Uno dei concetti più interessanti in matematica è quello di sistema dinamico. Per spiegarla in maniera molto coincisa, si fissi uno spazio degli stati, diciamo R, e uno spazio dei tempi, diciamo [0,oo). Allora un sistema dinamico è una applicazione dallo spazio dei tempi allo spazio degli stati. In altre parole, un sistema dinamico su R è una funzione che ad ogni tempo t>=0 mi dice in che punto di R mi trovo.
Questo concetto ha un interessante corrispettivo probabilistico: il processo stocastico. In questo caso, il nostro spazio degli stati consiste di variabili casuali, cioè, la posizione al tempo t è un numero casuale invece di essere precisamente determinato.
Faccio un esempio banale per far vedere quante possibilità in più danno i processi stocastici. Un processo stocastico è detto debolmente stazionario se E(X(t)X(s)) è una funzione di t-s. Qui e altrove E denota il valore atteso.
Faccio notare che molti importanti processi stocastici; ad esempio il moto browniano sono stazionari. Questo per dire che la classe dei processi debolmente stazionari è ampia e importante.
Supponiamo adesso che il processo stocastico stazionario sia in realtà deterministico, cioè che per ogni ogni variabile casuale X(t) esista un numero f(t) tale che X(t)=f(t) quasi sicuramente. Allora un tale processo stocastico è quasi sicuramente un sistema dinamico.
Ora voglio far vedere che già in una dimensione i processi stocastici hanno una ricchezza molto maggiore dei sistemi dinamici.
Domanda
Quali sono i sistemi dinamici stazionari?
Cominciamo col notare che, dato che X(t) è quasi sicuramente uguale ad f(t), allora il valore atteso soddisfa E(X(t))=f(t). Quindi la condizione di stazionarietà si riduce all'equazione funzionale
f(t)f(s) = F(t-s)
per una funzione arbitraria F. Si scelga t=s. Risolvendo l'equazione funzionale si ottiene
f(t)²= F(0).
Dato che questa relazione vale per ogni t>0, si ottiene che f(t)=f(s) per ogni t ed s.
Risposta
Com'era da aspettarsi, gli unici processi stazionari deterministici sono quelli costanti...
Questo concetto ha un interessante corrispettivo probabilistico: il processo stocastico. In questo caso, il nostro spazio degli stati consiste di variabili casuali, cioè, la posizione al tempo t è un numero casuale invece di essere precisamente determinato.
Faccio un esempio banale per far vedere quante possibilità in più danno i processi stocastici. Un processo stocastico è detto debolmente stazionario se E(X(t)X(s)) è una funzione di t-s. Qui e altrove E denota il valore atteso.
Faccio notare che molti importanti processi stocastici; ad esempio il moto browniano sono stazionari. Questo per dire che la classe dei processi debolmente stazionari è ampia e importante.
Supponiamo adesso che il processo stocastico stazionario sia in realtà deterministico, cioè che per ogni ogni variabile casuale X(t) esista un numero f(t) tale che X(t)=f(t) quasi sicuramente. Allora un tale processo stocastico è quasi sicuramente un sistema dinamico.
Ora voglio far vedere che già in una dimensione i processi stocastici hanno una ricchezza molto maggiore dei sistemi dinamici.
Domanda
Quali sono i sistemi dinamici stazionari?
Cominciamo col notare che, dato che X(t) è quasi sicuramente uguale ad f(t), allora il valore atteso soddisfa E(X(t))=f(t). Quindi la condizione di stazionarietà si riduce all'equazione funzionale
f(t)f(s) = F(t-s)
per una funzione arbitraria F. Si scelga t=s. Risolvendo l'equazione funzionale si ottiene
f(t)²= F(0).
Dato che questa relazione vale per ogni t>0, si ottiene che f(t)=f(s) per ogni t ed s.
Risposta
Com'era da aspettarsi, gli unici processi stazionari deterministici sono quelli costanti...
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