Particelle perse nel nulla di uno spazio infinito

Su Linear Algebra and its Applications è stata appena pubblicata la mia ultima fatica.

Il messaggio principale dell'articolo è il seguente: l'equazione di diffusione su un grafo infinito non soddisfa necessariamente la conservazione di probabilità. Per essere più precisi: la conserva se e solo se tutti i nodi hanno grado finito.

La dimostrazione è abbastanza semplice, ma vorrei tentare di spiegare in maniera non tecnica qual'è la ragione di questo comportamento bizzarro.

Il problema è il seguente: immaginate di avere un grafo e una particella che si muova di moto browniano in prossimità di un nodo. Quando codesta particella arriva all'incrocio dei vari lati, che si incontrano nel nodo, non avrà una velocità ben definita, come accade per particelle che si muovono di moto browniano: la sua velocità cambia in continuazione in maniera discontinua.

Tale particella dunque, nel suo muoversi disordinato, proverà prima un lato, poi l'altro, e poi alla fine, una serie di fluttuazioni che indichino in continuazione un certo lato la porteranno abbastanza lontano dal nodo da non ricaderci più dentro.

Quello che succede se però il nodo è di grado infinito è che la particella non ha maniera di decidersi per un lato! Non appena una fluttuazione la porta su un lato, la fluttuazione "successiva" la porterà necessariamente su un altro, dato che sono infiniti, e così via fluttuando.

Una particella arrivata su un nodo di grado infinito non ne può più uscire. Al nodo si applica, in pratica, una condizione al bordo di Dirichlet.

E come vi è sicuramente noto, le equazioni di diffusione con condizioni di Dirichlet non conservano la probabilità!

MCCN IX

Giovedì ci siamo occupati di equazioni differenziali ritardate. Quest'ultime sono equazioni della forma



Il loro carattere distintivo è che la derivata ad un certo tempo dipende dallo stato ad un tempo passato. Questo è importante in alcune questioni di modellazione; nelle neuroscienze, ad esempio, può servire includere in un modello i ritardi nella trasmissione dell'attività dovuti al tragitto che i potenziali d'azione devono percorrere lungo l'assone, o dovuti all'integrazione sinaptica.

Le equazioni con ritardo sono uno degli esemplici più classici di equazioni che possono essere risolte con l'aiuto di spazi di dimensione infinita. Questo lo si può vedere scrivendo l'equazione di cui sopra in forma infinitesimale



Se n è un numero finito, allora t+(n-1)e-1 è minore di t, e dato che questo vale per ogni n finito, allora se ne deduce (overspill!) che è necessario conoscere i valori assunti dalla funzione in tutto un intervallo (t-1,t) che precede t, per poterne costruire i valori nell'intervallo (t,t+1).

Questo vuol dire che è necessario specificare una intera funzione come valore iniziale, e quindi lo spazio degli stati è uno spazio di funzioni!