Processi (!?) Puntuali

Nomina sunt consequentia rerum

Giustiniano

Ieri, discutendo con una mia collega, ho realizzato che il termine processo puntuale è uno dei termini scelti peggio della storia della matematica.

(Per gli appassionati di neuroscienze, dove i processi di rinnovamento, caso speciale di quelli puntuali, sono molto usati: e qui una breve spiegazione di come il concetto viene usato in questa disciplina. Per gli appassionati di matematica: qui una breve storia del concetto nella comunità matematica.)

Cos'è un processo puntuale? In breve: è un insieme di punti casuali in uno spazio euclideo. Se lo spazio euclideo è R, allora è possibile pensare questo insieme di punti casuali come una sequenza di potenziali d'azione.

Cosa voglio dire con "un insieme di punti casuali"? Voglio dire che una realizzazione di un processo puntuale è un insieme di punti. Se rappresentiamo questo insieme di punti come la somma delle delta di dirac in detti punti, si ottiene che le realizzazione di un processo casuale sono misure su un certo spazio euclideo. Più precisamente sono misure di conteggio.

Ripeto: le realizzazioni di un processo puntuale sono misure di conteggio. Cioè: un processo puntuale è una funzione misurabile da uno spazio di probabilità allo spazio delle misure di conteggio. Cioè è una variabile casuale a valori nello spazio delle misure di conteggio.

Ma allora, se un processo puntuale è una variabile casuale, allora non è un processo stocastico.

E quindi: perchè chiamarlo processo puntuale?