Più infinito

Qualche giorno fa ho spiegato i concetti di equipotenza e di infinito. In particolare, ho mostrato che i due concetti sono strettamente legati perchè un insieme è infinito se e solo se è equipotente ad una sua parte propria.

Ad esempio, i naturali sono equipotenti ai quadrati perfetti, essi sono una parte propria dei naturali, quindi l'insieme dei naturali è infinito.

La questione fondamentale è, ripeto, se i due insiemi infiniti dei quadrati perfetti e dei naturali siano equipotenti.

Sorge spontanea la domanda:

Domanda

Ogni due insiemi infiniti sono tra loro equipotenti?

La risposta è molto semplice:

Risposta

No. Controesempio: i numeri reali sono di più dei numeri naturali.

Dimostrazione

Dato che ogni naturale è reale, è chiaro che i reali sono almeno quanto i naturali. Dobbiamo quindi dimostrare l'impossibilità di trovare una funzione suriettiva dai naturali ai reali. È sufficiente dimostrare che non esiste una funzione biettiva da N all'intervallo (0,1) che è strettamente contenuto nei reali.

Consideriamo funzione iniettiva dai naturali ai reali. Per ogni naturale n, abbiamo un reale r, che provvederemo a scrivere nella sua notazione decimale, possibilmente infinita. Adesso abbiamo una lista numerata di tutti i reali scritti in notazione decimale.

Ad esempio:

1 --> 0.333333.........
2 --> 0.25000000000....
3 --> 0.23417171717....
4 --> 0.10000000000....
5 --> 0.1245389457[...]

e così via. I punti normali ... significano che il periodo viene ripetuto per sempre, i puntini nelle parentesi [...] significano che il numero non è periodico.

Adesso costruiamo un numero c in questa maniera:
- come cifra intera prendiamo lo 0;
- come prima cifra decimale prendiamo 0, se la prima cifra decimale del primo numero della lista non è 0 e prendiamo 1 se la prima cifra decimale del primo numero della lista è 0;
- come seconda cifra decimale prendiamo 0, se la prima cifra decimale del secondo numero della lista non è 0 e prendiamo 1 se la seconda cifra decimale del secondo numero della lista è 0;
- e così via per tutti i naturali...

nel caso precedente c avrà la seguente forma

c = 0.00010[...]

Adesso notiamo che c è un numero reale fra 0 e 1, dato che ha una notazione decimale ben definita. Per verificare che la nostra lista sia suriettiva, dobbiamo verificare che c sia nella lista. Immaginiamo che c sia il 125° numero della lista. Adesso vediamo che la 125° cifra di c è 0 se la 125° cifra del 125° numero non era 0 e 1 se era 0. Quindi essi differiscono nel loro sviluppo decimale e quindi, risparmiandoci i dettagli tecnici sul fatto che due numeri diversi possano avere lo stesso sviluppo decimale, abbiamo dimostrato che c non può essere nella lista.

Riassumendo: abbiamo appena trovato un reale c che non è contenuto nella lista, cioè non è immagine di nessun numero naturale per la nostra funzione iniettiva. Quindi la funzione non è suriettiva. Q.e.d.

Quello che avete appena visto in azione è il temibile argomento diagonale di Cantor del 1891, una delle armi matematiche più terribili mai sviluppate al mondo.

La cosa più inquietante, è che fino al 1891, ripeto: milleottocentonovantuno!, non si erano accorti di questo fenomeno che adesso è possibile spiegare a chiunque...