Teorema spettrale

In mathematics, particularly linear algebra and functional analysis, the spectral theorem is any of a number of results about linear operators or about matrices.

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Ma, direte voi, fra una settimana hai l'esame di dottorato e passi tempo a scrivere sul blog?

Studiando, ho incontrato finalmente un'esposizone coincisa e comprensibile e self-contained del teorema spettrale. Grazie a chi? Grazie a Paul Halmos.

Cerco di riportare il suo argomento del paragrafo 35 di Introduction to Hilbert space: euristica spettrale.

Il ragionamento è molto semplice: consideriamo una funzione semplice sui reali e chiamiamola f.

Per definizione, allora, seguento la notazione di Wiki





Ora si noti che, se al posto della funzione indicatrice avessimo usato la misura di , allora il risultato del calcolo precedente sarebbe l'integrale di f.

Invertendo il ragionamento, consideriamo una misura (che non è proprio una misura, ma piuttosto ciò che si chiama una misura spettrale) con valori nello spazio delle funzioni indicatrici definita da



e notiamo che rispetto a questa misura, l'integrale di funzioni semplici si riduce ad una combinazione lineare di funzioni indicatrici. In particolare, il calcolo precedente mostra che, per funzioni semplici vale l'identità



Ora dobbiamo solo trovare il modo di estendere questo ragionamento a funzioni semplici e di generalizzare alcuni concetti al caso in cui E ha valori nell'insieme delle proiezioni ortogonali di uno spazio di Hilbert, ed ecco il teorema spettrale...

grafi funzionali (I)

convergenze parallele è un'espressione tipica della lingua italiana, e in particolare del lessico politico o politichese.

wikipedia

oggi ho ricominciato a lavorare alla mia tesi e ho aggiunto un paragrafo sui diversi formalismi possibili quando si parla di grafi.

uno dei formalismi più utili, se non si ritiene necessario numerare i lati, è quello che considera la matrice delle adiacenze A che è definita ponendo a_{ij}=1 se e solo se un lato va dal vertice i a quello j e 0 altrimenti.

se consideriamo un grafo semplice, cioè senza lati multipli, allora è facile vedere che questa matrice di adiacenza è identificabile con una funzione F a valori booleani definita sull'insieme dei vertici V dalla relazione



si vede che questo formalismo si estende senza difficoltà al caso in cui il grafo abbia lati mutlipli se si concede a F di assumere valori nei naturali. ora però voglio estenderlo un po' di più. voglio sostituire vertici i e j con sottoinsiemi I e J dell'insieme dei vertici V. è facile farlo. si definisca F(I,J) come il numero dei vertici che congiungono un qualsiasi elemento di I a un qualsiasi elemento di J. in formule



sarebbe bello che F fosse lineare rispetto alla somma definita tramite l'unione di sottoinsiemi. solo che non lo è: è solo subilineare. e quindi questo tentativo di definire una forma sesqulineare discreta sullo spazio delle configurazioni di punti fallisce miseramente.

ghiaccio

la desertificazione è il processo di degradazione del suolo causato da numerosi fattori, tra cui variazioni climatiche e attività umane.

wikipedia

prendendo spunto da questa discussione facciamo un conto che risponda a questa domanda: verremo sommersi dai ghiacci dell'antardide? per rispondere a questa domanda è necessario risolvere questo semplice esercizio:

Esercizio

Si stimi l'innalzamento degli oceani osservabile nel caso del riscaldamento di 1°C dell'atmosfera.

Si utilizzino le costanti presentu su Wikipedia.

Soluzione

Passo 1

Dato che la terra è approssimativamente in equilibrio termico si può cominciare stimando al rialzo la quantità di calore necessaria per ottenere l'innalzamento di 1°C delle calotte polari. Le calotte polari e tuti i ghiacciai contengono 25x10^6 Km^3 di ghiaccio. Supponiamo che si trovino tutte in antartide; 25x10^6 Km^3 corrispondono a un po' meno di 2.5x10^22 grammi di acqua. A circa 4 J per grado per grammo si ottengono 10^23 joule necessari per ottenere questo riscaldamento.

Passo 2

Supponiamo adesso che tutto questo calore destinato alla massa di ghiaccio non venga utilizzato equamente per riscaldare le molecole, ciascuna secondo la sua temperatura, ma vengano utilizzate tutte per sciogliere il ghiaccio che si trova a zero gradi, ciò che vengano utilizzate tutte per superare l'energia latente del ghiaccio. Il calore latente dell'acqua è 3.35x10^2 J per grammo. Cosicchè si ottiene che possiamo scogliere 3x10^20 grammi di ghiaccio, che corrispondono a circa 3x10^4 chilometri cubi di ghiacci.

Passo 3

Dividiamo adesso questi chilometri cubi di ghiaccio per la superficie degli oceani: 3x10^8 Km^2. Come vi vede subito, si ottengono 10^-4 Km di innalzamento del livello dei mari per ogni grado di innalzamento.

cosa abbiamo calcolato? che per ogni grado di cui la temperatura si alza, il livello del mare si può alzare al massimo di 10 cm. si noti che abbiamo fatto tutti i conti in abbondante vantaggio di stabilità. c'è da preoccuparsi? si noti che per ottenere un innalzamento di 1 metro, che non riuscirebbe nemmeno a sommergere tutto il lungomare di bari, sarebbe necessario un innalzamento della temperatura di 10 gradi (dieci!) centigradi. sempre in questo calcolo dove abbiamo approssimato tutto a favore dei catastrofisti...

il vero problema del riscaldamento globale non è lo scioglimento dei ghiacci, ma la desertificazione, che però, come spiega wiki, spesso ha origine dallo sfruttamento intensivo della popolazione che si stabilisce nel territorio per coltivarlo oppure dalle necessità industriali e di utilizzo per il pascolo.

specifico: non sono contro kyoto o per il petrolio o il nucleare, anzi! solo che preferisco si parli delle cose così come stanno. o perlomeno che si cerchi di ragionarci. soprattutto vedendo cosa siamo riusciti ad affermare nel passato...

ps: ho già fatto un calcolo del genere, una volta...

baden (I)

i want to ride my bike

the queen

questa città di freiburg ha qualcosa di inquietante: il numero abnorme di biciclette. ci sono (di gran lunga) più biciclette che macchine. ci sono strade riservate alla biciclette. non piste ciclabili, ma strade riservate alle biciclette. oppure promiscue con le macchine, dove però le macchine hanno il limite di 20 km/h. è vero che la città è piatta, e quindi si presta. però è qusi eccessivo.

la seconda cosa inquietante: la mole della pagina di wiki. certe cose mi rendono le città immediatamente simpatiche. e se sfogliate un po' l'articolo noterete che ci sono molti articoli correlati.

una cosa bella è l'accento: lento, un po' come in svizzera, piacevole e tranquillo e senza eccessi di sch...

basi, parentesi e successioni

il meglio è nemico del bene

mio nonno

mi sento di dissentire da mio nonno, una volta tanto. talvolta, il meglio è amico del bene. in particolare quando si vuole capire meglio certi concetti matematici, senza accontentarsi di capirli bene.

questo a proposito di una mia opinione, già espressa in questa discussione, dove ho spiegato quale è il motivo per cui è male rappresentare successioni all'interno di parentesi graffe.

il casus belli è il seguente: è corretto rappresentare una successione come {x_n : n\in N}, o è necessario rappresentarla come (x_n)_n \in N? sembra una question allemande, ma, come ho già detto, il meglio è amico del bene.

partiamo dal presupposto che la rappresentazione tramite parentesi graffe, che in matematica denotano solitamente insiemi è sbagliata. tuttavia, molti si sentono autorizzati ad usare lo stesso tale notazione.

quello che è accaduto, a mio parere, è una sorta di back propagation dalla notazione per le basi a quella per le successioni. quasi tutti, e fra poco spiegherò perchè, scrivono le basi in parentesi graffe, pur intendendole come insiemi ordinati. dato, quindi, che è accettato lo scrivere le basi in parentesi graffe, avrà pensato qualcuno, allora deve essere possibile scrivere anche le successioni all'interno di parentesi graffe. d'altra parte, il concetto di base e quello di successione sono imparentati - nel senso che vivono nella stessa aerea della matematica.

perchè, allora, qualcuno si sente autorizzato a scrivere le basi in parentesi graffe? il motivo è semplice, e dipende da come viene insegnata l'algebra lineare. come si spiega il concetto di base? prima si introduce il concetto di un insieme di vettori linearmente indipendenti, poi quello di sottospazio generato da un insieme di vettori, per poi concludere, trionfalmente, che se un insieme di vettori genera l'intero spazio, allora è una base dello spazio in questione.

a questo punto bisogna purtroppo scegliere. se si desidera introdurre la rappresentazione matriciale degli operatori lineari su spazi vettoriali, allora è necessario che l'insieme di vettori linearmente indipendenti generanti lo spazio venga ordinato, a formare quella che viene solitamente definita una base - da cui, peraltro, il termine "matrice del cambiamento di base".

se invece, si desidera mantenere la consistenza della definizione di una base come insieme di vettori linearmente indipendenti generanti lo spazio ambiente, allora bisogna rinunciare alla rappresentazione matriciale - o considerarla modulo permutazioni dei vettori della base.

dirac & co

Informalmente la delta di Dirac viene presentata come una funzione nulla nei punti diversi dallo zero con integrale unitario.

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perché la delta di dirac non puó essere immaginata (al contrario di ció che affermano molti fisici) come una funzione il quale integrale é uno e che vale zero dappertutto e infinito nell'origine? a onore di wiki, va detto che specificano che é tale definizione é informale, e nel corpo dell'articolo ne danno una definizione corretta.

vorrei riportare la spiegazione del mio illustre professore. supponiamo che delta_0 sia veramente una funzione con le caratteristiche specificate precedentemente. moltiplichiamo questa funzione per 27 (non so perché a lezione abbia scelto questo numero, ma é cosí. a proposito: fra qualche mese io compio 27 anni). allora, dato che 27 per infinito fa di nuovo infinito, si ottiene che 27 per delta_0 é uguale a delta_0. peró si ha anche che l'integrale di 27 per delta_0 uguale 27 per integrale delta_0 uguale 27, a causa della ben nota linearitá dell'integrale. mettendo insieme queste due utili informazioni, si ottiene che 1=27. cosa che é evidentemente poco sensata, e che ha come conseguenza (fra le altre cose) che io sono la regina d'inghilterra.