albert einstein
martedì ho tenuto il seminario conclusivo del mio soggiorno a freiburgo. mi è piaciuto molto questo periodo qui e cerco quindi di spiegare cosa ho imparato. così spiego anche cosa intendevo in questo post.
l'ipotesi zero è che i neuroni scarichino potenziali d'azione in maniera casuale. l'obbiettivo finale è di scoprire tramite registrazioni di serie di potenziali d'azione provenienti contemporaneamente da diversi neuroni quali sono le carrateristiche statistiche dei neuroni singoli.
il modello matematico che scegliamo per un singolo neurone è quello di un processo di rinnovamento: ogni neurone singolo viene identificato con una successione di variabili aleatorie (X_i)_{i \in N} che rapprestano i tempi intercorrenti fra potenziali d'azioni successivi. si suppone che tali variabili siano indipendenti e identicamente distribuite.
ciò che si osserva nelle immagini che ho linkato sopra è allora nient'altro che una realizzazione della successione (S_n)_{n \in N} di variabili casuali che definisco tramite
si noti che abbiamo implicitamente posto l'origine del riferimento temporale coincidente col primo potenziale d'azione: quindi, S_n non è altro che il tempo a cui si registra l'n+1esimo potenziale d'azione.
una grandezza fondamentale per tale successione è la funzione di rinnovamento H che è definita ponendo H(t) uguale al valore atteso del numero dei potenziali d'azione registrati fino a t. indicando con N_t il numero di potenziali d'azione registrati nella nostra particolare realizzazione, si scrive in formule
si noti che N_t è essa stessa, per ogni t, una variabile aleatoria, e quindi se ne possono prendere K diverse copie indipendenti, ognuna che possiamo identificare con un singolo neurone di quelli che fanno parte della popolazione che abbiamo registrato. volendo possiamo assegnare ad ogni neurone un'etichetta, diciamo k, per distinguerli l'uno dall'altro. per cui le variabili aleatorie in questione diventano N^k_t.
in uno dei prossimi post mi propongo di dimostrare l'utile e facile formula
di interpretarla e di trarne qualche interessante conseguenza.
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