Giri e mezzi giri

Devo ricordamene quest'estate quando rifaccio Analisi di Fourier.

FM09010 (I)

So, let us start we the new lecture: Fourier methods and their applications to neuroscience.

Preliminary disclaimer: there are many many approaches to the topic. I will follow this one. In fact, Osgood's lecture is by far better than what I can hope to do in my life, but he has a slow pace which is not suitable for PhD students at the BCCN.

In the first lecture we explained the basic idea, which is simple: you have a complex periodic function (where complex stays for both "complicated" and "not real") and you want to represent it as weighted sum of simpler (but also not real) periodic functions. For definiteness, let us say that all functions have period 1.

We can choose to use trigonometric functions or complex exponentials. We will choose the complex exponentials for different reasons. To be precise, we want to express any periodic function of period 1 as the weighted (probably infinite) sum of the functions

e_n(t):=e^{2\pi nit}

where n ranges in the integers.
The difficult problem is: how to find the weights for the sum? It goes in the following way. You start from what you are looking for

f(t)=\sum_{n \in \mathbb Z} c_n e^{2\pi nit}

Here, the numbers c_n are the (unknown!) weights of the linear combination that you want to represent the function f. We now try to isolate a single coefficient, say the kth, to know whether is possible to get a formula for a single coefficient depending only on f and not on the other coefficients. So you get

f(t)- \sum_{n\neq k} c_n e^{2\pi nit} = c_ke^{2\pi kit}

You divide by the complex exponential obtaining

f(t)e^{-2\pi kit}- \sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit} = c_k

For this you have to use all properties of the complex exponentials. Which is, by the way, only one. And in fact it is the same as for the real exponential: "sum is mapped into multiplication". This is one motivation for using complex exponentials instead of trigonometric functions.

You now have the problem that you have expressed one c_k in terms of the other ones, but you want to have c_k without its companions. Algebra gave us everything she could, so let us try with Analysis. He suggests to integrate between 0 and 1 (which is the period of all functions here) obtaining

\int_0^1 f(t)e^{-2\pi kit} dt- \int_0^1\sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit}dt = c_k

The c_k, integrated, gives c_k! And now the magic. Compute the integral of the complex exponentials: it gives 0.
So, you are left with the famous expression

\int_0^1 f(t)e^{-2\pi kit} dt- \int_0^1\sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit}dt = c_k=:\hat{f}(k)

where we have introduced the symbol \hat{f}(k). We will call this number by the suggestive name of the kth Fourier coefficient of f.

Moltiplicatori di Fourier

Ieri ho finalmente capito cosa sono, o meglio, realizzato qual è l'utilità dei moltiplicatori di Fourier.

Prima di spiegarlo, abbiamo bisogno di due premesse.

La prima premessa: la rappresentazione temporale e la rappresentazione spettrale di una funzione sono equivalenti, nel senso che contengono la stessa quantità di informazione.

La seconda premessa: in analisi funzionale spesso si considerano degli operatori lineari molto semplici, chiamati moltiplicatori; il moltiplicatore, chiamiamolo M, con una data funzione, diciamo m, è definito come

 Mf(x) := m(x)f(x) 

Questi operatori vengono studiati per la loro semplicità e perchè è possibile illustrare molte definizioni e molti teoremi utilizzando questi operatori. Ad esempio, lo spettro di un moltiplicatore (a meno di dettagli tecnici) corrisponde all'immagine della funzione m.

Ora, dato che come abbiamo detto rappresentazione temporale e rappresentazione spettrale sono equivalenti, è lecito utilizzare operatori di moltiplicazione anche per una funzione in dominio di frequenza. Cioè, se \mu è una funzione, il moltiplicatore in dominio di frequenza è

 \mathcal Mf(\omega) := \mu(\omega)f(\omega) 

Adesso siamo in grado di definire un moltiplicatore di Fourier T, che è la rappresentazione temporale di un moltiplicatore in spazio di frequenza, cioè

Tf= \mathcal F^{-1}\mathcal M \mathcal F f

Detto in italiano: consideriamo la rappresentazione spettrale di una funzione f; la moltiplichiamo con una funzione \mu, e quello che otteniamo lo rappresentiamo temporalmente. Questa serie di operazioni definisce un moltiplicatore di Fourier.

Cui prodest? Qual è il vantaggio di tali operatori? Ma è chiaro! Che è possibile controllare esattamente come questi operatori agiscono sullo spettro!

Alcuni esempi importanti: il Laplaciano, la trasformata di Hilbert, tutti gli operatori di convoluzione, tutti gli operatori differenziali a coefficienti costanti sono moltiplicatori di Fourier.

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Questo semestre terrò il corso per dottorandi di biologia (e fisica) "Analisi di Fourier e applicazioni alle neuroscienze".

Cercando su internet ho trovato questo bellissimo corso di Brad Osgood.

È ad un livello molto di base, ma tutto è spiegato così bene, e con una tale chiarezza di idee, da lasciarmi stupefatto.

MCCN V

Sono un po' in ritardo con gli aggiornamenti dalla lezione. La settimana scorsa abbiamo spiegato due cose fondamentali: il teorema del limite centrale e il processo di Wiener. Parliamo un po' del primo.

Il teorema del limite centrale è quella legge che afferma che la somma di variabili casuali i.i.d. converge ad una distribuzione normale. La dimostrazione si può trovare dappertutto: non è difficile, e sono richiesti alcuni ingredienti.

Uno lo voglio spiegare oggi.

Ingrediente 1: la funzione caratteristica e i momenti di una variabile casuale

La funzione caratteristica di una variabile casuale X è definita tramite



Se X ha una densità, allora la funzione caratteristica altro non è che la trasformata di Fourier della densità. Sfruttando il fatto che si possono scambiare integrale e derivata facciamo questo piccolo calcolo:



Si vede che il valore atteso di X è la derivata in 0 della funzione caratteristica moltiplicato per -i. Integrando analogamente e inducendo, si ottiene la famosa formula




Per completezza elenco gli ingredienti necessari a comprendere la dimostrazione classica del teorema del limite centrale.

Ingrediente 2: la formula di Eulero per la definizione di e. Cioè la prima caratterizzazione qui.

Ingrediente 3: lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione.

Ingrediente 4: il fatto che la distribuzione normale è invariante sotto l'azione della trasformata di Fourier. Questo è un mistero che ricorre in tutte le parti della matematica.

Servizio Pubblico - Trasformata di Fourier (III)

Oggi parliamo di trasformata di Fourier.

Incomincio col rimandare ad una introduzione di Terence Tao al problema: qui il post del suo blog dove annuncia l'articolo. La prima volta che la lessi non ho trovato l'introduzione particolarmente entusiasmante, ma leggendola ieri mi è piaciuta molto di più. È da leggere, soprattutto se si è interessati ad un punto di vista più astratto sull'argomento.

Definizione

Data una funzione f, la sua trasformata di Fourier, che denotiamo Ff, è definita tramite



Ci sono varie possibilità di aggiungere la radice di 2 pi greca in varie parti dell'espressione, ma non ha molta importanza.

Interpretazione

Cosa fa la trasformata di Fourier? La maniera più semplice di capirlo è pensare ad una funzione come ad un segnale elettrico: f(t) è il valore di un certo potenziale al momento t. Si può immaginare che questo potenziale sia dovuto alla sovrapposizione del campo elettrico di vari oggetti: elettroni che girano attorno al nucleo, atomi che vibrano, molecole polari che ruotano, una lacuna elettronica che si muove in un conduttore. Molti di questi fenomeni sono periodici, facendo che si che questo segnale elettrico sia la sovrapposizione di fantastiliardi di oscillazioni periodiche, ognuna con la sua determinata frequenza.

Può essere allora molto più interessante conoscere la quantità di energia del segnale ad ogni frequenza, piuttosto che il valore assoluto del potenziale ad un certo momento. Questo è esattamente ciò che fa la trasformata di Fourier: decomporre un segnale nelle diverse frequenze che partecipano a costruirlo, comprese le loro fasi.

Un breve esercizio

Dato che la trasformata di Fourier opera una decomposizione nelle frequenze, ci si aspetta che traslare una funzione non cambi il valore assoluto della trasformata di Fourier, ma solo la sua fase. Per impratichirci calcoliamo che è così. Quello che vogliamo calcolare è la trasformata di Fourier Fg della funzione definita tramite



dove a è un qualsiasi numero reale. In altre parole, dobbiamo calcolare l'integrale



Passando alla variabile s=t-a e utilizzando la formula per il cambio di variabili si ottiene



Adesso abbiamo finito! È sufficiente utilizzare la proprietà della funzione esponenziale ed estrarre la parte che non dipende da s dall'integrale, ottenendo



In pratica: la traslazione della funzione originaria determina un cambio di fase dipendente dalla frequenza della trasformata di Fourier. Questo vuol dire, in particolare, che il valore assoluto quadrato della trasformata di Fourier, cioè l'energia contenuta in una particolare frequenza, non dipende da eventuali traslazioni.