At about the same time, the theory of automata developed as an independent study, making use of closely related mathematical notions. There was those - John von Neumann, for example - who felt that the entire development was dubious and shaky at best, and probably quite misconceived, but such qualms did not go far to dispel the feeling that mathematics, technolog, and behavioristic linguistics and psychology were converging on a point of view that was very simple, very clear, and fully adequate to provide a basic understanding of what tradition had left shrouded in mystery.
Noam Chomsky, in "Languange and Mind"
Mi chiedo: mettiamo che John von Neumann avesse vissuto 100 anni, invece di 54. Dove sarebbe arrivata adesso la scienza?
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mercoledì, gennaio 14, 2009
martedì, ottobre 09, 2007
forme sesquilineari (I)
in mathematics you don’t understand things. you just get used to them.
j. von neumann
john von neumann mi diviene sempre più simpatico, col passare del tempo. e dire che non l'ho mai amato nella mia fanciullezza. per il progetto manhattan e quelle storie lì, s'intende.
cerco, dunque, di "get used" al concetto di forma sesquilineare, dopo due anni di dottorato passati a lavorarci. partiamo considerando un hamiltoniano H di un sistema quantistico. questo hamiltoniano avrà degli autovalori, se è stato fornito delle giuste condizioni al bordo. ogni buon fisico sa che tali autovalori sono le energie che può possedere il sistema quantistico quando viene osservato.
matematicamente, non c`è nessun motivo preciso per considerare le energie solo di un sistema osservato; in generale, l'energia contenuta da una funzione d'onda la posso definire tramite la dualità dello spazio di hilbert dove sto lavorando come
astraendo ancora di più, dato che sappiamo che il sistema si "muove" nella direzione dell'hamiltoniano, possiamo dire con un abuso di terminologia che i puristi mi perdoneranno, che la quantità di moto del sistema, che deve essere quindi un vettore dello spazio di hilbert, è dato dall'hamiltoniano applicato al sistema stesso.
non sto affermando che l'operatore quantistico della quantità di moto sia l'hamiltoniano! sto solo affermando la tautologia che la direzione e velocità del sistema dinamico definito dall'equazione di schödinger
possa essere identificata da H&psi(t), a meno di una moltiplicazione con uno scalare. la qual cosa, ripeto, è una tautologia. quello che mi interessa, in questo momento, è identificare il vettore H&psi(t).
per il teorema di rappresentazione di riesz possiamo identificare questo vettore nello spazio di hilbert, osservandone il prodotto scalare con gli altri vettori. chiamando dunque Q(&psi,&phi) la quantità di moto dello stato &psi nella direzione &phi si ottiene
Q è allora la nostra "applicazione della quantità di moto". il prossimo passo è quello di definire le proprietà essenziali di questa applicazione della quantità di moto Q che abbiamo appena definito. ogni applicazione avente tale proprietà definisce una forma sesquilineare per cui è possibile sviluppare una teoria unificata e coerente.
ma non oggi.
j. von neumann
john von neumann mi diviene sempre più simpatico, col passare del tempo. e dire che non l'ho mai amato nella mia fanciullezza. per il progetto manhattan e quelle storie lì, s'intende.
cerco, dunque, di "get used" al concetto di forma sesquilineare, dopo due anni di dottorato passati a lavorarci. partiamo considerando un hamiltoniano H di un sistema quantistico. questo hamiltoniano avrà degli autovalori, se è stato fornito delle giuste condizioni al bordo. ogni buon fisico sa che tali autovalori sono le energie che può possedere il sistema quantistico quando viene osservato.
matematicamente, non c`è nessun motivo preciso per considerare le energie solo di un sistema osservato; in generale, l'energia contenuta da una funzione d'onda la posso definire tramite la dualità dello spazio di hilbert dove sto lavorando come
astraendo ancora di più, dato che sappiamo che il sistema si "muove" nella direzione dell'hamiltoniano, possiamo dire con un abuso di terminologia che i puristi mi perdoneranno, che la quantità di moto del sistema, che deve essere quindi un vettore dello spazio di hilbert, è dato dall'hamiltoniano applicato al sistema stesso.
non sto affermando che l'operatore quantistico della quantità di moto sia l'hamiltoniano! sto solo affermando la tautologia che la direzione e velocità del sistema dinamico definito dall'equazione di schödinger
possa essere identificata da H&psi(t), a meno di una moltiplicazione con uno scalare. la qual cosa, ripeto, è una tautologia. quello che mi interessa, in questo momento, è identificare il vettore H&psi(t).
per il teorema di rappresentazione di riesz possiamo identificare questo vettore nello spazio di hilbert, osservandone il prodotto scalare con gli altri vettori. chiamando dunque Q(&psi,&phi) la quantità di moto dello stato &psi nella direzione &phi si ottiene
Q è allora la nostra "applicazione della quantità di moto". il prossimo passo è quello di definire le proprietà essenziali di questa applicazione della quantità di moto Q che abbiamo appena definito. ogni applicazione avente tale proprietà definisce una forma sesquilineare per cui è possibile sviluppare una teoria unificata e coerente.
ma non oggi.
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