Distribuzione di Poisson

Cos'è la distribuzione di Poisson? A cosa serve? Come è possibile derivarla come somma di variabili di Bernoulli infinitesimali?

Queste ed altre domande sono risposte nella prima trasmissione di CardaTV!

Bernoulli

Spesso mi piace pensarlo: uno dei piaceri più sottili della matematica è scoprire banalità di cui non ci si era mai accorti.

Consideriamo, a mo' d'esempio, una variabile casuale di Bernoulli (non so quante volte ho già linkato la pagina di Wiki sulle variabili casuali...). Essa vale 1 con probabilità 1/2 e vale -1 con probabilità 1/2. Nel caso di una famiglia composta da due variabili di Bernoulli indipendenti è semplice capire come faremo ad assegnare le probabilità: ognuno dei quattro valori possibili, cioè


(1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1)


è assunto dalla nostra famiglia di variabili casuali con probabilità 1/4.

Ugualmente si prosegue per una famiglia composta da N variabili di Bernoulli indipendenti. Ognuno dei 2^N valori ha probabilità 2^-N e siamo tutti contenti.

Ma che succede se consideriamo infinite variabili indipendenti di Bernoulli? Succedono due cose gravi. La prima è che se divido 1 per 2^N ottengo 0 e quindi non è chiaro che misura debba avere ognuna delle successioni del tipo (1,1,-1,1,-1,...) nel nostro spazio di probabilità.

Più che grave, questa faccenda sarebbe solo un po' ironica, perchè se mi è richiesto di simulare una tale sequenza, scrivo rapidamente un programmo in pseudocodice

while 0<1:
print random in {0,1}

e mi cavo d'impiccio. Quindi sono ina situazione in cui so esattamente di cosa parlo, ma non so scriverlo in matematica.

Allora potrebbe venirmi in mente di usare una qualche variante della NSA e assegnare ad ogni successione un valore infinitesimo pari 1/|2^N|.

E qua arriva la seconda cosa grave: quel numero infinito |2^N| è un mostro, perchè è più che numerabile!

Non so perchè, ma quando mi sono accorto di questo inghippo sono rimasto un po' basito.