Tornato da una conferenza a Monaco ho riletto oggi un pezzo decisamente surreale di Beckett preso da Molloy, in cui lui cerca di succhiare ordinatamente 16 pietruzze... qui l'unico riferimento su internet che sono riuscito a trovare.
Il problema che assilla Molloy è basato sulla seguente considerazione matematica.
Definizione
Per ogni k in N, il gruppo Nk è il gruppo quoziente di N rispetto alla relazione di equivalenza definita dalla divisibilità per k
Esempio
Teniamoci sul semplice: N3={0,1,2} e l'addizione in N3 è definita ponendo 0 come elemento neutro, e poi definendo 1+1=2, 2+1=3 e 2+2=1. Cioè N3 è l'insieme dei naturali N, dove però gli elementi degli insiemi {0,3,6,...}, {1,4,7,...}, {2,5,8,...} sono identificati fra loro.
Proprietà
Si noti che nell'insieme N3 vale 0+1=1, 1+1=2, e 2+1=0. Quindi il sistema dinamico discreto su N3 definito da f(n)=n+1 è periodico in N3. Una delle tre possibili orbite è {0,1,2,0,1,...} e le altre sono facili da immaginare.
Prima o poi, spero, spiego cosa c'entra con Beckett...
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lunedì, ottobre 13, 2008
mercoledì, ottobre 01, 2008
Simmetrie di gauge (III)
Scrivo per consigliare la lettura di questo bell'articolo di Terence Tao sulle simmetrie di gauge. Lui sceglie di introdurre le invarianze di Gauge a partire da un punto di vista geometrico.
È un po' complicato, ma vale la pena di leggerlo con calma.
È un po' complicato, ma vale la pena di leggerlo con calma.
mercoledì, aprile 09, 2008
encounters
Oggi e domani sono a questa conferenza.
Ad aprire la conferenza è Joachim von Below, un professore tedesco emigrato in Francia - che è anche uno dei controrelatori della mia tesi.
Parlerà del problema di isospettralità e isomorfia dei grafi. Cos'è questa misteriosa branca? Consideriamo un grafo, cioè un'unione di intervalli incollati fra loro nei punti terminali. In questo post non ci interessano le lunghezze degli intervalli, che consideriamo essere sempre unitaria, nè i nomi che abbiamo assegnato ai vari nodi e intervalli, ma solo le relazioni di vicinanza fra nodi e lati.
Mi spiego con un esempio: questo grafo e quest'altro grafo hanno le stesse relazioni di vicinanza. Il nodo blu, ad esempio, è collegato in tutti e due i grafi al nodo rosso, al nodo verde e al nodo beige. Lo stesso dicasi per gli altri nodi.
Questo vuol dire che i due grafi hanno le stesse relazioni di vicinanza, cioè, per dirla in maniera più roboante, essi sono isomorfi.
Supponiamo adesso che all'interno degli intervalli si muovano degli elettroni, i quali possono passare da un intervallo all'altro passando attraverso i nodi, con l'ipotesi che si distribuiscano uniformemente in tutti gli intervalli uscenti da un nodo e che nessun elettrone vada perso. Quello che stiamo considerando, allora, è un grafo quantistico, governato da un certo operatore di Hamilton.
Questo Hamiltoniano avrà un certo spettro. È abbastanza facile dimostrare che se due grafi sono isomorfi, allora i rispettivi Hamiltoniani hanno lo stesso spettro.
Si potrebbe allora pensare che valga il contrario: se i rispettivi Hamiltoniani hanno lo stesso spettro, allora i grafi sono isomorfi. Nulla di più falso!
Di questo parlerà Joachim von Below oggi.
Ps: un altro gruppo, oltre ai francesi che lavorano con von Below, che lavora al problema è in Israele. Li stanno sviluppando un interessante approccio sistematico al problema, vedi qui.
Ad aprire la conferenza è Joachim von Below, un professore tedesco emigrato in Francia - che è anche uno dei controrelatori della mia tesi.
Parlerà del problema di isospettralità e isomorfia dei grafi. Cos'è questa misteriosa branca? Consideriamo un grafo, cioè un'unione di intervalli incollati fra loro nei punti terminali. In questo post non ci interessano le lunghezze degli intervalli, che consideriamo essere sempre unitaria, nè i nomi che abbiamo assegnato ai vari nodi e intervalli, ma solo le relazioni di vicinanza fra nodi e lati.
Mi spiego con un esempio: questo grafo e quest'altro grafo hanno le stesse relazioni di vicinanza. Il nodo blu, ad esempio, è collegato in tutti e due i grafi al nodo rosso, al nodo verde e al nodo beige. Lo stesso dicasi per gli altri nodi.
Questo vuol dire che i due grafi hanno le stesse relazioni di vicinanza, cioè, per dirla in maniera più roboante, essi sono isomorfi.
Supponiamo adesso che all'interno degli intervalli si muovano degli elettroni, i quali possono passare da un intervallo all'altro passando attraverso i nodi, con l'ipotesi che si distribuiscano uniformemente in tutti gli intervalli uscenti da un nodo e che nessun elettrone vada perso. Quello che stiamo considerando, allora, è un grafo quantistico, governato da un certo operatore di Hamilton.
Questo Hamiltoniano avrà un certo spettro. È abbastanza facile dimostrare che se due grafi sono isomorfi, allora i rispettivi Hamiltoniani hanno lo stesso spettro.
Si potrebbe allora pensare che valga il contrario: se i rispettivi Hamiltoniani hanno lo stesso spettro, allora i grafi sono isomorfi. Nulla di più falso!
Di questo parlerà Joachim von Below oggi.
Ps: un altro gruppo, oltre ai francesi che lavorano con von Below, che lavora al problema è in Israele. Li stanno sviluppando un interessante approccio sistematico al problema, vedi qui.
giovedì, febbraio 28, 2008
Simmetrie di gauge (II)
Qualche giorno fa esponevo a d.m. la mia dicotomica divisione fra dicotomie per il concetto di simmetria nella fisica.
La prima dicotomia è quella fra simmetrie di gauge e simmetrie spaziali. La seconda dicotomia è quella fra simmetrie locali e globali.
Qual'è il problema, mi chiedevo ieri, nel considerare simmetrie spaziali locali?
Come ho già fatto notare, per considerare simmetrie spaziali, è necessario che il dominio D su cui è definita la nostra funzione possieda un gruppo di simmetrie parametrizzazo tramite un certo gruppo Z.
Se adesso vogliamo che la simmetria sia locale, abbiamo bisogno di una famiglia a due parametri di trasformazioni di D in D, diciamo
Il problema, adesso, è che questa famiglia di simmetrie deve essere un gruppo secondo l'operazione di composizione; questo vuol dire (mi sembra in questo momento) che fissato z, la famiglia
debba essere un gruppo, rispetto alla legge di gruppo in D.
Ma allora stiamo chiedendo a D di avere un gruppo di simmetrie parametrizzato in D stesso!
Due cose non mi sono chiare:
La prima, se il mio ragionamento di cui sopra è corretto.
La seconda, se esistono domini (a parte le palle unitarie) che hanno questa bizzarra proprietà.
La prima dicotomia è quella fra simmetrie di gauge e simmetrie spaziali. La seconda dicotomia è quella fra simmetrie locali e globali.
Qual'è il problema, mi chiedevo ieri, nel considerare simmetrie spaziali locali?
Come ho già fatto notare, per considerare simmetrie spaziali, è necessario che il dominio D su cui è definita la nostra funzione possieda un gruppo di simmetrie parametrizzazo tramite un certo gruppo Z.
Se adesso vogliamo che la simmetria sia locale, abbiamo bisogno di una famiglia a due parametri di trasformazioni di D in D, diciamo
Il problema, adesso, è che questa famiglia di simmetrie deve essere un gruppo secondo l'operazione di composizione; questo vuol dire (mi sembra in questo momento) che fissato z, la famiglia
debba essere un gruppo, rispetto alla legge di gruppo in D.Ma allora stiamo chiedendo a D di avere un gruppo di simmetrie parametrizzato in D stesso!
Due cose non mi sono chiare:
La prima, se il mio ragionamento di cui sopra è corretto.
La seconda, se esistono domini (a parte le palle unitarie) che hanno questa bizzarra proprietà.
sabato, febbraio 23, 2008
Simmetrie di gauge (I)
Nel portare a termine la scrittura della mia tesi, mi par finalmente di aver capito come formulare il concetto di simmetria di gauge senza usare nulla di geometria differenziale, ma solo analisi funzionale.
Supponiamo, dunque, che la funzione u(t,x) dove x varia nel dominio D e designa lo spazio e t designa il tempo e varia fra 0 e T, sia la soluzione di un certa equazione differenziale
dove A è un operatore che non dipende dal tempo.
Una simmetria spaziale, allora, è una famiglia
di applicazioni su D che costituisca un gruppo per la composizione di funzioni e che mandi soluzioni dell'equazione in altre equazioni dell'equazione, cioè tale che
sia una soluzione dell'equazione per ogni z, supposto che u(t,x) sia una soluzione dell'equazione.
(A dire la verità, una simmetria è un'applicazione che lascia invariante la Lagrangiana, ma in prima approssimazione può bastare quanto detto prima).
Come si vede, le simmetrie spaziali hanno un grande svantaggio: è possibile considerarle solo nel caso il dominio D abbia qualche tipo di simmetria.
Le simmetrie di Gauge non hanno questo svantaggio. Supponiamo che la funzione u(t,x) abbia valori in uno spazio di Hilbert complesso H (nel caso banale: nel campo dei numeri complessi). Supponiamo adesso che la famiglia
sia un gruppo unitario di operatori lineari sullo spazio di Hilbert H. Allora essa è una simmetria di gauge se
è una soluzione dell'equazione per ogni z, supposto che u(t,x) sia una soluzione.
Come si vede, simmetrie di questo tipo non hanno bisogno di alcuna assunzione sul dominio!
Peraltro, ci ho messo circa due anni prima di capire che la mia tesi è esattamente su simmetrie di gauge per grafi quantistici. Quello che dovrei fare ora che ho finito, è buttare la mia tesi dal balcone e riscrivere tutto dall'inizio...
Supponiamo, dunque, che la funzione u(t,x) dove x varia nel dominio D e designa lo spazio e t designa il tempo e varia fra 0 e T, sia la soluzione di un certa equazione differenziale
dove A è un operatore che non dipende dal tempo.
Una simmetria spaziale, allora, è una famiglia
di applicazioni su D che costituisca un gruppo per la composizione di funzioni e che mandi soluzioni dell'equazione in altre equazioni dell'equazione, cioè tale che
sia una soluzione dell'equazione per ogni z, supposto che u(t,x) sia una soluzione dell'equazione.
(A dire la verità, una simmetria è un'applicazione che lascia invariante la Lagrangiana, ma in prima approssimazione può bastare quanto detto prima).
Come si vede, le simmetrie spaziali hanno un grande svantaggio: è possibile considerarle solo nel caso il dominio D abbia qualche tipo di simmetria.
Le simmetrie di Gauge non hanno questo svantaggio. Supponiamo che la funzione u(t,x) abbia valori in uno spazio di Hilbert complesso H (nel caso banale: nel campo dei numeri complessi). Supponiamo adesso che la famiglia
sia un gruppo unitario di operatori lineari sullo spazio di Hilbert H. Allora essa è una simmetria di gauge se
è una soluzione dell'equazione per ogni z, supposto che u(t,x) sia una soluzione.
Come si vede, simmetrie di questo tipo non hanno bisogno di alcuna assunzione sul dominio!
Peraltro, ci ho messo circa due anni prima di capire che la mia tesi è esattamente su simmetrie di gauge per grafi quantistici. Quello che dovrei fare ora che ho finito, è buttare la mia tesi dal balcone e riscrivere tutto dall'inizio...
sabato, luglio 07, 2007
bias architecture
qual è 'l geomètra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond' elli indige,
tal era io a quella vista nova:
dante alighieri
il seminario di barbara hammer mi ha lasciato notevoli impressioni : ecco una bella favoletta.
c'era una volta in una fredda giornata d'estate il laplaciano con condizioni al bordo di robin, che altro non sarebbero che un miscuglio lineare di neumann e dirchlet. la nostra storia parla di un giovane e brillante matematico, che chiamerò qfwfq, che si è posto come compito per la vita di dimostrare che la distribuzione asintotica dei suoi autovalori è la stessa del laplaciano con condizioni di dirichlet e neumann; e questo per tutti i domini possibili e immaginabili. tutti i matematici del mondo sanno che è così - come potrebbe essere altrimenti! - ma qfwfq vuole dimostrarlo, nero su bianco. e poi chi lo sa, magari si scopre qualcosa di interessante in questo viaggio...
il nostro venne da me ieri chiedendomi aiuto, perchè si era ingarbugliato nel calcolare lo spettro nel caso di una dimensione; direte: impossibile, è così facile! è qua entra in gioco barbara hammer; il problema è che io e qfwfq lavoriamo spesso e volentieri (io non faccio altro) su problemi di cauchy astratti su grafi, che vengono sempre parametrizzati come incollamenti di intervalli [0,l]; questa è, per dirla con le parole di barbara hammer, la nostra "bias architecture"; le nostre capacità di aprendimento sono pertanto da essa limitate.
fatto sta che calcolare lo spettro sull'intervallo [0,l] è un ginepraio spinoso, e questo a causa di un beta che si infila in tutti i pertugi infastidendo non poco; cosÍ, dopo circa un'ora di calcoli inutili, ci siamo arresi.
a quel punto è successo che ho dovuto cambiare il mio bias per lavorare con d.m.; la nostra ossessione di questa settimana sono le funzioni radiali, che infestano i nostri pensieri e i nostri sogni. senza più pensare alle condizioni di robin, ho discusso un po' con d.m. su queste questioni radiali.
arrivato a casa, il nuovo bias ha dato i suoi frutti. calcolare lo spettro della derivata seconda con condizioni di robin al bordo, dopo aver riparametrizzato [0,l] come [-l/2,l/2], che è certo un oggetto molto più radiale di [0,l], è di una banalità sconcertante, il che mi ha fatto vergognare della nostra precedente cecità.
morale della favola, in rime abbastanza sciocche:
se non cambi il tuo bias, sono guai con la zia,
se il tuo bias non cambi, intercedano i santi.
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond' elli indige,
tal era io a quella vista nova:
dante alighieri
il seminario di barbara hammer mi ha lasciato notevoli impressioni : ecco una bella favoletta.
c'era una volta in una fredda giornata d'estate il laplaciano con condizioni al bordo di robin, che altro non sarebbero che un miscuglio lineare di neumann e dirchlet. la nostra storia parla di un giovane e brillante matematico, che chiamerò qfwfq, che si è posto come compito per la vita di dimostrare che la distribuzione asintotica dei suoi autovalori è la stessa del laplaciano con condizioni di dirichlet e neumann; e questo per tutti i domini possibili e immaginabili. tutti i matematici del mondo sanno che è così - come potrebbe essere altrimenti! - ma qfwfq vuole dimostrarlo, nero su bianco. e poi chi lo sa, magari si scopre qualcosa di interessante in questo viaggio...
il nostro venne da me ieri chiedendomi aiuto, perchè si era ingarbugliato nel calcolare lo spettro nel caso di una dimensione; direte: impossibile, è così facile! è qua entra in gioco barbara hammer; il problema è che io e qfwfq lavoriamo spesso e volentieri (io non faccio altro) su problemi di cauchy astratti su grafi, che vengono sempre parametrizzati come incollamenti di intervalli [0,l]; questa è, per dirla con le parole di barbara hammer, la nostra "bias architecture"; le nostre capacità di aprendimento sono pertanto da essa limitate.
fatto sta che calcolare lo spettro sull'intervallo [0,l] è un ginepraio spinoso, e questo a causa di un beta che si infila in tutti i pertugi infastidendo non poco; cosÍ, dopo circa un'ora di calcoli inutili, ci siamo arresi.
a quel punto è successo che ho dovuto cambiare il mio bias per lavorare con d.m.; la nostra ossessione di questa settimana sono le funzioni radiali, che infestano i nostri pensieri e i nostri sogni. senza più pensare alle condizioni di robin, ho discusso un po' con d.m. su queste questioni radiali.
arrivato a casa, il nuovo bias ha dato i suoi frutti. calcolare lo spettro della derivata seconda con condizioni di robin al bordo, dopo aver riparametrizzato [0,l] come [-l/2,l/2], che è certo un oggetto molto più radiale di [0,l], è di una banalità sconcertante, il che mi ha fatto vergognare della nostra precedente cecità.
morale della favola, in rime abbastanza sciocche:
se non cambi il tuo bias, sono guai con la zia,
se il tuo bias non cambi, intercedano i santi.
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