Gioelli della matematica (I)

Oggi parliamo dell'articolo Über die Unbeschränktheit der Operatoren der Quantenmechanik di Helmut Wielandt, apparso sui Mathematische Annalen nel 1949.

Il titolo, tradotto in italiano, vuol dire "Sull'illimitatezza degli operatori della meccanica quantistica". Di cosa stiamo parlando? Semplificando un po, in meccanica quantistica tutte le grandezze diventano operatori. E se due grandezze A,B sono una la trasformata di Fourier dell'altra, allora devono soddisfare la relazione

[A,B]=i \hbar

dove abbiamo indicato [A,B]=AB-BA il commutatore dei due operatori.

Questa relazione è detta la relazione canonica di commutazione, di più qui. Nel 1947 Wintner dimostrò, utilizzando una tecnica sviluppata da Rellich nel 1946, che due operatori che soddisfino le relazioni di commutazione devono essere illimitati. Tale dimostrazione era però complicata, e nel 1949 Wielandt diede una dimostrazione elementare di questo fatto. Come funziona?

Wielandt parte dall'osservazione che, se

[A,B]=1

allora

[A,B^{n+1}]= (n+1)B^n

La dimostrazione di questo fatto è una semplice manipolazione algebrica e un'altrettanto semplice induzione.

Da questo fatto, e dalla disuguaglianza triangolare inversa applicata alla norma operatoriale di A e B, ottiene una stima della norma di B

(n+1)|B^n|\leq 2|A||B||B^n|

che vale per tutti gli n.

L'attento lettore avrà già capito che questa stima implica che B=0, di conseguenza anche A=0, e così abbiamo ottenuto che l'unico operatore limitato che soddisfa le relazioni di commutazione è l'operatore nullo non esistono operatori limitati che soddisfano le relazioni di commutazione.

Aspettando il gatto...

... ci accontentiamo dei virus di Schrödinger

QED

Ieri ho notato che l'elettrodinamica quantistica e il quod erat demonstrandum hanno la stessa abbreviazione

Cosa significa?

Breakthrough?

Che sia la Soluzione?

encounters

Oggi e domani sono a questa conferenza.

Ad aprire la conferenza è Joachim von Below, un professore tedesco emigrato in Francia - che è anche uno dei controrelatori della mia tesi.

Parlerà del problema di isospettralità e isomorfia dei grafi. Cos'è questa misteriosa branca? Consideriamo un grafo, cioè un'unione di intervalli incollati fra loro nei punti terminali. In questo post non ci interessano le lunghezze degli intervalli, che consideriamo essere sempre unitaria, nè i nomi che abbiamo assegnato ai vari nodi e intervalli, ma solo le relazioni di vicinanza fra nodi e lati.

Mi spiego con un esempio: questo grafo e quest'altro grafo hanno le stesse relazioni di vicinanza. Il nodo blu, ad esempio, è collegato in tutti e due i grafi al nodo rosso, al nodo verde e al nodo beige. Lo stesso dicasi per gli altri nodi.

Questo vuol dire che i due grafi hanno le stesse relazioni di vicinanza, cioè, per dirla in maniera più roboante, essi sono isomorfi.

Supponiamo adesso che all'interno degli intervalli si muovano degli elettroni, i quali possono passare da un intervallo all'altro passando attraverso i nodi, con l'ipotesi che si distribuiscano uniformemente in tutti gli intervalli uscenti da un nodo e che nessun elettrone vada perso. Quello che stiamo considerando, allora, è un grafo quantistico, governato da un certo operatore di Hamilton.

Questo Hamiltoniano avrà un certo spettro. È abbastanza facile dimostrare che se due grafi sono isomorfi, allora i rispettivi Hamiltoniani hanno lo stesso spettro.

Si potrebbe allora pensare che valga il contrario: se i rispettivi Hamiltoniani hanno lo stesso spettro, allora i grafi sono isomorfi. Nulla di più falso!

Di questo parlerà Joachim von Below oggi.

Ps: un altro gruppo, oltre ai francesi che lavorano con von Below, che lavora al problema è in Israele. Li stanno sviluppando un interessante approccio sistematico al problema, vedi qui.

vortici extradimensionali

è un'anfora di energia cosmica... ed è puntata contro di me!

crystal

qualche giorno fa, scrivendo la tesi, ho fatto una divertente osservazione riguardante grafi infiniti. partiamo dal caso finito e immaginiamo di avere una stella con un numero finito di punte, cioè un punto da cui si dipartono un numero finito di segmenti. su ognuno di questi segmenti abbiamo un'equazione di schrödinger che governa una funzione d'onda. supponiamo che non ci sia assorbimento ne eccitazione nel punto centrale, cioè che tutti gli elettroni che arrivano al centro possano proseguire.

la cosa migliore per studiare questo problema è scrivere il funzionale dell'energia, che altro non è che l'integrale su tutta la stella del gradiente quadrato della funzione d'onda; alle funzioni sui diversi lati si impone solamente che esista la derivata e che abbiano un valore comune al centro. questo ansatz funziona, e l'operatore associato a questo funzionale dell'energia è quello giusto.

ancora meglio: in questo caso, l'equazione di schödinger ha tutte le proprietà possibili e immaginabili, e, per riassumere in poche parole, è quasi indistinguibile da un'equazione di schrödinger su un dominio. in particolare, se la funzione d'onda è concentrata su un segmento, allora si espanderà in tutti gli altri.

nel caso la stella abbia infiniti lati. accade qualcosa di strano: il nodo centrale si comporta come se fosse imposta una condizione di dirichlet. in pratica, è un buco nero che inghiotte tutti gli elettroni che vengono a trovarsi li.

una spiegazione intuitiva è la seguente: immaginate di essere un elettrone in procinto di attraversare il nodo centrale. per simmetria avete una probabilità identica di passare ad ogni altro lato. dato che i lati sono infiniti, questa identica probabilità è 0, è così venite risucchiati da un vortice extradimensionale. amen.

ps: per altro: così si possono intrappolare funzioni d'onda in un lato prefissato.

forme sesquilineari (I)

in mathematics you don’t understand things. you just get used to them.

j. von neumann

john von neumann mi diviene sempre più simpatico, col passare del tempo. e dire che non l'ho mai amato nella mia fanciullezza. per il progetto manhattan e quelle storie lì, s'intende.

cerco, dunque, di "get used" al concetto di forma sesquilineare, dopo due anni di dottorato passati a lavorarci. partiamo considerando un hamiltoniano H di un sistema quantistico. questo hamiltoniano avrà degli autovalori, se è stato fornito delle giuste condizioni al bordo. ogni buon fisico sa che tali autovalori sono le energie che può possedere il sistema quantistico quando viene osservato.

matematicamente, non c`è nessun motivo preciso per considerare le energie solo di un sistema osservato; in generale, l'energia contenuta da una funzione d'onda la posso definire tramite la dualità dello spazio di hilbert dove sto lavorando come



astraendo ancora di più, dato che sappiamo che il sistema si "muove" nella direzione dell'hamiltoniano, possiamo dire con un abuso di terminologia che i puristi mi perdoneranno, che la quantità di moto del sistema, che deve essere quindi un vettore dello spazio di hilbert, è dato dall'hamiltoniano applicato al sistema stesso.

non sto affermando che l'operatore quantistico della quantità di moto sia l'hamiltoniano! sto solo affermando la tautologia che la direzione e velocità del sistema dinamico definito dall'equazione di schödinger



possa essere identificata da H&psi(t), a meno di una moltiplicazione con uno scalare. la qual cosa, ripeto, è una tautologia. quello che mi interessa, in questo momento, è identificare il vettore H&psi(t).

per il teorema di rappresentazione di riesz possiamo identificare questo vettore nello spazio di hilbert, osservandone il prodotto scalare con gli altri vettori. chiamando dunque Q(&psi,&phi) la quantità di moto dello stato &psi nella direzione &phi si ottiene



Q è allora la nostra "applicazione della quantità di moto". il prossimo passo è quello di definire le proprietà essenziali di questa applicazione della quantità di moto Q che abbiamo appena definito. ogni applicazione avente tale proprietà definisce una forma sesquilineare per cui è possibile sviluppare una teoria unificata e coerente.

ma non oggi.

dirac & co

Informalmente la delta di Dirac viene presentata come una funzione nulla nei punti diversi dallo zero con integrale unitario.

Wikipedia

perché la delta di dirac non puó essere immaginata (al contrario di ció che affermano molti fisici) come una funzione il quale integrale é uno e che vale zero dappertutto e infinito nell'origine? a onore di wiki, va detto che specificano che é tale definizione é informale, e nel corpo dell'articolo ne danno una definizione corretta.

vorrei riportare la spiegazione del mio illustre professore. supponiamo che delta_0 sia veramente una funzione con le caratteristiche specificate precedentemente. moltiplichiamo questa funzione per 27 (non so perché a lezione abbia scelto questo numero, ma é cosí. a proposito: fra qualche mese io compio 27 anni). allora, dato che 27 per infinito fa di nuovo infinito, si ottiene che 27 per delta_0 é uguale a delta_0. peró si ha anche che l'integrale di 27 per delta_0 uguale 27 per integrale delta_0 uguale 27, a causa della ben nota linearitá dell'integrale. mettendo insieme queste due utili informazioni, si ottiene che 1=27. cosa che é evidentemente poco sensata, e che ha come conseguenza (fra le altre cose) che io sono la regina d'inghilterra.