Is free will a thing, actually?

If he doesn't have free will, who does?

I always read backreaction with pleasure and one of the latest articles attracted my attention.

It was about free will. Free will is cool, really. This is a slightly, but only slightly, religious concept, so people from all faiths will discuss about it without much arguing. But it also philosophical, so hard core atheists will join the discussion. It has something to physics, since somebody in the room always bring up determinism. Everybody has it (or nobody, depending on who you ask) so everybody is going to discuss it. In the end, it does not matter that much, so discussions do not become too heated. And finally, it is the main topic of The Devil's Advocate, which is a great movie. I love it. Both free will and Al Pacino, of course.

Free-will has nothing to with determinism

That said, I would like to offer my humble contributions to the topic. The first objection to free will which always arise is determinism. What is determinism? The belief that if I would know position, velocity and everything else of all particles in the universe, then you would be able to predict everything which is going to happen in the future. It looks like this strong form of determinism would destroy free will. The first clear formulation in western philosophy of this is due to Laplace. Luckily enough, we don't have to discuss this because it is probably non-true. First, it is non practical due to the amount of chaos available in the world: small perturbations lead to large changes.

It is plainly wrong in the standard interpretation of quantum mechanics, since wave functions collapse contains a randomness. So, no physical determinism. 

Also, if determinism has anything to do with inference, it has been shown that you cannot do complete inference in systems where you can perform standard logics. Interestingly, this mathematical proof requires Cantor's diagonal argument. Which one of the single most important pieces of maths, so make sure to follow the Wikipedia link, please. I will come back to this in the end.

Given that determinism is wrong, we can set it aside in discussing free will. Yes, in a deterministic world, there is no space for free will. In a non deterministic world, we do not know. Maybe we are free, maybe we are random. Maybe we are merely non-computable.

Free-will has nothing to do with predictability of human choices

In the later years, there has been a copious amount of papers about predicting human choices before the reach consciousness, due to continuous improvement in brain imaging methods. See here, for example. This has caused a lot of stir among people. I do not know exactly what about: the will can well be free even if it is not conscious. You can make a free, conscious decision with your own will, but your will could also make a free decision without notifying your consciousness organ in advance. Free will is not the same as rational choice, in the end.

What exactly is free in the free will?

This is the very tough question: I think one important point is the capacity of influence its own choices and the ability of (consciously or not) question one's first (or second or third) guess. In general, when we talk of something which is free, we mean that said something is able to initiate actions out of its own initiative and it is not completely determined by the external forces. We talk about freedom even in physics: how many degrees of freedom has a body? In how many way it can move freely without being constrained? I would claim that free in "free will" denotes the mind's ability of making conscious or non-conscious choices not completely determined by factors external to the mind itself. Similar to a body with a positive number of degrees of freedom can actually move, although it is influenced by external forces and the own inertia, a free-will can pick choices, although these choices are influenced, to large degree, by external factors.

Gödel, our old friend

We already have seen that Mr Wolpert used Cantor's diagonal argument to show that there is no mathematical free will. You cannot say Cantor without's saying Gödel. Gödel's first incompleteness theorem states that any axiomatic system which is has a model of arithmetics will contain a mathematical sentence which is neither true nor false. If you additionally impose that the arithmetics should be standard (in some very specific sense), this sentence will true but non provable. In other words, free will seems to be related to Gödel and to the very nature of natural numbers which is itself quite dubious. By the way, Gödel's theorem proof heavily uses Cantor's diagonal argument, so we are back to where we started.

Summing up

Summing up, we maybe have free will, but then again no. We'll see. In any case, if natural numbers are actually true, we will have to pick infinite number of axioms to avoid problems. And this means a lot of choices, and all of them are free, unless you use standard arithmetics. But you don't need to. Good evening to you.

Più infinito

Qualche giorno fa ho spiegato i concetti di equipotenza e di infinito. In particolare, ho mostrato che i due concetti sono strettamente legati perchè un insieme è infinito se e solo se è equipotente ad una sua parte propria.

Ad esempio, i naturali sono equipotenti ai quadrati perfetti, essi sono una parte propria dei naturali, quindi l'insieme dei naturali è infinito.

La questione fondamentale è, ripeto, se i due insiemi infiniti dei quadrati perfetti e dei naturali siano equipotenti.

Sorge spontanea la domanda:

Domanda

Ogni due insiemi infiniti sono tra loro equipotenti?

La risposta è molto semplice:

Risposta

No. Controesempio: i numeri reali sono di più dei numeri naturali.

Dimostrazione

Dato che ogni naturale è reale, è chiaro che i reali sono almeno quanto i naturali. Dobbiamo quindi dimostrare l'impossibilità di trovare una funzione suriettiva dai naturali ai reali. È sufficiente dimostrare che non esiste una funzione biettiva da N all'intervallo (0,1) che è strettamente contenuto nei reali.

Consideriamo funzione iniettiva dai naturali ai reali. Per ogni naturale n, abbiamo un reale r, che provvederemo a scrivere nella sua notazione decimale, possibilmente infinita. Adesso abbiamo una lista numerata di tutti i reali scritti in notazione decimale.

Ad esempio:

1 --> 0.333333.........
2 --> 0.25000000000....
3 --> 0.23417171717....
4 --> 0.10000000000....
5 --> 0.1245389457[...]

e così via. I punti normali ... significano che il periodo viene ripetuto per sempre, i puntini nelle parentesi [...] significano che il numero non è periodico.

Adesso costruiamo un numero c in questa maniera:
- come cifra intera prendiamo lo 0;
- come prima cifra decimale prendiamo 0, se la prima cifra decimale del primo numero della lista non è 0 e prendiamo 1 se la prima cifra decimale del primo numero della lista è 0;
- come seconda cifra decimale prendiamo 0, se la prima cifra decimale del secondo numero della lista non è 0 e prendiamo 1 se la seconda cifra decimale del secondo numero della lista è 0;
- e così via per tutti i naturali...

nel caso precedente c avrà la seguente forma

c = 0.00010[...]

Adesso notiamo che c è un numero reale fra 0 e 1, dato che ha una notazione decimale ben definita. Per verificare che la nostra lista sia suriettiva, dobbiamo verificare che c sia nella lista. Immaginiamo che c sia il 125° numero della lista. Adesso vediamo che la 125° cifra di c è 0 se la 125° cifra del 125° numero non era 0 e 1 se era 0. Quindi essi differiscono nel loro sviluppo decimale e quindi, risparmiandoci i dettagli tecnici sul fatto che due numeri diversi possano avere lo stesso sviluppo decimale, abbiamo dimostrato che c non può essere nella lista.

Riassumendo: abbiamo appena trovato un reale c che non è contenuto nella lista, cioè non è immagine di nessun numero naturale per la nostra funzione iniettiva. Quindi la funzione non è suriettiva. Q.e.d.

Quello che avete appena visto in azione è il temibile argomento diagonale di Cantor del 1891, una delle armi matematiche più terribili mai sviluppate al mondo.

La cosa più inquietante, è che fino al 1891, ripeto: milleottocentonovantuno!, non si erano accorti di questo fenomeno che adesso è possibile spiegare a chiunque...

Logici

Studiate matematica. Ma se un giorno vi accade di diventare dei logici, iniziate a preoccuparvi che di solito finisce male.

Georg Cantor: incompreso dalla comunità scientifica, forse anche a causa del disturbo bipolare da cui era affetto, muore in povertà in un ospedale nel 1918.

Kurt Gödel: perseguitato come ebreo (senza esserlo, per giunta) fugge dall'Austria per gli USA. Sviluppa una forma di ossessione, teme costantemente di essere avvelenato e lascia assaggiare il cibo dalla moglie. Quando lei finisce in ospedale per 6 mesi, rifiuta di mangiare e muore di fame nel 1978.

Alan Turing: condannato per omosessualità in Inghilterra, è sottoposto a castrazione chimica nel 1952. Nel 1954 si suicida ingerendo una mela avvelenata.

Ps: ho modificato il post grazie ai suggerimenti di Hronir nei commenti

Infinito

Nessuno potrà cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato

David Hilbert

Oggi, mentre ero ad un seminario, l'oratore ha affermato una cosa interessante. Cioè voleva convincerci del fatto che uno spazio di parametri fosse "quasi infinite dimensional". Voleva dire, in realtà che vi erano molti parametri: circa 1000000.

Così, mentre ero sotto la doccia, mi sono ricordato della spiegazione che mi diede una volta mio padre dell'infinito: un numero così grande che è più grande di qualsiasi altro numero che tu possa immaginare.

Certo è una buona spiegazione, ma poi porta a errori mentali come affermare che R^10000000 sia quasi infinito dimensionale. Questo perchè, dal punto di vista di noi uomini, prendere un numero più grande ci "avvicina" in qualche maniera all'infinito. Quindi, se prendo un numero molto grande, allora sarò molto vicino all'infinito.

Niente di più falso, per il semplice motivo che l'infinito non è un numero! Mettetevi infatti nei panni dell'infinito e considerate il numero 1. Allora 1/infinito è sicuramente più piccolo di 1/10, dato che infinito è maggiore di 10. Ma anche di 1/100. Ma anche di 1/1000 e così via. Adesso se considero il numero 11111111111111, che di certo è molto più grande di 1, ragionando nella stessa maniera, scopro che 11111111111111/infinito è minore di 1/10, di 1/100, di 1/1000 etc... Cioè, per l'infinito tutti gli altri numeri valgono 0, non conta quanto siano grandi.

Cos'è l'infinito, allora? Per ottenere la risposta, dobbiamo capire cos'è la grandezza di un insieme. In matematica si dice che due insiemi A e B sono ugualmente grandi o, più precisamente, equipotenti, se esiste una funzione f da A a B che sia bigettiva. Ad esempio, l'insieme dei giorni di una settimana e dei re di Roma sono equipotenti. Per vederlo, si consideri la funzione f che associa al lunedì Romolo, al martedì Numa Pompilio, al mercoledì Tullio Ostilio etc... questa funzione è chiaramente ingettiva, perchè si arriva ad ogni re da un solo giorno ed è anche surgettiva perchè si arriva a tutti i re.

In una visione ingenua della matematica, il numero 7 si può allora definire come la proprietà di essere equipotente all'insieme dei re di Roma.

Ora siamo pronti per dare una definizione. Come nel caso del numero 7, non diremo cos'è l'infinito, ma diremo come riconoscere un insieme che ha infiniti elementi.

Definizione
Un insieme è infinito se possiede un sottoinsieme proprio equipotente a se stesso.

Esempio
Ci sono infiniti numeri naturali. Per vederlo, si prenda la funzione che ad ogni naturale associa il proprio quadrato. Questa funzione è bigettiva dall'insieme dei naturali all'insieme dei quadrati perfetti. Dato che quest'ultimo è un sottoinsieme proprio dei numeri naturali, abbiamo provato l'asserto.

Eppoi, questa maniera di voler arrivare all'infinito per addizione mi sembra come voler arrivare al cielo costruendo una torre. Di Babele, è ovvio.