PP09 (IV)

So, today we started a new topic: that of non stationary point processes. In particular, we looked at inhomogeneous Poisson processes and Cox processes. The former are Poisson processes where the rate change in time, in a deterministic manner. The latter are the same, only the rate is itself a stochastic process.

As usual, the lecture is here.

Inhomogeneous Poisson processes can be seen also from another point of view: instead of thinking of a process with changing rate. one can think of a standard Poisson process with intensity 1, where the time is distorted. The distortion is, of course, proportional to the rate.

The advantage of thinking that way is to define non stationary renewal process: a method is, in fact, to define a stationary process and then to operate a time distortion, which leads to a non stationary process.

And this is exactly what we will do next time.

Aria fresca

Sergio Zavoli, il nuovo presidente della commissione di vigilanza RAI, è nato il mio stesso giorno.

Di 85 anni fa.

Time rescaling

Leggendo un articolo su Neural Computation mi sono accorto che gli autori utilizzano un trucco molto interessante.

Supponiamo di avere un sistema S che ad ogni input i associa un output S(i).
Supponiamo ulteriormente che i che si evolva a causa della legge di/dt= F(i(t)).

Sarebbe interessante scrivere S direttamente in funzione del tempo, cioè passare dalla variabile i(t) ad una variabile u che abbia la stessa dimensione del tempo reale, in maniera da poter scrivere S(u) come se u fosse la variabile indipendente temporale.

Detto in altre parole, quello che voglio fare è trovare una trasformazione T dell'input, tale che u=T(i(t)) e du/dt=1. A quel punto, se scrivo formalmente S(u) posso trattare u direttamente come un parametro temporale, dato che la derivata temporale di u è costantemente uguale a 1.

È difficile da fare? Beh no... basta osservare che da una parte

du/dt = T'(i(t)) di/dt = T'(i(t)) F(i(t))

ma dall'altra

du/dt=1

per cui

T'(i(t))= 1/F(i(t))

Cioè la trasformazione T è semplicemente un integrale indefinito di 1/F!

Temp(eratura)

Oggi leggevo un vecchio numero del New Scientist, precisamente questo articolo. Mentre lo leggevo, mi sono ricordato dell'interesse di hronir per Rovelli. Poi ho scoperto che Rovelli ha collaborato con Connes e la cosa mi ha entusiasmato ancora di più.

Riassumendo l'articolo in poche parole, Connes e Rovelli affermano che il tempo non sia una grandezza fisica fondamentale, ma che sia l'emergere macroscopico di proprietà più fondamentali. Cioè, noi uomini non siamo in grado di vedere cosa succede ai livelli microscopici e ne traiamo un effetto di insieme che ci da l'impressione di un tempo che scorre.

Secondo loro, il tempo è una grandezza simile alla temperatura, che pure non ha senso a livello microscopico. Quello che noi percepiamo come temperatura è l'energia di agitazione media delle particelle con cui veniamo a contatto. Una conseguenza di questo ragionamento è che non esiste una temperatura come grandezza assoluta, ma essa esiste solo come, diciamo così, convenzione macroscopica.

Si pone quindi il problema di riformulare le teorie fisiche correnti in maniera di tenere conto di questa caratteristica peculiare del tempo. E qui cominciano le difficoltà.

Il problema è che da una parte la relatività generale è formulata facendo a meno di un tempo assoluto: il tempo è esso stesso soggetto a certe leggi geometriche; dall'altra, le equazioni della meccanica quantistica (e tutte le loro fantastiche predizioni!) sono formulate come sistemi dinamici in cui la variabile è la funzione d'onda ed esiste un tempo assoluto rispetto al quale si evolve tale sistema dinamico.

Quindi, per risolvere questo dilemma sorge la necessità di unificare relatività generale e meccanica quantistica. Di formulare, cioè, la gravità quantistica.

Per fortuna, mi occupo di neuroscienze.

sugli isomorfismi nella saggezza popolare

il tempo é denaro

proverbio

qualche tempo fa ero a dresda, e discutevo con una dottoranda in economia della giustezza dell'ipotesi implicita delle scienze economiche, riassumbile in

a od ogni oggetto, astratto o concreto, é attribuibile un valore monetario.

questo ansatz é geniale e diabolico: é un voler ridurre il mondo, un vettore nello spazio di banach di dimensione mostruosamente infinita contenente tutte le possibilitá del reale, ad una sua rappresentazione nel campo dei numeri reali. in altre parole, questi economisti affermano di poter capire come va il mondo guardandone il suo duale.

ancora peggio! essi considerano una sola speciale forma lineare, ovvero quella che associa ad ogni oggetto, che mi permetto di identificare con un sottoinsieme compatto di questo mostruoso spazio di banach, il suo valore in euro.

anyway, il proverbio popolare ci azzecca in pieno: il tempo é anche solitamente rappresentato tramite il campo dei numeri reali, per cui é proprio vero:

il tempo é denaro, a meno di un isomorfismo.

ps: se qualcuno si lamenta, affermando che le forme lineari é meglio pensarle aventi valori nel campo dei numeri complessi, gli ricorderó che la teoria dei semigruppi lineari ci insegna che anche il campo naturale del tempo é quello dei numeri complessi.