Infinito

Nessuno potrà cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato

David Hilbert

Oggi, mentre ero ad un seminario, l'oratore ha affermato una cosa interessante. Cioè voleva convincerci del fatto che uno spazio di parametri fosse "quasi infinite dimensional". Voleva dire, in realtà che vi erano molti parametri: circa 1000000.

Così, mentre ero sotto la doccia, mi sono ricordato della spiegazione che mi diede una volta mio padre dell'infinito: un numero così grande che è più grande di qualsiasi altro numero che tu possa immaginare.

Certo è una buona spiegazione, ma poi porta a errori mentali come affermare che R^10000000 sia quasi infinito dimensionale. Questo perchè, dal punto di vista di noi uomini, prendere un numero più grande ci "avvicina" in qualche maniera all'infinito. Quindi, se prendo un numero molto grande, allora sarò molto vicino all'infinito.

Niente di più falso, per il semplice motivo che l'infinito non è un numero! Mettetevi infatti nei panni dell'infinito e considerate il numero 1. Allora 1/infinito è sicuramente più piccolo di 1/10, dato che infinito è maggiore di 10. Ma anche di 1/100. Ma anche di 1/1000 e così via. Adesso se considero il numero 11111111111111, che di certo è molto più grande di 1, ragionando nella stessa maniera, scopro che 11111111111111/infinito è minore di 1/10, di 1/100, di 1/1000 etc... Cioè, per l'infinito tutti gli altri numeri valgono 0, non conta quanto siano grandi.

Cos'è l'infinito, allora? Per ottenere la risposta, dobbiamo capire cos'è la grandezza di un insieme. In matematica si dice che due insiemi A e B sono ugualmente grandi o, più precisamente, equipotenti, se esiste una funzione f da A a B che sia bigettiva. Ad esempio, l'insieme dei giorni di una settimana e dei re di Roma sono equipotenti. Per vederlo, si consideri la funzione f che associa al lunedì Romolo, al martedì Numa Pompilio, al mercoledì Tullio Ostilio etc... questa funzione è chiaramente ingettiva, perchè si arriva ad ogni re da un solo giorno ed è anche surgettiva perchè si arriva a tutti i re.

In una visione ingenua della matematica, il numero 7 si può allora definire come la proprietà di essere equipotente all'insieme dei re di Roma.

Ora siamo pronti per dare una definizione. Come nel caso del numero 7, non diremo cos'è l'infinito, ma diremo come riconoscere un insieme che ha infiniti elementi.

Definizione
Un insieme è infinito se possiede un sottoinsieme proprio equipotente a se stesso.

Esempio
Ci sono infiniti numeri naturali. Per vederlo, si prenda la funzione che ad ogni naturale associa il proprio quadrato. Questa funzione è bigettiva dall'insieme dei naturali all'insieme dei quadrati perfetti. Dato che quest'ultimo è un sottoinsieme proprio dei numeri naturali, abbiamo provato l'asserto.

Eppoi, questa maniera di voler arrivare all'infinito per addizione mi sembra come voler arrivare al cielo costruendo una torre. Di Babele, è ovvio.