Incomincio col rimandare ad una introduzione di Terence Tao al problema: qui il post del suo blog dove annuncia l'articolo. La prima volta che la lessi non ho trovato l'introduzione particolarmente entusiasmante, ma leggendola ieri mi è piaciuta molto di più. È da leggere, soprattutto se si è interessati ad un punto di vista più astratto sull'argomento.
Definizione
Data una funzione f, la sua trasformata di Fourier, che denotiamo Ff, è definita tramite
Ci sono varie possibilità di aggiungere la radice di 2 pi greca in varie parti dell'espressione, ma non ha molta importanza.
Interpretazione
Cosa fa la trasformata di Fourier? La maniera più semplice di capirlo è pensare ad una funzione come ad un segnale elettrico: f(t) è il valore di un certo potenziale al momento t. Si può immaginare che questo potenziale sia dovuto alla sovrapposizione del campo elettrico di vari oggetti: elettroni che girano attorno al nucleo, atomi che vibrano, molecole polari che ruotano, una lacuna elettronica che si muove in un conduttore. Molti di questi fenomeni sono periodici, facendo che si che questo segnale elettrico sia la sovrapposizione di fantastiliardi di oscillazioni periodiche, ognuna con la sua determinata frequenza.
Può essere allora molto più interessante conoscere la quantità di energia del segnale ad ogni frequenza, piuttosto che il valore assoluto del potenziale ad un certo momento. Questo è esattamente ciò che fa la trasformata di Fourier: decomporre un segnale nelle diverse frequenze che partecipano a costruirlo, comprese le loro fasi.
Un breve esercizio
Dato che la trasformata di Fourier opera una decomposizione nelle frequenze, ci si aspetta che traslare una funzione non cambi il valore assoluto della trasformata di Fourier, ma solo la sua fase. Per impratichirci calcoliamo che è così. Quello che vogliamo calcolare è la trasformata di Fourier Fg della funzione definita tramite
dove a è un qualsiasi numero reale. In altre parole, dobbiamo calcolare l'integrale
Passando alla variabile s=t-a e utilizzando la formula per il cambio di variabili si ottiene
Adesso abbiamo finito! È sufficiente utilizzare la proprietà della funzione esponenziale ed estrarre la parte che non dipende da s dall'integrale, ottenendo
In pratica: la traslazione della funzione originaria determina un cambio di fase dipendente dalla frequenza della trasformata di Fourier. Questo vuol dire, in particolare, che il valore assoluto quadrato della trasformata di Fourier, cioè l'energia contenuta in una particolare frequenza, non dipende da eventuali traslazioni.
2 commenti:
Ciao Lap(l)aciano,
ma la omega nel tuo post é corrispondente alla j dell'articolo di Tao (che ho seguito fino a metá seconda pagina...)?
Egli le chiama lí armoniche di ordine j; nel tuo caso si tratterebbe delle frequenze in cui scomponi la funzione, es. 1 Hz, 2 Hz, etc?
Altra domanda: il numero delle armoniche é finito? Se io considero 10000 armoniche ho una descrizione piú completa rispetto a 10 di esse?
Ciao BBB,
fantastico che tu sia arrivato fino a metà della seconda pagina!
Se vai qualche rigo avanti lui arriva finalmente a spiegare cos'è la trasformata di Fourier e cosa diavolo centra con questa storia delle armoniche (lui omega lo chiama xi).
La risposta è: no. I suoi j non sono il mio omega. Lui cerca di far capire in che senso si può fare la trasformata di Fourier rispetto a qualsiasi gruppo di simmetrie. La trasformata di Fourier che vuoi fare tu, e che ti da la decomposizione in frequenze è la trasformata rispetto al gruppo di simmetrie dei numeri reali con segno, dotati dell'operazione di addizione.
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