio iter per prendere la cittadinanza tedesca, giovedì.

La Tecnologia

2010-01-14T11:16:00.002+01:00

2 minuti fa ho finito di comprare un biglietto per andare ad una conferenza. Ecco come funziona.

1) Telefono all'agenzia di viaggi dell'università per dire che biglietto voglio
2) Faccio firmare l'autorizzazione
3) Gli faxo l'autorizzazione
4) Vado a prendere il biglietto a un qualsiasi distributore automatico della Deutsche Bahn

Tutto dalla mia scrivania, a parte lo scendere di un piano per il fax e per la firma.

Bestiale.

Non 10, ma 1 domanda

2009-10-27T14:23:00.001+01:00

Oggi più di ieri ci chiediamo: chi ha corrotto David Mills?

Sorpresa

2009-10-22T10:59:00.002+02:00

Quando era partito questo sito, un mese fa, pensavo fosse una iniziativa estemporanea che sarebbe terminata dopo poche settimane. E invece...

FM09010 (I)

2009-10-21T16:54:00.006+02:00

So, let us start we the new lecture: Fourier methods and their applications to neuroscience.

Preliminary disclaimer: there are many many approaches to the topic. I will follow this one. In fact, Osgood's lecture is by far better than what I can hope to do in my life, but he has a slow pace which is not suitable for PhD students at the BCCN.

In the first lecture we explained the basic idea, which is simple: you have a complex periodic function (where complex stays for both "complicated" and "not real") and you want to represent it as weighted sum of simpler (but also not real) periodic functions. For definiteness, let us say that all functions have period 1.

We can choose to use trigonometric functions or complex exponentials. We will choose the complex exponentials for different reasons. To be precise, we want to express any periodic function of period 1 as the weighted (probably infinite) sum of the functions


e_n(t):=e^{2\pi nit}

where n ranges in the integers.
The difficult problem is: how to find the weights for the sum? It goes in the following way. You start from what you are looking for


f(t)=\sum_{n \in \mathbb Z} c_n e^{2\pi nit}

Here, the numbers c_n are the (unknown!) weights of the linear combination that you want to represent the function f. We now try to isolate a single coefficient, say the kth, to know whether is possible to get a formula for a single coefficient depending only on f and not on the other coefficients. So you get


f(t)- \sum_{n\neq k} c_n e^{2\pi nit} = c_ke^{2\pi kit}

You divide by the complex exponential obtaining


f(t)e^{-2\pi kit}- \sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit} = c_k

For this you have to use all properties of the complex exponentials. Which is, by the way, only one. And in fact it is the same as for the real exponential: "sum is mapped into multiplication". This is one motivation for using complex exponentials instead of trigonometric functions.

You now have the problem that you have expressed one c_k in terms of the other ones, but you want to have c_k without its companions. Algebra gave us everything she could, so let us try with Analysis. He suggests to integrate between 0 and 1 (which is the period of all functions here) obtaining


\int_0^1 f(t)e^{-2\pi kit} dt- \int_0^1\sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit}dt = c_k

The c_k, integrated, gives c_k! And now the magic. Compute the integral of the complex exponentials: it gives 0.
So, you are left with the famous expression


\int_0^1 f(t)e^{-2\pi kit} dt- \int_0^1\sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit}dt = c_k=:\hat{f}(k)

where we have introduced the symbol \hat{f}(k). We will call this number by the suggestive name of the kth Fourier coefficient of f.

Il mio voto...

2009-10-16T16:45:00.000+02:00

...andrà a Bersani.

Gioelli della matematica (I)

2009-10-02T10:40:00.003+02:00

Oggi parliamo dell'articolo Über die Unbeschränktheit der Operatoren der Quantenmechanik di Helmut Wielandt, apparso sui Mathematische Annalen nel 1949.

Il titolo, tradotto in italiano, vuol dire "Sull'illimitatezza degli operatori della meccanica quantistica". Di cosa stiamo parlando? Semplificando un po, in meccanica quantistica tutte le grandezze diventano operatori. E se due grandezze A,B sono una la trasformata di Fourier dell'altra, allora devono soddisfare la relazione

[A,B]=i \hbar

dove abbiamo indicato [A,B]=AB-BA il commutatore dei due operatori.

Questa relazione è detta la relazione canonica di commutazione, di più qui. Nel 1947 Wintner dimostrò, utilizzando una tecnica sviluppata da Rellich nel 1946, che due operatori che soddisfino le relazioni di commutazione devono essere illimitati. Tale dimostrazione era però complicata, e nel 1949 Wielandt diede una dimostrazione elementare di questo fatto. Come funziona?

Wielandt parte dall'osservazione che, se

[A,B]=1

allora

[A,B^{n+1}]= (n+1)B^n

La dimostrazione di questo fatto è una semplice manipolazione algebrica e un'altrettanto semplice induzione.

Da questo fatto, e dalla disuguaglianza triangolare inversa applicata alla norma operatoriale di A e B, ottiene una stima della norma di B

(n+1)|B^n|\leq 2|A||B||B^n|

che vale per tutti gli n.

L'attento lettore avrà già capito che questa stima implica che B=0, di conseguenza anche A=0, e così abbiamo ottenuto che ~~l'unico operatore limitato che soddisfa le relazioni di commutazione è l'operatore nullo~~ non esistono operatori limitati che soddisfano le relazioni di commutazione.

Moltiplicatori di Fourier

2009-09-25T09:18:00.005+02:00

Ieri ho finalmente capito cosa sono, o meglio, realizzato qual è l'utilità dei moltiplicatori di Fourier.

Prima di spiegarlo, abbiamo bisogno di due premesse.

La prima premessa: la rappresentazione temporale e la rappresentazione spettrale di una funzione sono equivalenti, nel senso che contengono la stessa quantità di informazione.

La seconda premessa: in analisi funzionale spesso si considerano degli operatori lineari molto semplici, chiamati moltiplicatori; il moltiplicatore, chiamiamolo M, con una data funzione, diciamo m, è definito come

 Mf(x) := m(x)f(x)

Questi operatori vengono studiati per la loro semplicità e perchè è possibile illustrare molte definizioni e molti teoremi utilizzando questi operatori. Ad esempio, lo spettro di un moltiplicatore (a meno di dettagli tecnici) corrisponde all'immagine della funzione m.

Ora, dato che come abbiamo detto rappresentazione temporale e rappresentazione spettrale sono equivalenti, è lecito utilizzare operatori di moltiplicazione anche per una funzione in dominio di frequenza. Cioè, se \mu è una funzione, il moltiplicatore in dominio di frequenza è

 \mathcal Mf(\omega) := \mu(\omega)f(\omega)

Adesso siamo in grado di definire un moltiplicatore di Fourier T, che è la rappresentazione temporale di un moltiplicatore in spazio di frequenza, cioè

Tf= \mathcal F^{-1}\mathcal M \mathcal F f

Detto in italiano: consideriamo la rappresentazione spettrale di una funzione f; la moltiplichiamo con una funzione \mu, e quello che otteniamo lo rappresentiamo temporalmente. Questa serie di operazioni definisce un moltiplicatore di Fourier.

Cui prodest? Qual è il vantaggio di tali operatori? Ma è chiaro! Che è possibile controllare esattamente come questi operatori agiscono sullo spettro!

Alcuni esempi importanti: il Laplaciano, la trasformata di Hilbert, tutti gli operatori di convoluzione, tutti gli operatori differenziali a coefficienti costanti sono moltiplicatori di Fourier.

Questo semestre terrò il corso per dottorandi di biologia (e fisica) "Analisi di Fourier e applicazioni alle neuroscienze".

Cercando su internet ho trovato questo bellissimo corso di Brad Osgood.

È ad un livello molto di base, ma tutto è spiegato così bene, e con una tale chiarezza di idee, da lasciarmi stupefatto.

Aspettando il gatto...

2009-09-16T11:37:00.001+02:00

... ci accontentiamo dei virus di Schrödinger

Strategie energetiche

2009-09-03T09:46:00.006+02:00

Forse non tutti sanno che amo i giochi di strategia quanto la matematica; anzi, secondo me sono due facce della stessa medaglia.

Giochi da tavola, come Scacchi, Siedler, Risiko, Axis and Allies, Agricola, Star Quest, ma anche al computer come Civilization, Age of Empires, Pretorians, The Guild .

Ora, una delle cose fondamentali nei giochi di strategia è, tautologicamente, la pianificazione. Essa diventa particolarmente importante nel caso si vadano a compiere azioni irreversibili; se io muovo il pedone sulla colonna f, devo sapere che il mio arrocco corto sarà debole per sempre. Posso prendere il rischio, ma devo esserne cosciente.

Io dunque mi chiedo: siamo convinti che i nostri amministratori, di destra, sinistra e centro, italiani e tedeschi, siano coscienti dei rischi che ci hanno fatto assumere decidendo di usare risorse rare come petrolio e uranio per produrre energia elettrica? Non è più sensato produrla in maniera rinnovabile, magari con costi più alti?

Tornando a noi, la domanda cruciale è: fra 500 anni come faranno i nostri nipoti a far andare le navi? O satelliti e navi spaziali? O produrre plastica?

Dialetti

2009-09-02T10:16:00.000+02:00

L'ultima volta che siamo stati in Italia, io e Ulla abbiamo comprato una montagna di classici perche lei possa conoscere le basi della letteratura italiana. Come di solito avviene in questi casi, ho ricominciato a leggere vecchi classici.

Così mi è capitato di riprendere in mano I promessi sposi e di ricominciare a leggerlo.

Subito dopo aver introdotto il falso manoscritto secentesco, Manzoni ne commenta lo stile, in una sorta di "manifesto della lingua":

Ben è vero, dicevo tra me, scartabellando il manoscritto, ben è vero che quella grandine di concettini e di figure non continua così alla distesa per tutta l'opera. Il buon secentista ha voluto sul principio mettere in mostra la sua virtù; ma poi, nel corso della narrazione, e talvolta per lunghi tratti, lo stile cammina ben più naturale e più piano. Sì; ma com'è dozzinale! com'è sguaiato! com'è scorretto! Idiotismi lombardi a iosa, frasi della lingua adoperate a sproposito, grammatica arbitraria, periodi sgangherati. E poi, qualche eleganza spagnola seminata qua e là; e poi, ch'è peggio, ne' luoghi più terribili o più pietosi della storia, a ogni occasione d'eccitar maraviglia, o di far pensare, a tutti que' passi insomma che richiedono bensì un po' di rettorica, ma rettorica discreta, fine, di buon gusto, costui non manca mai di metterci di quella sua così fatta del proemio. E allora, accozzando, con un'abilità mirabile, le qualità più opposte, trova la maniera di riuscir rozzo insieme e affettato, nella stessa pagina, nello stesso periodo, nello stesso vocabolo. Ecco qui: declamazioni ampollose, composte a forza di solecismi pedestri, e da per tutto quella goffaggine ambiziosa, ch'è il proprio carattere degli scritti di quel secolo, in questo paese. In vero, non è cosa da presentare a lettori d'oggigiorno: son troppo ammaliziati, troppo disgustati di questo genere di stravaganze. Meno male, che il buon pensiero m'è venuto sul principio di questo sciagurato lavoro: e me ne lavo le mani.

Riuscirà Cota a dividere ciò che Manzoni ha unito?

Barconi

2009-08-21T16:14:00.002+02:00

Certo che ci vuole coraggio a definire i migranti che vengono in Italia su barconi malsicuri "un problema che affligge le nostre coste".

Pensavo che il problema fosse loro, dei migranti, e fosse anche un po' più grave di quello che si può immaginare Fabio Betti.

Linguaggio

2009-08-20T10:18:00.003+02:00

Una discussione con un mio caro amico ha fatto si che una riflessione che avevo in mente da molto tempo si cristallizzasse. Non pretendo di aver scoperto qualcosa di nuovo, ma vorrei scriverla per formalizzarla coerentemente. Il tema è l'inadeguatezza assoluta del linguaggio.

Per questo dobbiamo fare un passo indietro e vedere dove nasce questo linguaggio: il quale nasce nella mente. Spesso assumiamo implicitamente che il linguaggio che parliamo abbia qualche relazione col mondo esterno; questo però è un assunto indimostrabile ed è sicuramente falso in molte situazioni.

L'esempio più evidente, ma anche più banale, è quello delle illusioni ottiche . In esse è evidente che il linguaggio rispecchia la mente, e ci porta a descrivere in maniera ingannevole il mondo esterno, ammesso che esso esista in qualche senso del termine esistere. L'unica maniera per sottrarsi a ciò è, in questo caso, l'utilizzo di un linguaggio poco naturale come quello della matematica.

Un altro esempio, più stringente, è la sovrabbondanza nelle lingue umane di termini emozionali, che dunque riflettono stati interni della mente e che solo casualmente hanno la fortuna di essere comunicabili. Casualmente: a mio parere è un gran colpo di fortuna che tutti gli uomini abbiano un universo interiore simile e comunicabile.

Che poi non è nemmeno tanto vero. Ad esempio, i libri di Oliver Sacks contengono sterminati esempi di persone il quale mondo interiore è decisamente diverso dal nostro. Diciamo così: la maggioranza degli esseri umani possiede un universo interiore che permette di parlare con un linguaggio comune degli stati interni della mente.

Questa però è un'inadeguatezza relativa, dovuta al fatto che c'è la mente fra il mondo e il linguaggio, e che quindi tutto ciò che arriva a quest'ultimo è mediato da essa, con tutti i problemi del caso. Per capire cos'è l'inadeguatezza assoluta assumiamo, per un attimo che ci sia una bigezione fra il mondo e la mente, cosicchè parlare degli stati interni della mente, o degli stati del mondo è la stessa cosa. Se il linguaggio fosse adeguato, allora dovrebbe essere in grado di comunicare questi stati interni. È qui sorge il problema: il linguaggio è uno strumento culturale, sviluppatosi con alcuni obiettivi (cacciare, raccogliere, trovare un partner etc). E i suoi mezzi sono buoni per tali obiettivi, ma non necessariamente per altri.

Questo si vede quando si tenta di piegare il linguaggio a fini che non sono i suoi: ad esempio comunicare gli stati interni, o addirittura affermare verità logiche su di essi. Fra le altre cose, questo è dovuto al fatto, banale, che il linguaggio è un insieme finito di simboli, e per questo stesso motivo incapace di rappresentare un universo (probabilmente) inifinito, o comunque molto più grande, di stati interni.

Sembra un ragionamento astratto, ma è una questione pratica! Il linguaggio, nato per comunicare cose essenziali, o comunque non per parlare del mondo, ma per sopravvivere in esso, è stato piegato a questa necessità, per il quale è totalmente inadeguato.

Questo stato di cose ha una conseguenza bizzarra, ed è qua che mi riallaccio (anche se solo parzialmente) alla discussione col mio caro amico. Che è praticamente impossibile formulare leggi valide in termini di linguaggio naturale. I motivi sono i più svariati, ma dipendono tutti sostanzialmente dal problema di esaurire i casi di applicazione di una regola, a meno che non si desideri utilizzare una regola che valga sempre, cosa evidentemente assurda, già ad un livello puramente linguistico.

Un esempio banale: supponiamo di enunciare la legge "D'estate ci sono più di 30 gradi." Evidentemente imprecisa. "D'estate, a Friburgo, la temperatura massima è più di 30 gradi". Per rispondere alle obiezioni sulle eccezioni, inseriamo una variabile temporale. "Noi prevediamo che, nelle estati del III millennio, a Friburgo, la temperatura massima sarà sempre più di 30 gradi". Ora vengono i problemi di misurazione. "Durante il III millennio, la temperatura massima misurata d'estate nella piazza di Friburgo sarà superiore ai 30 gradi". Come immaginate, si può continuare quasi all'infinito, e stiamo usando il linguaggio per esprimere uno stato di cose semplice ed oggettivamente misurabile! Pensate cosa accade quando bisogna esprimere con questo linguaggio verità su concetti trascendenti, o verità filosofiche.

Perchè scrivo queste cose? Perchè spesso soffro molto per l'inadeguatezza espressiva del linguaggio naturale.

Distribuzione di Poisson

2009-08-16T08:54:00.002+02:00

Cos'è la distribuzione di Poisson? A cosa serve? Come è possibile derivarla come somma di variabili di Bernoulli infinitesimali?

Queste ed altre domande sono risposte nella prima trasmissione di CardaTV!

Discriminazioni matematiche

2009-08-06T17:29:00.002+02:00

Sono contento di essere tornato a Friburgo, dopo la mia maratona di conferenze. Così ho anche il tempo di imparare qualcosa!

Ad esempio, oggi ho perso un po' di tempo a studiare la curva ROC. Spieghiamo il problema con un esempio: supponiamo che abbiate un forte mal di denti agli incisivi e andiate dal medico. Egli vi spiega che può avere due cause: un'infenzione del virus CRO o un'infezione del batterio ORC. L'unica maniera per distinguerli è misurare nel sange la concentrazione dell'anticorpo COR. Se è alta avete il temibile batterio, se è bassa avete l'arrendevole virus.

"Quanto alta? Quanto bassa?" sono le domande che subito risuonano (dovrebbero risuonare) nel vostro brillante cervelletto di matematici. Il problema è abbastanza complesso, anzi molto complesso. La prassi è quella di stabilire una soglia: al di la' di questa soglia si crede cha abbiate il batterio, al di sotto si crede che abbiate il virus.

Ovviamente può essere che, casualmente, abbiate un valore basso di anticorpi, ma che comunque vi siate presi il batterio (falso negativo), o cha abbiate un valore alto, ma causato dal virus (falso positivo). La curva ROC è la curva che vi dice qual'è la percentuale di veri positivi che è da attendersi supponendo di avere un dato numero di falsi positivi. È fonte di molte interessanti informazioni statistiche e vi consiglio di leggere almeno la pagina di wikipedia.

Appello: dimostrazione del teorema dei 4 colori

2009-07-29T13:49:00.002+02:00

Qualcuno sa se questo articolo e' vero?

L'autore da' una dimostrazione senza computer del teorema dei 4 colori. Potrebbe essere possibile, soprattutto dato che l'autore (Ibrahim Cahit) sembra essere un professionista.

Per i non-addetti ai lavori: il teorema dei 4 colori afferma che e' possibile colorare ogni mappa (senza enclavi) con al massimo 4 colori differenti. E' stato provato alla fine degli anni '80 verificando ogni caso possibile, dopo aver ridotto il problema ad un numero finito (ma grande) di casi critici possibili.

Ovviamente fu quasi uno scandalo per la comunita' matematica, quindi sarebbe veramente interessante sapere se esiste una dimostrazione "umana".

Purtroppo non sono un esperto di teoria dei grafi, quindi non penso di poter verificare la dimostrazione di persona: qualcuno sa qualcosa?

Sfere dantesche

2009-07-28T14:01:00.002+02:00

A quei pochi fortunati fra voi che hanno accesso al Mathematical Intelligencer, e che hanno una certa passione per l'arte e la letteratura, non posso far altro che consigliare di leggere The geometry of paradise, un bellissimo saggio di Mark Peterson sulla costruzione geometrica sottostante all'universo dantesco; in particolare dell'Empireo.

Peterson porta un sacco di argomenti molto convincenti per la tesi che Dante abbia consapevolmente utilizzato come modello S3, sarebbe a dire la superficie di una palla a quattro dimensioni. Puo' sembrare un po' sorprendente, date le conoscenze primitive che i medievali avevano della matematica, ma leggere il saggio convincera' abbastanza rapidamente della plausibilita' di tale interpretazione.

Dato che qui non siamo pero' su un blog di letteratura, ma su uno di matematica, cerchiamo di spiegare cos'e' S3. Come ho detto, essa e' la superficie di una palla quadridimensionale; algebricamente, se (x,y,z,t) sono le nostre coordinate, la palla e' determinata dall'equazione


x^2+y^2+z^2+t^2 \leq 1

cioe' fanno parte di tale palla tuttio i vettori che distano meno di 1 dall'origine. Per ottenere la sfera, si sostituisca il minore o uguale con uguale:


x^2+y^2+z^2+t^2 = 1

e' l'equazione algebrica che identifica S3.

Quali sono le caratteristiche di questa sfera?

1) Localmente sembra esattamente come R3; cioe' non e' possibile determinare da una misura locale se ci troviamo in R3 o in S3
2) La sfera non ha un bordo: non si puo' cadere dal bordo della terra, perche' la sua superficie e' S2! E non si puo' arrivare alla fine dell'empireo perche' e' S3!
3) Ovviamente, esattamente come la superficie della terra, il volume di S3 e' limitato. Sembra contraintuitivo, ma e' cosi'.

Insomma, se avete tempo, leggetevi l'articolo che e' estremamente interessante!

Giro di Germania

2009-07-08T21:44:00.002+02:00

Da oggi sono in giro per conferenze. Prima qua, poi qua, qua e qua.

Se ci riesco, vi mando un po' di notizie.

Bilancio

2009-07-06T08:09:00.002+02:00

Ho fatto un esperimento per due semestri: vedere che succede a far diventare di questo blog un diario professionale, inserendo i riferimenti alle lezioni.

L'esperimento è fallito, dato che mi ha tolto molto del piacere di scrivere su blog, e che la qualità di quello che ho scritto è stata decisamente bassa. Detto questo, è interessante vedere perchè l'esperimento è fallito.

Secondo me la causa principale di questo fallimento è il fatto che questo blog è principalmente una valvola di sfogo per le mie idee sotterranee. Per ciò che non ha un gran valore scientifico, ma piuttosto didattico, o estetico, o psicologico.

Quindi trasformarlo in uno strumento professionale ne ha distrutto un po' l'essenza.

Pazienza, gli esperimenti si fanno, e ogni tanto falliscono. Da oggi si riprende col vecchio stile.

PP09 (VIII)

2009-06-26T14:55:00.003+02:00

This week we have started the analysis of interactions between point processes. The oldest model in this context is probably due to Hawkes and it is based on the following idea.

We want to model a family point processes, each with its own events


t_j^n, \qquad j,n \in \mathbb N

where j is the index for the event and n is the index for the process. The simplest idea is to assume that each of the processes is Cox one, i.e. an inhomogeneous Poisson process whose rate function changes randomly in time. We then let depend the rate function on the realization itself of the point process, by convolving the realization with a causal kernel.

This procedure is known as a Hawkes process, and it is very useful. It only has a drawback for neuronal modeling: you cannot model inhibition, since your kernels have to be positive, but if you are interested in this problem, you probably should take a look at the lecture.

2009-06-15T17:51:00.004+02:00

Only to write that I (and many others) support pacific demonstrators in Teheran.

Auguri... (II)

2009-06-14T21:32:00.004+02:00

Oggi mi sono ascoltato questa intervista a Maurizio Monti, del MSI. Al minuto 2:30 lui afferma, rispondendo all'intervistatrice che gli chiedeva se le divise delle ronde nere gli facessero venire in mente qualcosa

Ma sicuramente anche a me mi torna in mente qualcosa. [...] Il fascismo fa parte della storia italiana, fa parte del patrimonio del popolo italiano, è una cosa che è avvenuta tanti anni fa, è una cosa che può aver portato cose buone, e cose cattive, ma sa, i ricordi non fanno male a nessuno

Detto in altre parole: questi sono neofasciti (vedi qui), lo dicono pure, e non se ne vergognano.

PP09 (VII)

2009-06-14T21:13:00.002+02:00

Last time we have defined the spectrum of a point process.

In general, spectral properties of stochastic processes are an interesting and difficult topic. Interesting because of the amount of information that can be extracted by analysis in frequency domain, and difficult mainly because it is quite difficult to measure the spectrum of a stochastic process.

Why it is difficult? To measure the spectrum, one idea could be to sample the stochastic process for a very long time, to plug the observed values into the definition of the Fourier transform, and take this as an estimation of the spectrum.

Does it work? If you do this, you're actually computing the periodogram of the stochastic process: as you can read in wikipedia, the periodogram has the problem to be a non-consistent estimator of the spectrum, and this fact can't be avoided but by collecting more observations of the process.

So, surprisingly, the key is not to observe the process for a long time, but to collect many independent observations of them.

Of course, observing for long times also is useful, e.g. to reduce spectral leakage, but this is another story...

PP09 (VI)

2009-05-28T15:39:00.002+02:00

Finally, the update of the lecture.

I will skip lecture VI: I was somehow busy last week, and I could not update the blog.

So, tuesday we started to learn something about networks. In particular, we discussed what can be said about the statistics of the superposition of renewal processes.

Superposition is not a renewal process.

Assume that you have two different processes and fix a spike at time -1 from the first process, the previous one being in a late past. Then, depending on when the last spike of the second process was, the hazard of the superposition will be different, and so it can't be a renewal process. The exception is of course the superposition of Poisson processes for which the hazard is constant.

Superposition of large numbers of renewal processes in equilibrium has exponential distributed intervals

How to see it? Formal method: compute the ISI distribution of the superposition, see the slides or the book by Cox. More intuitevly, you can reason in the following manner: first discretize with width dt the time and assume that a time 0 you had a spike from neuron 1. Now, the probability of having a spike at time 1 will be dt(r_1+r_2+...+r_n) approximately for all subsequent bins: this is because we are superimposing a large number of processes which all are in equilibrium. So, it is a Poisson process in discrete time, and going to the limit dt-->0 we obtain what we are looking for.

Auguri...

2009-05-13T11:29:00.004+02:00

...a tutti quelli che vivono ancora in Italia e che mi chiedono perchè non voglio tornare. Quello che parla nel video linkato è il signor Borghezio.

PP09 (IV)

2009-05-12T17:41:00.002+02:00

So, today we started a new topic: that of non stationary point processes. In particular, we looked at inhomogeneous Poisson processes and Cox processes. The former are Poisson processes where the rate change in time, in a deterministic manner. The latter are the same, only the rate is itself a stochastic process.

As usual, the lecture is here.

Inhomogeneous Poisson processes can be seen also from another point of view: instead of thinking of a process with changing rate. one can think of a standard Poisson process with intensity 1, where the time is distorted. The distortion is, of course, proportional to the rate.

The advantage of thinking that way is to define non stationary renewal process: a method is, in fact, to define a stationary process and then to operate a time distortion, which leads to a non stationary process.

And this is exactly what we will do next time.

PP09 (III)

2009-05-08T15:57:00.002+02:00

There was an error in the derivation of the partial differential equation for the age distribution in the slides. I have changed it, and now the slides are correct.

The derivation goes as follows; assume that we have a renewal process with age distribution u and hazard rate f. After a short time dt you will have that units with age s+dt at time t+dt are exactly the units that at time t had age s and that did not produce an event. Locally on time, the probability of not emitting an event is


P(\mbox{no event in (t,t+dt}) \approx e^{-\phi(s(t)) dt}

so, plugging this into the age distribution we obtain


u(t+dt,s+dt) \approx e^{-\phi(s) dt} u(t,s)

Fine. We now subtract u(t,s+dt) from both sides of the equation and expand the exponential function up to first order. This leads to


u(t+dt,s+dt)-u(t,s+dt) \approx (1-\phi(s) dt) u(t,s) - u(t,s+dt)

Rearrangin and dividing by dt leads to


\frac{u(t+dt,s+dt)-u(t,s+dt)}{dt} \approx \frac{u(t,s)- u(t,s+dt)}{dt}- \phi(s) u(t,s)

Of course this means


\partial_t u(t,s) \approx -\partial_s u(t,s) - \phi(s) u(t,s)

complemented with some initial and boundary condition.

QED

2009-05-01T13:46:00.003+02:00

Ieri ho notato che l'elettrodinamica quantistica e il quod erat demonstrandum hanno la stessa abbreviazione

Cosa significa?

PP09 (II)

2009-04-28T19:40:00.002+02:00

Today we had another lecture about renewal processes. The focus was on variability of count statistics.

We have seen a theorem relating the asymptotics of the Fano factor, which is the normalized variance of the counts, and the coefficient of variation of the inter event times.

If you have a point process, you can think of two different types of variability:

1) variability within each realization: how inter event times do differ from each other;

2) variability across trials: how statistics change from one realization to the next.

It is quite intuitive that for renewal processes both type of variability should be somehow connected: if you have a long realization of a renewal process, you can cut that into pieces and construct many shorter realizations; the renewal property implies that the statistics of the every single realization will be independent from the others.

This is exactly the meaning of the theorem about the asymptotics of the Fano factor: in the limit, for a renewal process the Fano factor and the CV2 will coincide.

Why the exponential function?

2009-04-22T18:07:00.003+02:00

In the first lecture of the point processes course, we have used at least twice the exponential function. It is maybe worth to shortly explain why the exponential function can be represented in different ways.
We are mainly concerned with the identities


e^{x} =  \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}= \lim_n (1+\frac{x}{n})^n

Let us start by defining the exponential function to be the only function for which


f(x) = f'(x)

up to a scalar factor. So, we have to check that both definitions enjoy this property. If it is case, then they will both agree with the exponential function, assumed that everything converges.

Let us check it for the first formula. Deriving term by term yields


d/dx\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n x^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^\infty \frac{ x^{n-1}}{(n-1)!}

By calling k the term n-1 we obtain our desired identity.

For the second one, observe that


d/dx f^n(x) = nf'(x)f^{n-1}(x)

Applying this to the product in the formula we obtain


d/dx(1+\frac{x}{n})^n  =\frac{n}{n} (1+\frac{x}{n})^{n-1}

But since


\lim_n (1+\frac{x}{n})=1

one could hope that the identity holds. But here we have some difficulties with the convergence, indeed.

PP09 (I)

2009-04-20T16:47:00.004+02:00

Tomorrow the lecture "One-dimensional point processes" will start.

I will introduce the theory of point processes on the real line in a rather mathematically informal way. The main goal is to provide the students with some tools for modeling neural networks on the basis of point processes and to give them a feeling for what could be done with spike data, once you have collected them.

The first topic will be very basic: the time-representation of renewal processes. We will see how far we can go by describing renewal processes as sum of an i.i.d. sequence.

I will post the lectures here and will try to give some additional material here on the blog.

Al Mercato Nero

2009-04-19T17:30:00.004+02:00

Ho varie cose su cui vorrei scrivere nei prossimi giorni: spero di riuscire ad evaderle tutte prima che il semestre cominci: varie conferenze a cui sono stato nell'ultimo mese, un'altra che stiamo organizzandon con un collega, l'ultimo paper che ho messo su arXiv, il corso che terrò questo semestre.

Comincio con la bizzarra installazione teatrale a cui ho partecipato ieri. La compagnia teatrale del teatro cittadino di Friburgo ha realizzato un progetto con delle scuole, in cui gli studenti dovevano realizzare delle rappresentazioni teatrali che trattasero di alcuni temi neuroscientifici: stimulazione cerebrale profonda, interfaccia cervello-computer ed altre amenità.

Ieri hanno presentato questi spettacoli, insieme a conferenze e dibattiti diretti da alcuni specialisti del settore. La sera è stato organizzato dalla compagnia un mercato nero del sapere. 48 esperti hanno offerto delle conversazioni di 1/2 ora su un tema a loro scelta al pubblico. Il pubblico poteva scegliere l'espero, e per 1 euro, parlare con lui del tema proposto.

Il mio tema era "Conway's game of life: l'ultimo gioco dove l'uomo è ancora superiore alla macchina". La mia idea era di partire dalla notizia che da pochi mesi esistono programmi giocatori di go in grado di competere con giocatori professionisti. Questo è stata una grande soprpresa per me, perchè nell'ambiente dei giocatori di strategia si andava mormorando che, a differenza degli scacchi, il go era insolubile per i computer, perchè non è attaccabile in maniera brute force, e per altri motivi più profondi. Da quello che ho capito essenzialmente è difficile scrivere un algoritmo di valutazione.

Poi volevo introdurre il game of life: spiegarne le regole, e giocare alcune situazioni semplici, per far capire che è in teoria è possibile costruire un computer composto da automi cellulari.

L'idea era di poi passare a Turing, Gödel, e argomentare che il computer non può, a causa del teorema di Gödel, superare l'uomo nel game of life.

Cosa a cui non credo fino in fondo, a dire il vero. Ma tant'è: tutte e due le conversazioni sono andate benissimo, nonostante il primo ragazzo fosse uno scolaro di 17 anni e il secondo uno studente di storia al 3° anno.

Di più: certamente un'esperienza ispiratrice e che ripeterò, qualora ce ne sia ancora l'occasione.

Scoperte scientifiche

2009-04-16T21:27:00.003+02:00

Oggi ho scoperto una nuova forma di autocondizionamento: la mia ragazza è (scherzosamente) convinta che la sua ipocondriaca convinzione di essere malata delle malattie più improbabili avrà un effetto anti-placebo su lei stessa, facendola realmente ammalare delle malattie di cui lei crede essere già malata.

Abbiamo già deciso il nome per questo disturbo: "metaipocondria".

25 deputati

2009-04-14T17:53:00.004+02:00

Con poca voglia di lavorare appena tornato da Londra, girando un po' su internet ho trovato questa meravigliosa predizione di Ferrara prima delle elezioni:

Mi aspetto di portare alla Camera 20-25 deputati che avranno come missione quella di lanciare un grande piano nazionale di aiuto alla vita. E penso di riuscirci

Giusto per ricordare come è andata a finire.

Curve caratteristiche e curve di risposta

2009-03-31T20:40:00.003+02:00

Cosa c'entra il metodo delle curve caratteristiche con le neuroscienze, mi chiedeva oggi un collega per telefono?

Se descriviamo un neurone tramite un processo puntuale caratterizzato da una certa frequenza condizionale h, allora avremo che l'evoluzione della distribuzione d'età sarà governata per tempi brevi t dall'equazione


\partial_t u = -\partial_\tau u - h u

dotata di una condizione iniziale. Questa è una equazione alle derivate parziali libera (cioè priva di condizioni al bordo), e la risposta in termini di frequenza di potenziali d'azione è data da


\int uh dx

Ma tale PDE può essere risolta analiticamente tramite il metodo delle caratteristiche: ecco che c'entra!

NWG

2009-03-27T18:49:00.002+01:00

Al moment sono alla conferenza della società tedesca di neuroscienze.

Matematica, ovviamente, ce n'è poca, ma sto studiando il metodo delle curve caratteristiche: potrebbe essermi d'aiuto per alcune questioni relative ai processi puntuali.

Per essere brevi: è un metodo che permette di ridurre equazioni alle derivate parziali del prim'ordine ad un sistema di equazioni alle derivate ordinarie, sfruttando il fatto che la soluzione dell'equazione forma una superficie di cui è noto lo spazio tangenziale.

Di più su Wikipedia...

Diciotto anni

2009-03-23T09:21:00.005+01:00

Deh! Non volerli vittime del mio fatale errore...

Norma

Raramente scrivo di politica. Spesso per far notare che scempio hanno fatto e stanno facendo del Petruzzelli.

Repubblica

2009-03-14T18:56:00.003+01:00

Dato che il dm ha abbandonato il suo lodevole lavoro, provvedo io a listare i titoli una delle pagine di scienze più terrificanti della storia di repubblica.

Attrazione tra gli ultimi maschi l'anatra blu rischia di estinguersi.

Anoressia e bulimia tra ragazze prima causa morte per malattia.

A Parigi lo spot adesso ti spia. La città contro i pannelli hi-tech.

Santino, scimpanzè lancia-pietre che pianifica i suoi attacchi.

Ecco la zona del cervello dove nasce la fede in Dio.

Amore o odio a prima vista così decide la nostra testa.

Un partner più sensibile se ha orecchio musicale.

Faccio notare: 3 su 7 contengono riferimenti più o meno impliciti al sesso. 4 su 7 sono di neuroscienze. E non capisco perchè l'articolo su Parigi si trovi qui e non nella sezione tecnologia.

E poi la gente si lamenta che non esiste una cultura scientifica in Italia.

NSA: due strade diverse

2009-03-11T08:30:00.003+01:00

Esistono sostanzialmente due approcci all'analisi non standard. Il primo, quello classico di Robinson è legato alla teoria dei modelli. Ridotto all'osso e oltre: si costruisce una "superstruttura" in cui esistono numeri naturali non standard, e si dimostra tramite ultrafiltri, che questa struttura è consistente logicamente.

Pur nel suo grande valore, sia intrinseco sia storico, questa versione della NSA è estremamente complicata, e richiede uno studio approfondito prima di capirci qualcosa.

L'alternativa è l'approccio assiomatico. Si introduce un nuovo predicato per gli oggetti di ZFC, "standard" e si pongono alcuni assiomi per operare con questo predicato. Se si ha fortuna (cioè se si usa una versione assiomatizzata da qualche matematico bravo) si disporrà anche di un algoritmo di traduzione dall'NSA all'analisi classica, che è una cosa utile. Questo è l'approccio scelto da Nelson.

Una variante è la teoria alpha di Benci e Di Nasso, in cui si introducono direttamente in maniera assiomatica i numeri non-standard.

Per un principiante, le teorie assiomatiche sono certamente meglio!

Letture consigliate:

[1] Benci, Di Nasso, "Alpha-theory: an elementary axiomatics for nonstandard analysis", Expositiones Mathematicae, 2003

[2] Davis, "Applied non standard analysis", Dover Publications, 2005

[3] Nelson, "Internal set theory: a new approach to nonstandard analysis", Bullettin of the American Mathematical Society, 1977

[4] Robinson, "Non-standard analysis", Princeton University Press, 1966

I numeri reali non sono numerabili

2009-03-03T14:23:00.004+01:00

Nella discussione su questo post di tomate, ci si chiedeva se ci fosse una dimostrazione topologica, non basata sull'argomento diagonale di Cantor, del fatto che i numeri reali sono sovrannumerabili.

Sicuramente ve n'è una, nota come prima dimostrazione di non contabilità di Cantor, che è dovuta allo stesso Cantor. Leggasi la dimostrazione su Wikipedia.

Una dimostrazione più rapida è basata sul teorema di Baire. Il teorema di Baire afferma che uno spazio metrico completo non può essere unione numerabile di insiemi mai densi.

Un insieme mai denso è un insieme la cui chiusura ha insieme complementare denso.

Torniamo alla dimostrazione del teorema "R è sovrannumeabile". Ovviamente R è l'unione dei suoi punti. Ognuno dei suoi punti è evidentemente un insieme mai denso. Dato che R è completo, dal teorema di Baire si deduce che non è numerabile.

Faccio notare che la facilità della dimostrazione di questo teorema rispetto alla dimostrazione originale di Cantor è dovuta al fatto che il teorema di Baire è equivalente all'assioma della scelta dipendente.

MCCN XIII

2009-02-17T20:44:00.004+01:00

Nell'ultima settimana ci siamo occupati ancora una volta di processi puntuali. È stata molto simile alla precedente, solo un po' più didattica, dato che è stata durante la lezione e non durante l'esercitazione

Si trova qua.

NSA e assioma della scelta

2009-02-07T16:21:00.002+01:00

Ieri ho scoperto una cosa veramente interessante leggendo questo libro. E cioè che l'analisi non standard è indipendente dall'assioma della scelta, e necessità solo dell'esistenza di ultrafiltri.

Dato che quest'ultima è più debole dell'assioma della scelta stessa, e che i teoremi dell'analisi non standard possono essere provati anche nell'analisi standard, ne consegue che, se di un teorema esiste una dimostrazione non standard, allora il teorema stesso dipende solo dall'esistenza di ultrafiltri, e non dall'assioma della scelta.

Un altro motivo per studiarla, l'analisi non standard.

Aria fresca

2009-02-04T17:29:00.003+01:00

Sergio Zavoli, il nuovo presidente della commissione di vigilanza RAI, è nato il mio stesso giorno.

Di 85 anni fa.

MCCN XII

2009-02-04T16:58:00.002+01:00

Giovedì scorso ci siamo occupati di effetti transienti in processi puntuali. È un argomento è un po' tecnico: proverò a riassumerlo senza troppe formule. Se un processo puntuale non è di Poisson, allora la probabilità che ad un certo punto venga generato un evento dipende dalla distanza nel tempo dell'ultimo evento: questa distanza la chiamo, per ovvi motivi, età del processo. Questa proprietà, in effetti, caratterizza un processo di Poisson.

Quando cominciamo ad osservare il processo, esso avrà un'età ben definita, specificata da noi. Ad ogni tempo successivo, però, l'età sarà essa stessa una variabile casuale. Pare allora ragionevole considerare che anche l'età iniziale sia una variabile casuale.

Supponiamo adesso di conoscere la distribuzione iniziale della variabile casuale in questione: il nostro obiettivo è quello di scrivere un'equazione alle derivate parziali (non stocastica) che spiega come si evolve la distribuzione iniziale delle età. Come si può vedere negli appunti, l'equazione è di prim'ordine, e non di secondo, a differenza delle equazioni di Fokker-Planck (e equazioni simili), che pure tendono a obiettivi simili.

PS: l'articolo su Wiki è ancora un abbozzo. Prometto di metterci mano al più presto...

L'alieno imbroglione

2009-02-03T13:56:00.004+01:00

Ho finalmente risolto l'enigma presentato qua.

In questo racconto, un alieno raccoglie tutti i dati sulla terra; per memorizzarli, un computer incide su una barretta metallica una fessura. Lo sviluppo binario della posizione della fessura è esattamente il file contenente i dati raccolti sul pianeta terra.

Questo, in via teorica, permette di conservare una quantità di dati infinita tramite un oggetto semplice quale una barretta metallica: basta memorizzare in maniera analogica, in maniera da evitare di utilizzare l'inefficiente memoria di un computer digitale.

L'errore nel racconto è: i dati, prima di essere stampati sulla barretta metallica, devono essere presenti nel computer che manovra la macchina che esegue la fessura. Esso deve quindi avere una memoria digitale sufficiente!

Ovviamente, si può ovviare a questo problema utilizzando un computer esso stesso analogico, ma questo non c'è, nel racconto.

PS: sto leggendo questo libro: fino ad adesso posso solo consigliarlo

Prove di esistenza

2009-01-30T11:36:00.003+01:00

Al contrario di quello che suggerirebbe il titolo, questo post non ha nulla a che vedere con il post del sempre interessante Ivo. Piuttosto, mi propongo di mostrare in un esempio perchè, prima di cercare la soluzione di un problema matematico, è necessario dimostrare l'esistenza di tale soluzione.

L'esempio è anche noto come paradosso di Perron.

Problema

Qual'è il più grande numero naturale?

Soluzione

Supponiamo che questo numero, chiamamolo N, sia maggiore di 1. Ma allora N²>N e questa è una contraddizione. Allora N=1. Quindi l'insieme dei numeri naturali si riduce all'insieme {0,1}.

Detto en passant: Perron è stato uno dei pochi matematici tedeschi che 1) era antinazista e 2) rimase in Germania durante la guerra. Se conoscete il tedesco e amate la storia della matematica questo vi interesserà.

Does LaTeX work? A simple identity

2009-01-25T15:04:00.003+01:00

Let us find it out!


\int_{\Omega} dx =: |\Omega|

MCCN XI

2009-01-25T14:38:00.005+01:00

L'ultima volta abbiamo trattato di nuovo grafi. In particolare ci siamo occupati del Laplaciano di un grafo non diretto. Supponiamo di avere un grafo con n vertici: il Laplaciano di un grafo è allora la matrice \inline \Delta=(d_{ij}), di dimensione n x n, costruita come segue:

d_{ii} è il grado del nodo i,

d_{ij}=-1 se i e j sono connessi,

d_{ij}=0 se i e j non sono connessi.

La cosa interessante è che il Laplaciano di un grafo ha alcune proprietà in comune col Laplaciano su un aperto di \inline \mathbb R^d. Ad esempio, le soluzioni dell'equazione

\Delta v=0

sono tutte e solo le funzioni v che sono costanti sulle componenti connesse del grafo. Una direzione è facile da capire: se v è costante (diciamo di valore 1) su una componente connessa degl grafo, e 0 altrimenti, allora \inline \Delta v ha per ogni componente un contributo positivo pari al grado del nodo corrispondente e un contributo negativo per ogni nodo con cui è collegata: quindi tutto si semplifica dando 0. Divertente, no?

Un altro bel teorema per il Laplaciano di un grafo è il Teorema di Kirchhoff sul numero degli spanning trees. Mi chiedo se anche questo abbia un corrispettivo per il Laplaciano di un aperto.

Evoluzione, fatti, descrizioni

2009-01-24T15:05:00.006+01:00

Oggi vorrei chiarire la mia opinione sulla teoria dell'evoluzione. Fondamentalmente perchè ci sono un sacco di persone che non l'hanno capita e che mi attribuiscono teorie astruse.

Per sapere a cosa mi riferisco, vedere i commenti di Marco Ferrari e di Fabristo in coda a questo questo post, oppure questo post di hronir.

Introduzione

Vi racconto un po' il background: qualche tempo fa John Rennie scrisse una lista di15 risposte alle stupidaggini creazioniste sullo Scientific American. Progetto Galileo decise (per motivi a me ignoti, dato che non è che in Italia e in Europa ci sia tutta questa diffusione di idee creazioniste, ma tant'è, ognuno fa quello che vuole) che era assolutamente necessario tradurre le risposte di John Rennie in italiano.

La prima risposta di John Rennie ad una stupidaggine creazionista, quindi anche la prima tradotta da Progetto Galileo è la seguente:

L'evoluzione è solo una teoria. Non è un fatto o una legge fisica.

Il problema di questa affermazione è che, lungi dall'essere una cretinata creazionista, è completamente vera. Rennie lo sa, e infatti non cerca nemmeno di dimostrare che è falsa. Bensì, durante la sua risposta fa un processo alle intenzioni ai creazionisti, accusandoli, in pratica, di utilizzare con un fine malvagio il fatto che il termine "teoria" è inteso dall'uomo della strada con un connotato dubitativo.

Che non sarebbe nemmeno un male, se avesse intitolato il suo articolo in maniera diversa. Ma lui ha intitolato l'articolo "15 risposte a cretinate creazioniste", e la sua prima risposta è un processo alle intenzioni alla corrente creazionista. Che certamente non capiscono niente di biologia, i creazionisti, ma questo non autorizza nessuno ad usare argomenti scorretti nei loro confronti.

La cosa mi ha fatto innervosire e ne è scaturita una feroce discussione su Progetto Galileo, in cui mi sono state attribuite opinioni da me mai espresse. hronir si è addirittura premurato di affermare che secondo me

Stefano insiste sulla mancanza di certezze come un'entità indissolubile e assoluta: o ce l'hai, o è come non avere niente.

La cosa più divertente è che non ho sentito un'unica argomentazione contro la mia critica a John Rennie, ma solo varianti più o meno raffinate della reductio ad Hitlerum nella forma.

Tu sei contro JR.
JR scrive contro i creazionisti.
Ergo, tu sei a favore dei creazionisti.

Dato che faccio lo scienziato di lavoro e non ho intenzione di permettere a nessuno di affermare che

Stefano sia una delle più belle dimostrazioni di come sia facile fraintendere il fatto e la teoria dell’evoluzione, e come sia facile non capire un concetto che per molti è assolutamente elementare. E della necessità del vostro fondamentale lavoro di divulgazione.

ho deciso di spiegare per bene cosa voglio dire. Poi, se questi signori vogliono capire, bene, se no, come si dice a Bari, chedd'iè la strad'.

Descrizioni e interpretazioni

Il succo dell'argomento che segue è la seguente semplificazione. Divido il modo di fare scienza in due settori: fare scienza in due maniera tramite "intrepretazioni", o tramite "descrizioni". Poi noto che una teoria è un'"interpretazione". Quindi faccio vedere che la teoria dell'evoluzione darwiniana è un'interpretazione. In fondo spiego qual'è il fatto (la "descrizione") che questa teoria va a spiegare.

Prima di fissare un contesto formale faccio un esempio, scrivendo due brevi immaginari articoli.

Articolo descrittivo:

Titolo: Anatomia del cervello di Stefano Cardanobile
Testo: Il cervello di Stefano Cardanobile contiene un unico neurone, di peso pari a 0.0001 microgrammi.

Articolo interpretativo:

Titolo: Fisiologia del cervello di Stefano Cardanobile
Testo: Il cervello di Stefano Cardanobile contiene un unico neurone perchè al suo possessore non serve pensare.

Se vogliamo metterci in un contesto formale, escludendodo volutamente i casi di: malafede, manipolazione dei dati, strumentazione pessima, malintesi nella scelta del vocabolario, ecco un algoritmo per produrre una descrizione scientifica,

1) Compiere un'osservazione ripetibile
2) Selezionare un pubblico
3) Selezionare un vocabolario sul quale vi sia consenso all'interno del pubblico selezionato
4) Esprimere nel vocabolario selezionato in 3) l'osservazione compiuta in 1)

Per produrre un'interpretazione scientifica, è necessario

1) Selezionare alcune descrizioni scientifiche
2) Selezionare un pubblico
3) Selezionare un vocabolario sul quale vi sia consenso all'interno del pubblico selezionato
4) Esprimere nel vocabolario selezionato in 3) una possibile spiegazione dei fatti selezionati in 1)

Osservando questi due (vaghi) algoritmi, che a me paiono condivisibili, mi pare che sia ragionevole assegnare a concetti provenienti dal primo tipo di algoritmi lo status di fatti, mentre a concetti provenienti dal secondo tipo quello di teoria.

Per essere precisi, la maggior parte (tutti) degli scienziati che ho incontrato usa i termini teoria e dato di fatto esattamente in questa accezione.

Evoluzione

Avendo ora un criterio di classificazione, mi chiedo: dove metteremo l'evoluzione in questo schema?

Per capirci, partiamo da un articolo descrittivo:

Articolo: Diversità biologica sul pianeta terra
Testo: Sul pianeta terra sono presenti diversi animali, con anatomie e fisiologie estremamente differenti.

Perchè? Ecco tre possibili spiegazioni, in forma di immaginari articoli apocrifi.

Articolo: Dell'origine divina della vita sulla terra
Testo: I vari tipi di animali sono stati creati così come sono adesso 6000 anni fa da Dio. Da allora si sono solamente riprodotti.

Articolo: L'adattamento nelle specie animali
Autore: Jean-Baptiste Lamarck
Testo apocrifo: Ogni individuo di una specie (concetto non ben definito, ma accettiamolo, ndr) è capace di adattarsi all'ambiente. Così si sono originate le specie.

Articolo: L'origine della specie
Autore: Charles Darwin
Testo apocrifo: Le variazioni avvengono in maniera casuale in sede riproduttiva. Le variazioni utili danno aditto ad invidui con successo riproduttivo maggiore. Le variazioni vengono trasmesse alla prole. Così si originano le specie.

Excursus: valutazione delle teorie

È forse interessante, anche se esula un po' dal dibattito, vedere come si valutano le teorie.
Si potrebbe pensare che ogni teoria equivalente, se si pensa che i 3 articoli precedenti hanno qualcosa in comune: esprimo delle teorie consistenti in se stesse, ma diverse che si riferiscono allo stesso dato di fatto.

Ma hanno anche qualcosa di diverso. Ognuna ha la sua specifica capacità predittiva e contenuto di verità. Nel dettaglio: la teoria creazionista è completamente sbagliata (dimostrazione: oggi ci sono specie che nel passato non c'erano, come dimostrato dai fossili - dimostrazione archeologica), la teoria lamarckiana è parzialmente sbagliata (un individuo si può adattare nel corso della sua vita, ma tali adattamenti non vengono trasmessi - dimostrazione genetica), la teoria darwinista è giusta. Faccio notare ade che il valore di giustezza è sempre determinato da altri dati di fatto, che non quelli che voglio spiegare.

Questo perchè non ho maniera di accettare o rigettare una teoria consistente in se, solo sulla base dei fenomeni che questa teoria spiega. Sembra una banalità, ma ogni tanto la gente se ne dimentica. Verifiche e falsificazioni sono da cercare all'esternodell'ambito dei fenomeni che la teoria vuole spiegare: questo a ha a che fare col fatto noi accettiamo solo teorie che abbiano una certa forza predittiva.

Conclusione

La diversità anatomica, fisiologica e zoologica delle specie viventi è un dato di fatto.
La teoria dell'evoluzione è, per l'appunto, una teoria che spiega questo dato di fatto.
Affermare che l'evoluzione è un dato di fatto è attribuire implicitamente il valore di dato di fatto ad un'interpretazione degli stessi.

Quello che Fabristol, hronir, Paolo Ferrari & co non capiscono è che distinguere fra teorie e dati di fatto non porta in nessuna maniera a sminuire il valore di tali teorie, nel caso siano giuste. Serve solo a distinguere cose che sono diverse: un'interpretazione e una descrizione appartengono semplicemente a due categorie diverse del sapere.

Decomposizioni tensoriali

2009-01-22T19:00:00.005+01:00

Un mio caro amico mi ha oggi posto una domanda di matematica. Al telefono gli ho dato una risposta vaga, qui ce n'è una più completa. Partiamo dall'inizio.

Supponiamo di avere una funzione F di più variabili, che chiamiamo x1,x2,...,xN. Ora supponiamo che per ogni sottoinsieme I < {1,...,N} di cardinalità |I| esistano |I| funzioni f tali che

È possibile decidere se esistono variabili "indipendenti" xi, xj? Con indipendenti intendo che, se xi,xj appartengono ad un sottoinsieme I, allora le corrispettive funzioni f^I_k devono essere identicamente nulle per ogni k. Detto in altre parole, stiamo chiedendo che xi e xj non compaiano mai contemporaneamente in uno dei fattori che compongono F. Il test è facile: questo è vero se e solo se,

per ogni x vettore di R^N. È facile verificare che vale anche per triplette di variabili xi,xj,xk e così via. (In realtà bisogna stare un po' attenti con fattori moltiplicativi davanti a F, ma non è essenziale adesso).

La proprietà di decomposizione tensoriale che ho specificato qui sopra non è fondamentale: è sufficiente che per ogni I esistano n_I gruppi, ciascuno contenente |I| funzioni che abbiano la proprietà succitata. Il caso che ho discusso è quello in cui n_I è sempre 1.

Visto da un altro punto di vista: se stiamo parlando di funzioni lisce, allora stiamo affermando che F deve essere una combinazione lineare di prodotti tensoriali di funzioni lisce di una variabile.

La cosa divertente è che tempo fa, mentre lavoravo con un collega a questo articolo, ci eravamo scontrati con un problema analogo: si trattava di stabilire (se ricordo bene, il contesto era comunque quello di funzioni a valori operatoriali) se le combinazioni lineari di prodotti tensoriali siano un sottospazio denso di un qualche spazio (che non ricordo più quale era) di funzioni definite su R^N.

MCCN X

2009-01-21T17:07:00.003+01:00

Giovedì scorso ho spiegato qualcosa sui grafi casuali. Questi sono variabili aleatorie con valori in insiemi di grafi; di solito vengono realizzati utilizzando un qualche tipo di algoritmo casuale.

Faccio un esempio: disegnate N nodi su un foglio e scegliete un valore p fra 0 e 1, che rappresenta la connettività attesa del grafo.

Per ogni lato possibile (sono 0.5N(N+1), quindi prendetevi un po' di tempo) estraete un numero casuale uniformente distribuito tra 0 e 1. Se non avete un generatore di numeri casuali a portata di mano (basta Excel) scegliete un numero fra 1 e 6 al posto di p, e tirate un dado. Se questo numero è minore di p, disegnate il lato che state esaminando. Altimenti no. Il disegno che ottenete dopo aver tirato per tutti i possibili lati è un grafo casuale alla Erdös-Renyi.

La cosa interessante: c'è gente che afferma che le connessioni cerebrali sono, più o meno, un grafo casuale di questo tipo.

John rules

2009-01-14T09:03:00.003+01:00

At about the same time, the theory of automata developed as an independent study, making use of closely related mathematical notions. There was those - John von Neumann, for example - who felt that the entire development was dubious and shaky at best, and probably quite misconceived, but such qualms did not go far to dispel the feeling that mathematics, technolog, and behavioristic linguistics and psychology were converging on a point of view that was very simple, very clear, and fully adequate to provide a basic understanding of what tradition had left shrouded in mystery.

Noam Chomsky, in "Languange and Mind"

Mi chiedo: mettiamo che John von Neumann avesse vissuto 100 anni, invece di 54. Dove sarebbe arrivata adesso la scienza?

MCCN IX

2009-01-12T20:38:00.002+01:00

Giovedì ci siamo occupati di equazioni differenziali ritardate. Quest'ultime sono equazioni della forma

Il loro carattere distintivo è che la derivata ad un certo tempo dipende dallo stato ad un tempo passato. Questo è importante in alcune questioni di modellazione; nelle neuroscienze, ad esempio, può servire includere in un modello i ritardi nella trasmissione dell'attività dovuti al tragitto che i potenziali d'azione devono percorrere lungo l'assone, o dovuti all'integrazione sinaptica.

Le equazioni con ritardo sono uno degli esemplici più classici di equazioni che possono essere risolte con l'aiuto di spazi di dimensione infinita. Questo lo si può vedere scrivendo l'equazione di cui sopra in forma infinitesimale

Se n è un numero finito, allora t+(n-1)e-1 è minore di t, e dato che questo vale per ogni n finito, allora se ne deduce (overspill!) che è necessario conoscere i valori assunti dalla funzione in tutto un intervallo (t-1,t) che precede t, per poterne costruire i valori nell'intervallo (t,t+1).

Questo vuol dire che è necessario specificare una intera funzione come valore iniziale, e quindi lo spazio degli stati è uno spazio di funzioni!

Vector-valued diffusions

2009-01-07T17:52:00.005+01:00

After a long break (we went to Hamburg for New Year's Day: it was cold and rainy but the Kunsthalle and the Hafenrundfahrt have been fantastic) I'm back on math.

Delio Mugnolo and me just uploaded on arXiv our last work on parabolic systems.

If you are analysing a diffusion equation on a graph, you usually define a measure space representing the network, and then define a scalar-valued diffusion on this network. Of course, you could take the symmetric way and choose to use a single interval, and to represent your diffusion equation as a 'diagonal', vector-valued diffusion. The graph structure is in both cases encoded in the non-diagonal coupling of the boundary conditions.

If you use this point of view, you maybe come up with the idea of use exactly the same approach on domains in order to obtain vector-valued diffusion equations with non-diagonal couplings in the boundary conditions.

This is exactly what Delio and me do in the paper: we study such systems, also because we are interested in understanding the connections of the these systems to gauge symmetries - if there are some.

PS: of course, you can also introduce coupling in the coefficients of the diffusion, and then it is no longer a 'diagonal' diffusion, but I only wanted to write a post, not a full article...

PPS: probably, in two or three week I also will upload on arXiv my first neuro-paper!

L'alchimista I

2008-12-15T21:03:00.003+01:00

Quando lessi questo post di Dario Bressanini rimasi molto affascinato, e decisi immediatamente di fare alcuni esperimenti culinari.

I primi, a dire il vero, furono abbastanza deludenti, ma questo fine settimana, approfitando della visita di un'amica della mia ragazza, ho deciso di provarci ancora.

Così sabato sera ho deciso di estendere il mio risotto radicchio e gorgonzola con qualche sapore un po' fuori dai canoni. Foodpairing sentenziò: salsa di soya.

Ecco come procedere: imbiondite una cipolla e buttateci il radicchio perchè cacci l'acqua (io di solito ci aggiungo un po' di sale, così mi illudo di velocizzare il tutto tramite osmosi). Quando è rimasta c'è un po' d'acqua del radicchio, aggiungeteci una spruzzata abbondante di salsa di soia. Procedete poi col risotto vero e proprio secondo manuale.

Il risultato non è stato affatto male, anzi!

Oggi invece, ho fatto una crema di carote col burro d'arachidi, che normalmente odio con tutta la mia anima. Accettabile secondo me (non ci posso fare niente, non lo sopporto il burro d'arachidi), buona secondo la mia ragazza.

To come: uno studio sistematico sulla parmigiana.

Che domenica non mi è venuta bene e ho deciso di aggredire il problema da un punto di vista scientifico.

MCCN VIII

2008-12-14T12:50:00.004+01:00

Giovedì abbiamo trattato il problema delle correlazioni fra variabili casuali - come al solito, la dispensa è qui.

Una famiglia di variabili casuali è detta indipendente se la distribuzione di probabilità si lascia fattorizzare nel prodotto delle probabilità marginali. Evidentemente, se X eY sono indipendenti, allora EXY=EXEY. In questo caso, si dice che X e Y non sono correlate.

Un errore che avviene molto spesso è quello di confondere correlazione e causalità. Cioè, dall'osservazione di una correlazione non nulla fra due variabili si deduce che una relazione causale fra le due variabili è presente. In realtà, ci sono vari effetti che possono indurre correlazioni.

1) Causalità diretta: ovviamente se X è la causa di Y, allora X e Y saranno correlate. In termini matematici: se Y=f(X), allora le due variabili non sono indipendenti; in genere, dunque, la covarianza delle due variabili, che è una possibile misura della loro correlazione, sarà non nulla.

2) Causalità comune: se X e Y sono due effetti della stessa causa, allora X e Y saranno correlate, in genere. Cioè, se Z è una variabile casuale, e f e g sono due funzioni non invertibili tali che X=f(Z) e Y=g(Z), allora, in generale, X e Y saranno correlate.

3) Dinamiche di reti: supponiamo adesso che X e Y siano immerse in una rete di interazioni. Allora, anche se X e Y non sono causalmente collegate, ne' hanno un input comune, di solito saranno correlate.

Qui trovate un breve script in python che mostra come 1) e 2) sono due effetti di dimensioni comparabili. Vengono create tre reti neurali elementari con delle dinamiche neuronali molto semplici. Ogni neurone può essere attivo o meno; se è attivo, ha una certa probabilità di emettere un potenziale d'azione che può cambiare il livello di attività degli altri neuroni.

La prima rete neurale è formata da un neurone di input e uno di output. Viene misurata il coefficiente di correlazione fra l'input e l'output.
La seconda rete (di controllo) è formata da due copie di reti I/O. Viene misurata il coefficiente di correlazione fra i due output.
La terza rete è formata da un input collegato a due diversi neuroni di output. Viene misurata il coefficiente di correlazione fra i due output.

Si può osservare che nel secondo caso il coefficiente di correlazione è 0 come atteso. Nel primo caso è tipicamente di un ordine di grandezza superiore al terzo caso; dato che però, a seconda dei parametri, le grandezza in gioco variano di più di un ordine di grandezza, non è possibile distinguere 1) da 3) a priori.

PS: ovviamente consiglio di installare python. Se l'avete fatto, per far funzionare lo script copiate il file in una cartella, entrate nella cartella e digitate in una console

'run mininetwork.py'

Dopo qualche secondo appariranno i risultati della simulazione. Se dovesse impiegare troppo tempo, aprite il file dello script e diminuite il numero degli steps della simulazione, si spiega da solo come farlo.

MCCN VII

2008-12-09T11:46:00.003+01:00

Giovedì scorso abbiamo incominciato ad occuparci di reti. La prima cosa che abbiamo discusso è il principio di autoconsistenza.

Il principio di autoconsistenza per reti è in qualche maniera simile al principio di autoconsistenza di Novikov per la risoluzione del viaggio nel tempo. Lì si richiede che l'effetto di un'azione sia consistente con la sua causa, in quello per reti si richiede che l'output di un'unità sia consistente col suo input.

Il p.d.a. si può formulare nella maniera seguente. Per prima cosa ci serve il concetto di rete computazionale. Questo è un oggetto costruito nella seguente maniera. I nodi sono delle funzioni che trasformano una variabile di stato (che consideriamo essere nello stesso spazio per tutti i nodi) in un output, eventualmente in maniera probabilistica. L'output è sempre nello stesso spazio per tutti i nodi.

I lati e i loro pesi sono specificati da una certa matrice di connessione. Ogni nodo possiede anche una funzione di input che trasforma gli output di altre unità in una variazione della propria variabile di stato.

Poniamo le variabili di stato in uno stato iniziale. Procediamo quindi per tempi discreti. Al tempo 1 questo viene trasformato in un output, che diventa un input per le altre unità. Questo input viene utilizzato per aggiornare le variabili di stato. A questo punto siamo pronti per il tempo 2 e così via iterando.

Esistono stati stazionari di una rete computazionale? Come si trovano?

Si noti che l'output al tempo n+1 è una funzione dell'input al tempo n, che a sua volta una funzione dell'output al tempo n. In formule

O[n+1]=F(I[n])=G(O[n])

Se input e output sono stazionari otteniamo il sistema

O=F(I), I=G(0)

Questa è la prima equazione di autoconsistenza, dove I e O sono vettori. Si noti che abbiamo soppresso (barando) la dipendenza dalla variabile di stato, e quindi l'equazione non aiuta molto, di solito. Supponiamo adesso che la rete sia omogenea, cioè che le funzioni di input e output e le connessioni siano tutte uguali fra loro, o, alternativamente, scelte in maniera indipendente dalla stessa distribuzione. Allora l'equazione vettoriale precedente si riduce ad una equazione scalare, eventualmente per i valori attesi nel caso probabilistico. Inoltre si ha che l'input è identico all'output e quindi si ottiene la seconda equazione di autoconsistenza

O=F(X,O)

dove abbiamo ripristinato la dipendenza dalla variabile di stato.

Operazioni senza riporto

2008-12-07T15:14:00.004+01:00

Questo fine settimana l'ho passato ad insegnare matematica alla cugina della mia ragazza. E mentre le spiegavo in ancora un'altra maniera la divisone polinomiale, ho capito a cosa servono i polinomi, e anche perchè i polinomi sono meglio dei numeri.

Consideriamo un numero N. Evidentemente, N si può scrivere come

dove gli a_n altro non sono che le cifre del numero in base 10. Si noti ch la decomposizione è unica, dato che i coefficienti devono essere naturali fra 1 e 10. In efftti, contando in base 10,

Ovviamente si può fare lo stesso sostituendo 10 con 2 (notazione binaria) o con qualsiasi altro naturale venga in mente.

A cosa serve? Per quale motivo lo scrivere i numeri in questa maniera è stata una delle più grandi conquiste dell'umanità? Principalmente a questo: se abbiamo fissato una base, è possibile addizionare, moltiplicare o dividere numeri fra loro semplicemente applicando degli algoritmi alla sequenza di cifre che lo rappresentano.

Il problema di tutti questi algoritmi è il riporto. Sia sommando, che moltiplicando, che dividendo numeri fra loro, è possibile che i coefficienti di una certa potenza di 10 (o di 2, o della base scelta) si sommino in maniera tale da portare ad un cambio di potenza.

Mi spiego con un esempio. Nella somma di 5 e 5, ognuno dei due sommandi e una potenza zeresima di 10, mentre il risultato è una potenza prima di 10. Le potenze della base si sono mischiate! Per tenere conto di questo fatto è necessario "fare il riporto", cioè tenere conto di come le potenze di un certo grado si sono sommate per dare origine ad una potenza di grado superiore.

Nei polinomi tutto questo non esiste! Per prima cosa notiamo che scrivere un polinomio mi da una rappresentazione parametrica dei numeri, in cui la base scelta è un parametro. Per capire cosa voglio dire, si osservi che la forma di un polinomio

e analoga alla rappresentazione di un numero in somme di potenze di 10, se sostitutiamo i coefficienti interi fra 0 e 9 con coefficienti reali e 10 con x.

Il grande vantaggio dei polinomi è che le potenze della variabile non possono sommarsi per ottenere un elemento di grado maggiore! Quello che voglio dire è che

per ogni scelta dei valori a e b. Nel senso che il primo polinomio non è mai uguale al secondo nel senso dell'uguaglianza di funzioni, anche se possono assumere lo stesso valore per un certo valore di x.

A rigore, dunque, addizione, moltiplicazione e divisione di polinomi sono più facili di quelle fra numeri, dato che possono essere eseguite senza riporto. Un esempio? Voglio eseguire la moltiplicazione

A scuola avreste insultato l'insegnate, dato che sono un trinomio e un binomio: fanno sei termini da sommare appropriatamente! Eseguiamo invece la moltiplicazione dei coefficienti senza riporto

Il risultato della moltiplicazione dei polinomi è dunque

Eseguire la moltiplicazione nella maniera convenzionale porta, ovviamente, allo stesso risultato.

C'è un prezzo da pagare per questa semplicità: il problema dell'unicità della rappresentazione di un numero è molto più complesso che nel caso delle basi fisse.

Giovedì

2008-12-04T20:47:00.001+01:00

Oggi riflettevo che per qualche motivo esoterico ed astrale, da quando sono venuto in Germania, il giovedì è sempre il giorno in cui più ho da fare.

Processi puntuali con interazioni

2008-12-03T09:31:00.004+01:00

Giovedì scorso ho tenuto la mia prima presentazione al BCCN.

Ciò su cui lavoro al momento è un'estensione non-lineare del modello di Hawkes per famiglie di processi puntuali che si influenzano a vicenda.

Un processo puntuale è una successione di tempi: se stiamo trattando un neurone, il processo puntuale sarà un modello dei tempi ai quali il neurone emette un potenziale d'azione. In un processo puntuale singolo la grandezza più significativa è l'intensità condizionata.

L'intensità condizionata è la probabilità al tempo t di avere un evento, dato che l'ultimo evento si sia verificato a t-T. Nel modello lineare di Hawkes, eventi di un processo puntuale producono un aumento nell'intensità condizionata di un altro processo puntuale, che poi ritorna lentamente alla sua intensità condizionata originale. Ovviamente, il primo processo influenza il secondo nella stessa maniera.

Il problema è che questo modello non permette interazioni inibitorie fra processi. Se il primo processo abbassasse di un certo livello l'intensità condizionata del secondo, allora si correrrebbe il rischio di un'intensità condizionata minore di 0, che è assurdo, dato che è una probabilità.

La soluzione, allora, è quella di far si che l'abbassamento dell'intensità condizionata dipenda dal livello attuale, in maniera da evitare che vada sotto zero. La maniera più semplice di realizzare questo meccanismo è una regola moltiplicativa. Questo è esattamente quello che faccio io: processi puntuali che interagiscono moltiplicativamente.

MCCN VI

2008-12-02T16:10:00.002+01:00

L'ultima volta ci siamo occupati di derivare l'equazione di Fokker-Planck.

Più che spiegare la derivazione, che, come al solito, si trova qua, e forse più interessare spiegare cosa descrive.

Il punto di partenza è una particella singola che si muova sotto l'azione di un'equazione differenziale

Ovviamente, supponiamo che lo stato iniziale u(0) sia noto. Nell'equazione, s(t) è un segnale casuale che "disturba" il movimento della particella. Supponiamo adesso di avere un insieme di particelle identiche, tutte sottoposte alla stessa dinamica, e che NON interagiscono.

Chiamiando p(t,x) la distribuzione degli stati di queste particelle, possiamo supporre che p(t,x) sarà sottoposta ad una equazione dinamica che sia in qualche maniera derivabile dall'espressione di F e dalle statistiche di s.

Non è sembre possibile farlo, ma in alcuni casi si. Per esempio se s(t) è un rumore bianco e F=0, allora otteniamo un moto browniano, e la corrispondente equazione di Fokker-Planck è l'equazione di diffusione.

Se invece s(t) è un rumore bianco e F(u)=-Cu è una funzione lineare, allora otteniamo un processo di Ornstein–Uhlenbeck. L'equazione di Fokker-Planck è un'equazione di diffusione con un termine di primo grado.

Le cose diventano più complicate se s(t) non è un rumore bianco. Ma questi argomenti sono ben al di la di quanto possiamo trattare su un blog.

Frustrazione

2008-12-01T19:26:00.002+01:00

Nell'ultima settimana sono falliti altri due tentativi per calcolare la distribuzione asintotica delle intensità del mio integratore stocastico.

Le corna che tiene!

Respiro

2008-11-27T19:39:00.003+01:00

Tre settimane fa: EURANDOM ad Eindhoven.

Due settimane fa: preparazione di due workshop.

Sabato scorso: Molloy a Tübingen per i 35 anni dell'AGFA.

Oggi: seminario a Friburgo.

Nel frattempo: esercitazioni di neuroscienze computazionali.

Speriamo che da domani riesca a mettermi a fare un po' di ricerca attiva, prima di dimenticarmi la matematica.

MCCN V

2008-11-25T20:58:00.006+01:00

Sono un po' in ritardo con gli aggiornamenti dalla lezione. La settimana scorsa abbiamo spiegato due cose fondamentali: il teorema del limite centrale e il processo di Wiener. Parliamo un po' del primo.

Il teorema del limite centrale è quella legge che afferma che la somma di variabili casuali i.i.d. converge ad una distribuzione normale. La dimostrazione si può trovare dappertutto: non è difficile, e sono richiesti alcuni ingredienti.

Uno lo voglio spiegare oggi.

Ingrediente 1: la funzione caratteristica e i momenti di una variabile casuale

La funzione caratteristica di una variabile casuale X è definita tramite

Se X ha una densità, allora la funzione caratteristica altro non è che la trasformata di Fourier della densità. Sfruttando il fatto che si possono scambiare integrale e derivata facciamo questo piccolo calcolo:

Si vede che il valore atteso di X è la derivata in 0 della funzione caratteristica moltiplicato per -i. Integrando analogamente e inducendo, si ottiene la famosa formula

Per completezza elenco gli ingredienti necessari a comprendere la dimostrazione classica del teorema del limite centrale.

Ingrediente 2: la formula di Eulero per la definizione di e. Cioè la prima caratterizzazione qui.

Ingrediente 3: lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione.

Ingrediente 4: il fatto che la distribuzione normale è invariante sotto l'azione della trasformata di Fourier. Questo è un mistero che ricorre in tutte le parti della matematica.

PISA

2008-11-23T18:27:00.003+01:00

Quando parlo a miei amici di ciò che mi da fastidio dell'Italia, uno dei miei esempi preferiti è la mancanza di considerazione per il lavoro intellettuale, ed, in genere per la cultura.

Un esempio evidente è quello della reazione agli studi studi PISA,

una indagine internazionale promossa dall'OCSE nata con lo scopo di valutare con periodicità triennale il livello di istruzione degli adolescenti dei principali paesi industrializzati,

per citare Wikipedia.

Quando arrivarono i risultati della prima tornata, nel 2000, in Germania si aprì un grande dibattito perchè i risultati degli studenti tedeschi non corrispondevano a quello che ci si immaginava, essi erano circa al 20° posto su 40 nazioni. Obiettivo del dibattito: trovare una soluzione per migliorare la qualità dell'insegnamento, magari prendendo ad esempio paesi come la Finlandia risultati ai vertici della graduatoria. Ovviamente non ci sono state soluzioni condivise o grandi azioni politche, ma per lo meno c'era un interesse pubblico alla qualità dell'istruzione. Fatto sta che la Germania ha ottenuto dei notevoli miglioramenti fra il 2000 e il 2006, guadagnando quasi una decina di posizioni, soprattutto nelle discipline scientifiche.

E in Italia? Data la scarsa risonanza avuta dallo studio in Italia, si sarebbe portati a pensare che l'Italia è uscita alla grande da questi test; d'altra parte, è diffusa in Italia la convinzione di possedere un sistema scolastico d'eccellenza.

La verità è ben altra: nella prima valutazione, quella del 2000, l'Italia si è piazzata intorno al 24° posto, con una posizione più o meno a seconda della disciplina. C'è stato un dibattito? No. Che io sappia, la maggior parte degli italiani ignora l'esistenza di tale valutazione internazionale.

E l'effetto di questa scarsa considerazione è che l'Italia non ha migliorato i propri punteggi. In "Matematica" e "Scienze" è rimasta sostanzialmente stabile. Nella categoria "Lettura" ha perso circa 20 punti; se si pensa che un anno scolastico corrisponde a circa 25-30 punti, la cosa è inquietante.

Una cosa poco nota...

2008-11-20T19:46:00.004+01:00

Tutti conoscono il teorema del limite centrale: media di una sequenza di variabili i.i.d. con media 0 converge a N(0,n), dove N è la distribuzione normale, in formule

Meno nota è una sua semplice applicazione. Supponiamo che la nostra sequenza i.i.d. abbia 1 come valore atteso. Invece di considerare la media aritmetica, consideriamone la media geometrica data da

Il logaritmo della media geometrica è dato da

Queste sono variabili indipendenti, e quindi convergono a una distribuzione normale.
Esponenziando tutto quello che c'era all'inizio otteniamo: il prodotto di variabili i.i.d. con media 1 converge ad una distribuzione logonormale.

PS: tutto quello che ho detto vale a meno di qualche normalizzazione opportuna...

MCCN0809 - III & IV

2008-11-17T17:30:00.003+01:00

Per una settimana sono mancato e la lezione l'ha tenuta un collega.

Giovedì abbiamo introdotto i processi puntuali. Secondo la mia personale opinione, la maniera più elegante per descrivere un processo puntuale è quella tramite l'hazard function che è spiegata nella terza parte dell'1.5 della dispensa.

L'idea (banale) è quella di considerare un processo puntuale come una funzione indicatrice con supporto casuale, e poi determinare la probabilità infinitesimale che ogni punto della retta reale cada nel supporto (casuale) di tale indicatrice.

(Nella precedente lezione si era fatto solo un po' di trasformata di Fourier, nulla di grandioso).

Bernoulli

2008-11-16T21:53:00.003+01:00

Spesso mi piace pensarlo: uno dei piaceri più sottili della matematica è scoprire banalità di cui non ci si era mai accorti.

Consideriamo, a mo' d'esempio, una variabile casuale di Bernoulli (non so quante volte ho già linkato la pagina di Wiki sulle variabili casuali...). Essa vale 1 con probabilità 1/2 e vale -1 con probabilità 1/2. Nel caso di una famiglia composta da due variabili di Bernoulli indipendenti è semplice capire come faremo ad assegnare le probabilità: ognuno dei quattro valori possibili, cioè

(1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1)

è assunto dalla nostra famiglia di variabili casuali con probabilità 1/4.

Ugualmente si prosegue per una famiglia composta da N variabili di Bernoulli indipendenti. Ognuno dei 2^N valori ha probabilità 2^-N e siamo tutti contenti.

Ma che succede se consideriamo infinite variabili indipendenti di Bernoulli? Succedono due cose gravi. La prima è che se divido 1 per 2^N ottengo 0 e quindi non è chiaro che misura debba avere ognuna delle successioni del tipo (1,1,-1,1,-1,...) nel nostro spazio di probabilità.

Più che grave, questa faccenda sarebbe solo un po' ironica, perchè se mi è richiesto di simulare una tale sequenza, scrivo rapidamente un programmo in pseudocodice

while 0<1:
print random in {0,1}

e mi cavo d'impiccio. Quindi sono ina situazione in cui so esattamente di cosa parlo, ma non so scriverlo in matematica.

Allora potrebbe venirmi in mente di usare una qualche variante della NSA e assegnare ad ogni successione un valore infinitesimo pari 1/|2^N|.

E qua arriva la seconda cosa grave: quel numero infinito |2^N| è un mostro, perchè è più che numerabile!

Non so perchè, ma quando mi sono accorto di questo inghippo sono rimasto un po' basito.

Ferrovie

2008-11-11T18:58:00.003+01:00

L'altro giorno ero in treno e pensavo al fatto che anche la ferrovia tedesca fa ritardi. O tempora, o mores! dicevo fra me e me. Tanto vale me ne rimanevo in Italia.

Ma come mai allora ho l'impressione che in Germania sia connessi meglio col treno?

Perchè Bochum-Freiburg (501 km su google maps) viene compiuta, con un cambio, in 4h10', alla signora media oraria di 120 Km/h.

Mentre in Italia Bari-Roma (455 km, diretto) viene compiuta in 4h37', alla media oraria di 98 Km/h. E il treno tedesco fa anche 10 stazioni intermedie, una ogni 50 Km, quello italiano 4, una ogni 110 Km.

Opperbacco, potenza dei numeri!

EURANDOM

2008-11-01T12:59:00.002+01:00

Da domani sono qua per una settimana. Se avrò internet, proverò ad aggiornare un po' il blog con i contenuti della conferenza. Altrimenti starò una settimana in silenzio.

La conferenza è organizzata da EURANDOM, una fondazione finanziata dall'NWO e dall'università di Eindhoven che spiega così il suo obiettivo.

The mission of EURANDOM is to foster research in the stochastic sciences and their applications. It achieves this mission:

* by recruiting and training talented young researchers and helping them to find their way to tenured positions in academia and industry

* by carrying out and facilitating research through postdoctoral and graduate appointments, visitor exchange and workshops

* by taking initiatives for collaborative research at the European level.

Faccio notare che l'NWO è un'agenzia statale olandese. Forse bisogna spiegare a Brunetta che risultati nell'ambito della ricerca e della formazione non si ottengono tagliando i fondi...

MCCN0809 - II

2008-10-30T12:33:00.001+01:00

Today, the first exercises about real neuroscience models are coming.

Sprechi

2008-10-27T13:34:00.002+01:00

Ci sono i baroni universitari, i corsi universitari per appena 10 studenti e cosi' via

Renato Brunetta sugli sprechi all'università

Vorrei far presente al ministro che in tutti i corsi avanzati che ho seguito all'università, in Germania, i professori facevano i salti di gioia se arrivavano a 10 studenti.

D'altra parte voglio vedere come si fa ad avere più di 10 studenti per "Teoria spettrale" o "Teoria dell'informazione", se l'intera facoltà ha 100 immatricolati all'anno...