Is free will a thing, actually?

If he doesn't have free will, who does?

I always read backreaction with pleasure and one of the latest articles attracted my attention.

It was about free will. Free will is cool, really. This is a slightly, but only slightly, religious concept, so people from all faiths will discuss about it without much arguing. But it also philosophical, so hard core atheists will join the discussion. It has something to physics, since somebody in the room always bring up determinism. Everybody has it (or nobody, depending on who you ask) so everybody is going to discuss it. In the end, it does not matter that much, so discussions do not become too heated. And finally, it is the main topic of The Devil's Advocate, which is a great movie. I love it. Both free will and Al Pacino, of course.

Free-will has nothing to with determinism

That said, I would like to offer my humble contributions to the topic. The first objection to free will which always arise is determinism. What is determinism? The belief that if I would know position, velocity and everything else of all particles in the universe, then you would be able to predict everything which is going to happen in the future. It looks like this strong form of determinism would destroy free will. The first clear formulation in western philosophy of this is due to Laplace. Luckily enough, we don't have to discuss this because it is probably non-true. First, it is non practical due to the amount of chaos available in the world: small perturbations lead to large changes.

It is plainly wrong in the standard interpretation of quantum mechanics, since wave functions collapse contains a randomness. So, no physical determinism. 

Also, if determinism has anything to do with inference, it has been shown that you cannot do complete inference in systems where you can perform standard logics. Interestingly, this mathematical proof requires Cantor's diagonal argument. Which one of the single most important pieces of maths, so make sure to follow the Wikipedia link, please. I will come back to this in the end.

Given that determinism is wrong, we can set it aside in discussing free will. Yes, in a deterministic world, there is no space for free will. In a non deterministic world, we do not know. Maybe we are free, maybe we are random. Maybe we are merely non-computable.

Free-will has nothing to do with predictability of human choices

In the later years, there has been a copious amount of papers about predicting human choices before the reach consciousness, due to continuous improvement in brain imaging methods. See here, for example. This has caused a lot of stir among people. I do not know exactly what about: the will can well be free even if it is not conscious. You can make a free, conscious decision with your own will, but your will could also make a free decision without notifying your consciousness organ in advance. Free will is not the same as rational choice, in the end.

What exactly is free in the free will?

This is the very tough question: I think one important point is the capacity of influence its own choices and the ability of (consciously or not) question one's first (or second or third) guess. In general, when we talk of something which is free, we mean that said something is able to initiate actions out of its own initiative and it is not completely determined by the external forces. We talk about freedom even in physics: how many degrees of freedom has a body? In how many way it can move freely without being constrained? I would claim that free in "free will" denotes the mind's ability of making conscious or non-conscious choices not completely determined by factors external to the mind itself. Similar to a body with a positive number of degrees of freedom can actually move, although it is influenced by external forces and the own inertia, a free-will can pick choices, although these choices are influenced, to large degree, by external factors.

Gödel, our old friend

We already have seen that Mr Wolpert used Cantor's diagonal argument to show that there is no mathematical free will. You cannot say Cantor without's saying Gödel. Gödel's first incompleteness theorem states that any axiomatic system which is has a model of arithmetics will contain a mathematical sentence which is neither true nor false. If you additionally impose that the arithmetics should be standard (in some very specific sense), this sentence will true but non provable. In other words, free will seems to be related to Gödel and to the very nature of natural numbers which is itself quite dubious. By the way, Gödel's theorem proof heavily uses Cantor's diagonal argument, so we are back to where we started.

Summing up

Summing up, we maybe have free will, but then again no. We'll see. In any case, if natural numbers are actually true, we will have to pick infinite number of axioms to avoid problems. And this means a lot of choices, and all of them are free, unless you use standard arithmetics. But you don't need to. Good evening to you.

A test-driven revival

Since more than 1 year I left Freiburg and the BCF to start working in the development of MEMS with Bosch GmbH. For some complicated reasons connected to my work there, I've got involved in software engineering and in particular in test-driven development. But only today I realised why I've got involved there and why I like it.

In fact, test-driven development is a kind of "formalization" of how mathematicians actually work!

In particular, I found it complying with Gower's pedagogical principle.

Following this intuition, I will try in the next days (months?) to revive this blog, and to show that what computer scientists rediscovered in the middle of the of 90ies as test-driven development is nothing but what mathematicians are doing since centuries.

NSA: due strade diverse

Esistono sostanzialmente due approcci all'analisi non standard. Il primo, quello classico di Robinson è legato alla teoria dei modelli. Ridotto all'osso e oltre: si costruisce una "superstruttura" in cui esistono numeri naturali non standard, e si dimostra tramite ultrafiltri, che questa struttura è consistente logicamente.

Pur nel suo grande valore, sia intrinseco sia storico, questa versione della NSA è estremamente complicata, e richiede uno studio approfondito prima di capirci qualcosa.

L'alternativa è l'approccio assiomatico. Si introduce un nuovo predicato per gli oggetti di ZFC, "standard" e si pongono alcuni assiomi per operare con questo predicato. Se si ha fortuna (cioè se si usa una versione assiomatizzata da qualche matematico bravo) si disporrà anche di un algoritmo di traduzione dall'NSA all'analisi classica, che è una cosa utile. Questo è l'approccio scelto da Nelson.

Una variante è la teoria alpha di Benci e Di Nasso, in cui si introducono direttamente in maniera assiomatica i numeri non-standard.

Per un principiante, le teorie assiomatiche sono certamente meglio!

Letture consigliate:

[1] Benci, Di Nasso, "Alpha-theory: an elementary axiomatics for nonstandard analysis", Expositiones Mathematicae, 2003

[2] Davis, "Applied non standard analysis", Dover Publications, 2005

[3] Nelson, "Internal set theory: a new approach to nonstandard analysis", Bullettin of the American Mathematical Society, 1977

[4] Robinson, "Non-standard analysis", Princeton University Press, 1966

NSA e assioma della scelta

Ieri ho scoperto una cosa veramente interessante leggendo questo libro. E cioè che l'analisi non standard è indipendente dall'assioma della scelta, e necessità solo dell'esistenza di ultrafiltri.

Dato che quest'ultima è più debole dell'assioma della scelta stessa, e che i teoremi dell'analisi non standard possono essere provati anche nell'analisi standard, ne consegue che, se di un teorema esiste una dimostrazione non standard, allora il teorema stesso dipende solo dall'esistenza di ultrafiltri, e non dall'assioma della scelta.

Un altro motivo per studiarla, l'analisi non standard.

Teoria alfa - assiomi numerici

Continuo la discussione iniziata qui e qui deglia assiomi della teoria alfa di Benci e Di Nasso.

Oggi parliamo degli:

ASSIOMI NUMERICI

1) Se f è una successione costante, cioè f(n)=c per ogni n, allora f(Q)=c.

2) Se f è l'identità, cioè f(n)=n per ogni n, allora f(Q)=Q; Q non è un numero naturale.

Vanno ovviamente comparati con i corrispondenti assiomi di estensioni 1) e 2).

La cosa più interessante è messa in evidenza nell'articolo stesso: l'assioma 2 è anche un esempio di una successione con la seguente proprietà: tutti gli f(n) sono in un certo insieme A, ma il valore ideale di f non è nello stesso insieme. Dato che l'insieme in questione è N, questo rende chiaro ancora una volta che f(Q) è simile al limite, ma è diverso.

Con l'assioma 1 e l'assioma di composizione si possono cominciare a fare conti scolastici:

Esempio

Si definisca f(n)=n²-1. Per l'assioma numerico 1), f(Q) = (n-->n²)(Q) - 1 = Per l'assiome di composizione, (n-->n²)(Q)=(n-->n)(Q)², e così otteniamo f(Q)=(n-->n)(Q)²-1. Per l'assioma numerico 2) (n-->n)(Q)=Q e quindi f(Q)=Q²-1. Lo stesso ragionamento vale per i polinomi.

Proposizione

Se P è un polinomio in x, allora P(Q) è il valore ottenuto sostituendo Q a x.

Informazione

Nel 1948 Shnannon compiva un grande progresso per la matematica: gli riusciva di definire in maniera rigorosa il concetto di informazione.

Un'introduzione informale

Cosa intende Shannon con il termine informazione? Egli intende l'informazione che si ottiene osservando una grandezza casuale. Cerchiamo di spiegarci meglio: supponiamo di lanciare un dado a 8 facce e di nasconderne il risultato. Quanta informazione otteniamo scoprendolo? La risposta sembra ovvia: 3 bit, dato che 2³=8. L'ipotesi nascosta in questa risposta intuitiva è il fatto che noi sappiamo che tutti risultati del dado sono ugualmente probabili.

Supponiamo allora che il dado sia truccato. Molto truccato: ogni volta che lo si lancia, si ottiene un 8. Qual'è l'informazione che noi otteniamo scoprendolo? Ovviamente 0 bit, dato che sapevamo già dall'inizio che avremmo avuto un 8.

Ovviamente sono possibili vie di mezzo: se l'8 è un po' più probabile di 1/8, l'informazione sarà un po' meno di 3 bit, ma comunque maggiore di 0. Quindi la difficoltà sta nel "quantificare questa via di mezzo".

Gli assiomi

Si trovano nella sezione 6 dell'articolo di Shannon. La nostra ipotesi è quella di avere a che fare con una variabile casuale discreta. Per essere più specifici: la grandezza X assume i suoi N valori x(i) con probabilità p(i).

Nell'esempio precedente: X=dado, N=8, x(i)=i, p(i)=1/8.

Per prima cosa desideriamo che cambiando p(i) di poco, il contenuto di informazione, che chiameremo d'ora in poi I, cambi di poco. Se il dato è poco truccato, vogliamo che l'informazione sia solo un po' meno di 3 bit.

Assioma 1
I è una funzione continua rispetto a tutte le p(i)

Ovviamente, la maggiore quantità di informazione deve essere presente quando tutti gli esiti sono ugualmente possibili: quando il dado, insomma, non è truccato

Assioma 2
I ha il suo massimo per p=(1/N, ..., 1/N).

L'ultimo assioma è quello più difficile da spiegare: ma è anche esattamente quello che rende la scoperta di Shannon così fondamentale. Partiamo dall'esempio. Supponiamo di dividere la nostra osservazione in due parti. Prima osserviamo se il risultato è pari o dispari, e poi il risultato della divisione del risultato per 2, arrotondato per eccesso. Cioè: 7 o 8 danno 4, 5 o 6 danno 3 e così via. È chiaro che queste due osservazioni sono equivalenti all'osservazione del risulato: non si perde niente e non si guadagna niente. Noi chiediamo che l'informazione contenuta nell'osservazione del risultato del lancio del dado sia la somma delle informazioni che si ottiene dalle singole osservazioni. Vediamo se funziona nel nostro caso ragionando in maniera intuitivia. Osservare se il numero è pari o dispari ci da 1 bit. Osservare il risultato della divisione per 2 ci da 2 bit, perchè sono 4 possibili risultati equalmente probabili e 2²=4. Dato che 1+2=3 sembra che il contare in bit funzioni.

Assioma 3
I è uguale alla somma delle informazioni contenute in una suddivisione equivalente dell'osservazione originaria, pesate con la probabilità con cui le suddivisioni hanno luogo.

Mettendo insieme tutte queste informazioni è facendo un po' di conti (sempre nella sezione 6 dell'articolo), si ottiene che l'unica funzione soddisfacente queste proprietà è

I = - [p(1) log(p(1)) + p(2) log(p(2)) + ... + p(N) log(p(N))]


Informazione ed entropia

Si può anche notare come l'informazione sia anche una misura del disordine presente nel sistema prima della sua osservazione. Più disordinato un sistema, più informazione ci porterà la sua osservazione. Queste è più che un'analogia: è possibile basare tutta la fisica statistica sul concetto di entropia di Shannon.

PS: qua il motivo per cui sono interessato a questo problema...

Teoria alfa - composizione

Come promesso, continuo la mia discussione sulla teoria alfa.

Oggi parliamo della composizione di funzioni.

ASSIOMA DI COMPOSIZIONE

Siano f e g due successioni di reali e sia F una funzione tale che esistono F(f)(n) e F(g)(n). Allora f(Q)=g(Q) implica F(f)(Q)=F(g)(Q).

Qualche commento. Il primo: l'assioma afferma che F(f)(Q) dipende solo dal valore in Q di f. Quindi si può candidamente scrivere F(f(Q)) senza sbagliare.

Secondo commento: il nostro obiettivo è quello di scrivere e usare espressioni del tipo sin(Q²). Se si interpretasse sin(Q²) come il limite di sin(n²), allora il tutto non avrebbe senso, in quanto il limite si sin(n²) non esiste.

Con l'assioma di composizione possiamo dare un'ulteriore spiegazione del fatto che f(Q) non è il limite di f. Consideriamo le due successioni f(n)=(4n+1)p/2 e g(n)=4np/2. Evidentemente, sia f che g vanno ad infinito. Quindi se interpretassimo sin(Q) semplicemente come il valore di sin all'infinito, si dovrebbe avere sin(f(Q))=sin(g(Q)).

Tuttavia sin(f(n))=1 differisce da sin(g(n))=0 per ogni n. Quindi, per il secondo assioma di estensione, sin(f)(Q) deve essere diverso da sin(g)(Q).

Tutto questo accade perchè f(Q) non è Q, come accadrebbe se Q venisse interpretato semplicemente come un'altra maniera di dire "infinito", ma bensì f(Q)=(4Q+1)p/2, mentre g(Q)=4Qp/2. Per cui sin(f(Q))=sin((4Q+1)p/2) mentre sin(g(Q))=sin(4Qp/2) e non è nessun motivo per cui essi debbano essere uguali.

Non è difficile immaginare il valore di sin(f(Q)) e quello di sin(g(Q)), ma questo è per la prossima volta, fra 10 giorni.

la genesi secondo peano (I)

se una notte d'inverno un viaggiatore fuori dall'abitato di Malbork sporgendosi dalla costa scoscesa senza temere il vento e la vertigine guarda in basso dove l'ombra si addensa in una rete di linee che s'allacciano in una rete di linee che s'intersecano sul tappeto di foglie illuminato dalla luna intorno a una fossa vuota quale storia laggiù attende la fine?

italo calvino

il primo giorno, il signore della logica disse

esista un numero naturale 0.

chiamati in vita da una forza misteriosa, ci troviamo a muoverci in una regione dell'esistenza ancora poco definita. il nostro mondo è molto limitato: esiste solo la contemplazione questo immenso, incomprensibile, enigmatico monolito nero, o monolito zero, di cui non capiamo il significato, e tutto ciò solo in un eterno istante presente.

gödel (II)

there are more things in heaven and earth, horatio,
than are dreamt of in your philosophy.

hamlet

riguardo al teorema di gödel, c'é un`altra questione che mi stupisce, probabilmente perché sono un analista e non un logico.

ogni sistema assiomatico ha evidentemente infinite proposizioni indecidibili. tuttavia, aggiungere una proposizione, o la sua negazione, al sistema assiomatico, restringe immediatamente il campo di queste proposizioni indecidibili. questa operazione é evidentemente associativa, nel senso che il sistema assiomatico A U {p,q} ha lo stesso campo di proposizioni indecidibili che A U {p} U {q}.

in pratica, nonostante si possano aggiungere assiomi uno alla volta, man mano che si trovano nuove proposizioni indecidibili, tuttavia un sistema assiomatico completo - che definisco adesso come il limite di un tale processo - é un insieme e non una successione di assiomi.

gödel (I)

Se due linee sono disegnate in modo da intersecarne una terza in modo che la somma degli angoli interni, da un lato, sia minore di due angoli retti, allora le due linee si intersecheranno tra loro dallo stesso lato se sufficientemente prolungate.

euclide

in questo periodo sono ossessionato (di nuovo) dal teorema di incompletezza di gödel.

una delle cose che mi da piú fastidio al riguardo: se ne parla sempre, dichiarando che secondo questo meraviglioso teorema, ci sono proposizioni matematiche vere che non possono essere dimostrate (lascio perdere i dettagli).

ora, questa formulazione é sbagliata. grottenfalsch, direbbero i tedeschi. in matematica é vero solo ció che é dimostrabile. non c'é una definizione di veritá che prescinda da quella di dimostrabilitá.

ció che dice veramente il teorema di gödel é che ci sono proposizioni matematiche che in un dato sistema di assiomi non sono né vere, né false. un esempio semplice: si prendano i primi 4 postulati di euclide. riguardo al sistema assiomatico generato dai primi quattro, il quinto é una proposizione di gödel, nel senso che non é né vero né falso nel sistema matematico generato dai primi quattro postulati. per inciso: cosí sono nate le geometrie non euclidee.

grafi casuali

bizzarrie della matematica: se si cerca di spiegare ad un profano cos'è un grafo casuale, allora si ricorre ad un punto di vista algoritmico. si spiega, in pratica, come si trova una realizzazione di un grafo casuale. peró, e allora il matematico si gira verso i suoi colleghi e sorride ironicamente per sottolineare la sua superioritá rispetto al profano, ignaro della Vera Scienza, peró in veritá un grafo casuale altro non è che uno spazio di probabilitá.

giusto per farsi capire, no?