Teorema spettrale

In mathematics, particularly linear algebra and functional analysis, the spectral theorem is any of a number of results about linear operators or about matrices.

Wikipedia

Ma, direte voi, fra una settimana hai l'esame di dottorato e passi tempo a scrivere sul blog?

Studiando, ho incontrato finalmente un'esposizone coincisa e comprensibile e self-contained del teorema spettrale. Grazie a chi? Grazie a Paul Halmos.

Cerco di riportare il suo argomento del paragrafo 35 di Introduction to Hilbert space: euristica spettrale.

Il ragionamento è molto semplice: consideriamo una funzione semplice sui reali e chiamiamola f.

Per definizione, allora, seguento la notazione di Wiki





Ora si noti che, se al posto della funzione indicatrice avessimo usato la misura di , allora il risultato del calcolo precedente sarebbe l'integrale di f.

Invertendo il ragionamento, consideriamo una misura (che non è proprio una misura, ma piuttosto ciò che si chiama una misura spettrale) con valori nello spazio delle funzioni indicatrici definita da



e notiamo che rispetto a questa misura, l'integrale di funzioni semplici si riduce ad una combinazione lineare di funzioni indicatrici. In particolare, il calcolo precedente mostra che, per funzioni semplici vale l'identità



Ora dobbiamo solo trovare il modo di estendere questo ragionamento a funzioni semplici e di generalizzare alcuni concetti al caso in cui E ha valori nell'insieme delle proiezioni ortogonali di uno spazio di Hilbert, ed ecco il teorema spettrale...

ex congettura

an enticing game is to choose the basis so as to make the matrix as simple as possible.

paul halmos

qui avevo formulato una congettura. ebbene, tale congettura è falsa. Infatti vale il seguente lemma:

Lemma

La matrice di incidenza di un grafo è un operatore limitato su l^2 se e solo se il grafo è uniformemente localmente finito.

la dimostrazione è un calcolo semplice in ambo le direzioni (una la devo a d.m.). la cosa divertente è che tutto ciò ha lo stesso aroma del capitolo di "a hilbert space problem book" di halmos, nel capitolo dove discute di matrici infinite. in particolare assomiglia ad un lemma di toeplitz che afferma che se A è un operatore su l^2, allora esiste una rappresentazione matriciale dove ogni colonna contiene solo un numero finito di elementi diversi da 0.

ed anche oggi ho un intrattieni...