mercoledì, maggio 14, 2008

Misure e continuità

Sto studiando un po' di teoria della misura in questo periodo. Devo confessarlo: è una materia che ho spesso considerato noiosa.

Anzi no, il corso Analisi IV a Tübingen (dove si faceva quasi solamente teoria della misura) mi è piaciuto anche parecchio. Poi, la difficoltà del corso e la freddezza del docente mi hanno portato ad orientarmi più verso l'analisi. La mazzata finale l'ha data un noiosissimo corso di Stocastica I...

Ma basta divagazioni: una cosa divertente delle misure è che ogni misura ha delle proprietà intrinseche di continuità; qualcuno chioserebbe che tali proprietà le derivano dall'essere una funzione positiva.

Se volete rinfrescarvi la memoria, potete dare un'occhiata all'articolo di wiki sulle misure.

La proprietà di continuità di cui parlo può essere formulata in questa maniera: la misura di un punto singolo si ottiene come limite della misura delle palle attorno al punto. Come al solito denoto B(x,r) la palla di centro x e raggio r.

Lemma di continuità per misure

Sia N una misura di probabilità (di Borel definita su uno spazio metrico ) e sia a(n) una successione decrescente di reali positivi convergente a 0.

Allora N({x}) = lim N(B(x, a(n))).

Dimostrazione

La dimostrazione è un corollario del fatto che una misura è continua dall'alto; se gli A_n sono insiemi misurabili e soddisfano

\ldots \subset A_{n+1} \subset A_n\subset \ldots

allora la misura dell'intersezione converge al limite delle misure. Quindi, dato che l'insieme {x} è l'intersezione delle palle attorno a se stesso, si ottiene il risultato voluto. Q.e.d.

Ovviamente abbiamo barato, perchè la difficoltà della dimostrazione consiste nel provare la continuità dall'alto. Tuttavia, la dimostrazione della continuità dall'alto non è particolarmente interessante è può essere trovata qui. Si tratta solo di usare la sigma-additività della misura e di fare una stima attenta.

Questo facile lemma ha un suo interesse: infatti è la chiave per la dimostrazione della rappresentazione delle misure di conteggio data qui.

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