Disugualglianza di Markov

Una variabile casuale è una funzione che mappa un certo spazio di probabilità, che chiamiamo P, in uno spazio campionario V.

Per dirla in maniera un po' più semplice, anche se più imprecisa, è un elenco delle probabilità prob(v) con cui avvengono certi eventi v appartenenti ad una lista V. Assumiamo che questa lista di eventi sia un insieme di numeri.

Ricordo che EX denota il valore atteso della variabile casuale. È possibile allora, stimare direttamente la probabilità che un la variabile casuale sia maggiore di un certo numero.

Disuguaglianza di Markov

Sia X una variabile casuale e M un numero. Allora

prob(|X|>=M) =< EX/M

Dimostrazione

Per prima cosa si definisca 1:{|X|>=M} la funzione indicatrice del sottoinsieme dello spazio di probabilità P dove |X| è maggiore o uguale ad M.

Per definizione, nei punti di P dove |X|=M} vale 0, negli altri 1. Per cui M:{|X|>=M} =< |X|.

Integrando nello spazio P a destra e sinistra si ottiene per definizione di valore atteso, si veda la pagina wiki,



Dato che il termine a sinistra altro non è che Mprob(|X| >= M), si ha l'asserto.

Esempio

Come variabile casuale prendiamo l'età raggiunti dagli abitanti di un paese. Supponiamo che il valore medio sia 60 anni. Allora si ottiene la brutale approssimazione

prob(X > 600) =< 0.1

Sarebbe a dire che un abitante ha meno del 10% di probabilità di raggiungere i 600 anni.

Non molto informativo, se non si considera il fatto che non abbiamo fatto alcuna assunzione sulla nostra variabile casuale...