Supponiamo, dunque, che la funzione u(t,x) dove x varia nel dominio D e designa lo spazio e t designa il tempo e varia fra 0 e T, sia la soluzione di un certa equazione differenziale
dove A è un operatore che non dipende dal tempo.
Una simmetria spaziale, allora, è una famiglia
di applicazioni su D che costituisca un gruppo per la composizione di funzioni e che mandi soluzioni dell'equazione in altre equazioni dell'equazione, cioè tale che
sia una soluzione dell'equazione per ogni z, supposto che u(t,x) sia una soluzione dell'equazione.
(A dire la verità, una simmetria è un'applicazione che lascia invariante la Lagrangiana, ma in prima approssimazione può bastare quanto detto prima).
Come si vede, le simmetrie spaziali hanno un grande svantaggio: è possibile considerarle solo nel caso il dominio D abbia qualche tipo di simmetria.
Le simmetrie di Gauge non hanno questo svantaggio. Supponiamo che la funzione u(t,x) abbia valori in uno spazio di Hilbert complesso H (nel caso banale: nel campo dei numeri complessi). Supponiamo adesso che la famiglia
sia un gruppo unitario di operatori lineari sullo spazio di Hilbert H. Allora essa è una simmetria di gauge se
è una soluzione dell'equazione per ogni z, supposto che u(t,x) sia una soluzione.
Come si vede, simmetrie di questo tipo non hanno bisogno di alcuna assunzione sul dominio!
Peraltro, ci ho messo circa due anni prima di capire che la mia tesi è esattamente su simmetrie di gauge per grafi quantistici. Quello che dovrei fare ora che ho finito, è buttare la mia tesi dal balcone e riscrivere tutto dall'inizio...
2 commenti:
> Peraltro, ci ho messo circa due anni
> prima di capire che la mia tesi è
> esattamente su simmetrie di gauge per
> grafi quantistici.
e sì che la parolina "gauge" qualcuno te la sussurra da sei mesi, fra frizzi e lazzi del volgo.
entrando nello specifico: mi piacerebbe avere il parere di qualche fisico che si trovi a passare da queste parti. in particolare la definizione mi lascia perplesso, mi sembra troppo restrittiva: da un lato non vedo grosse differenze rispetto a quelle che tu chiami simmetrie spaziali, dall'altro mi sembra che dalla tua definizione rimangano esclusi i casi prototipici di simmetrie di gauge (di quelle che i fisici chiamerebbero simmetrie di gauge). per dire, prendi il solito caso di una variazione di fase con angolo dipendente dallo spazio: questa è tipicamente una simmetria di gauge per l'equazione di schrödinger, ma non rientra nella tua definizione; o sbaglio? la questione, mi sembra, è che tu non consideri una dipendenza di A da z\in Z.
e c'hai ragione; quello che io ho descritto sono solo simmetrie di gauge globali. ovviamente è anche possibile avere simmetrie di gauge locali, ovvero dove s_z =s_z(x).
ma questa è un'altra storia...
hronir, dove sei? aiutaci tu, o fisico dei fisici!
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