Teorema spettrale

In mathematics, particularly linear algebra and functional analysis, the spectral theorem is any of a number of results about linear operators or about matrices.

Wikipedia

Ma, direte voi, fra una settimana hai l'esame di dottorato e passi tempo a scrivere sul blog?

Studiando, ho incontrato finalmente un'esposizone coincisa e comprensibile e self-contained del teorema spettrale. Grazie a chi? Grazie a Paul Halmos.

Cerco di riportare il suo argomento del paragrafo 35 di Introduction to Hilbert space: euristica spettrale.

Il ragionamento è molto semplice: consideriamo una funzione semplice sui reali e chiamiamola f.

Per definizione, allora, seguento la notazione di Wiki





Ora si noti che, se al posto della funzione indicatrice avessimo usato la misura di , allora il risultato del calcolo precedente sarebbe l'integrale di f.

Invertendo il ragionamento, consideriamo una misura (che non è proprio una misura, ma piuttosto ciò che si chiama una misura spettrale) con valori nello spazio delle funzioni indicatrici definita da



e notiamo che rispetto a questa misura, l'integrale di funzioni semplici si riduce ad una combinazione lineare di funzioni indicatrici. In particolare, il calcolo precedente mostra che, per funzioni semplici vale l'identità



Ora dobbiamo solo trovare il modo di estendere questo ragionamento a funzioni semplici e di generalizzare alcuni concetti al caso in cui E ha valori nell'insieme delle proiezioni ortogonali di uno spazio di Hilbert, ed ecco il teorema spettrale...