MCCN XI

L'ultima volta abbiamo trattato di nuovo grafi. In particolare ci siamo occupati del Laplaciano di un grafo non diretto. Supponiamo di avere un grafo con n vertici: il Laplaciano di un grafo è allora la matrice \inline \Delta=(d_{ij}), di dimensione n x n, costruita come segue:

d_{ii} è il grado del nodo i,

d_{ij}=-1 se i e j sono connessi,

d_{ij}=0 se i e j non sono connessi.

La cosa interessante è che il Laplaciano di un grafo ha alcune proprietà in comune col Laplaciano su un aperto di \inline \mathbb R^d. Ad esempio, le soluzioni dell'equazione

\Delta v=0

sono tutte e solo le funzioni v che sono costanti sulle componenti connesse del grafo. Una direzione è facile da capire: se v è costante (diciamo di valore 1) su una componente connessa degl grafo, e 0 altrimenti, allora \inline \Delta v ha per ogni componente un contributo positivo pari al grado del nodo corrispondente e un contributo negativo per ogni nodo con cui è collegata: quindi tutto si semplifica dando 0. Divertente, no?

Un altro bel teorema per il Laplaciano di un grafo è il Teorema di Kirchhoff sul numero degli spanning trees. Mi chiedo se anche questo abbia un corrispettivo per il Laplaciano di un aperto.

Vector-valued diffusions

After a long break (we went to Hamburg for New Year's Day: it was cold and rainy but the Kunsthalle and the Hafenrundfahrt have been fantastic) I'm back on math.

Delio Mugnolo and me just uploaded on arXiv our last work on parabolic systems.

If you are analysing a diffusion equation on a graph, you usually define a measure space representing the network, and then define a scalar-valued diffusion on this network. Of course, you could take the symmetric way and choose to use a single interval, and to represent your diffusion equation as a 'diagonal', vector-valued diffusion. The graph structure is in both cases encoded in the non-diagonal coupling of the boundary conditions.

If you use this point of view, you maybe come up with the idea of use exactly the same approach on domains in order to obtain vector-valued diffusion equations with non-diagonal couplings in the boundary conditions.

This is exactly what Delio and me do in the paper: we study such systems, also because we are interested in understanding the connections of the these systems to gauge symmetries - if there are some.

PS: of course, you can also introduce coupling in the coefficients of the diffusion, and then it is no longer a 'diagonal' diffusion, but I only wanted to write a post, not a full article...

PPS: probably, in two or three week I also will upload on arXiv my first neuro-paper!

MCCN VI

L'ultima volta ci siamo occupati di derivare l'equazione di Fokker-Planck.

Più che spiegare la derivazione, che, come al solito, si trova qua, e forse più interessare spiegare cosa descrive.

Il punto di partenza è una particella singola che si muova sotto l'azione di un'equazione differenziale





Ovviamente, supponiamo che lo stato iniziale u(0) sia noto. Nell'equazione, s(t) è un segnale casuale che "disturba" il movimento della particella. Supponiamo adesso di avere un insieme di particelle identiche, tutte sottoposte alla stessa dinamica, e che NON interagiscono.

Chiamiando p(t,x) la distribuzione degli stati di queste particelle, possiamo supporre che p(t,x) sarà sottoposta ad una equazione dinamica che sia in qualche maniera derivabile dall'espressione di F e dalle statistiche di s.

Non è sembre possibile farlo, ma in alcuni casi si. Per esempio se s(t) è un rumore bianco e F=0, allora otteniamo un moto browniano, e la corrispondente equazione di Fokker-Planck è l'equazione di diffusione.

Se invece s(t) è un rumore bianco e F(u)=-Cu è una funzione lineare, allora otteniamo un processo di Ornstein–Uhlenbeck. L'equazione di Fokker-Planck è un'equazione di diffusione con un termine di primo grado.

Le cose diventano più complicate se s(t) non è un rumore bianco. Ma questi argomenti sono ben al di la di quanto possiamo trattare su un blog.

Coupled parabolic systems

The paper of Delio Mugnolo and mine "Qualitative properties of coupled parabolic systems of evolution equations" appeared some days ago in the journal Ann. Scuola Norm. Pisa.

The Laplace operator on a domain can be understood as the operator associated with the quadratic form defined by





In fact, it is possible to develop a theory for quadratic forms on Hilbert spaces, characterizing those forms having a "good" associated operator. We call this operator A.

It turns out that properties of the quadratic form are reflected from properties of the solution of the equation

du(t)/dt=Au(t).

Most notably, invariance of convex sets of the Hilbert space can be characterized in terms of properties of the quadratic form. To be more specific: if S is closed convex set, then there is an algebraic characterization in terms of the form of the fact that solutions that start in S also stay in S - this is known as Ouhabaz's criterion.

If the Hilbert space has a product structure and it is infinite dimensional (as C²=C x C, C³= C x C x C,... in the finite dimensional case), then it is possible to write the quadratic form as a kind of matrix of quadratic forms. More interesting: the properties of the solutions are obtained applying finite dimensional arguments to the properties of the infinite dimensional forms, and this is what we discuss in the paper.

Further readings: the preprint on arxiv, an introduction to the theory of forms, the home page of the book of Ouhabaz, my PhD thesis.

Un enigma

Questo post è un po' tecnico, quindi occhio!

Date due variabili casuali, la covarianza è una misura di come queste due variabili siano correlate. Se chiamiamo le vue variabili X e Y e se E denota il valore atteso, essa è definita come

Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]

Consideriamo ora lo spazio delle variabili casuali a quadrato sommabile, che altro non sarebbe che L²(X,P) dove (X,P) è il nostro spazio di probabilità. Allora le due variabili sono due vettori f e g nello spazio di Hilbert e l'espressione di cui sopra si riduce a



Facendosi un po' di conti si vede che Cov è una forma bilineare (e, se le nostre variabili casuali sono complesse, anche sesquilineare) continua, simmetrica e accretiva. Se ne deduce che esiste un operatore associato con essa che genera un semigruppo di contrazioni.

Domanda 1
Qual è l'operatore associato alla covarianza?

Se si vuole riformulare il problema in un'altra maniera, si osservi che Var(X)=Cov(X,X), cioè la varianza è la forma quadratica associata alla covarianza. La domanda seguente è equivalente alla precedente

Domanda 2
Qual è il gradiente della varianza?

Funzioni armoniche (I)

Mi sto avvicinando alla discussione della tesi, e ho deciso di riguardarmi un po' di cose che stanno pian piano scomparendo dalla memoria. Ne approfitto per risvegliare dalla sua morte apparente il mio blog, rendendo onore al suo nome.

Perchè l'operatore di Laplace è fondamentale?

Tutti sanno che per un campo vettoriale v vale il teorema della divergenza



Ora, immaginiamo che il campo vettoriale sia il gradiente di una funzione f sufficientemente regolare. Dato che vale la relazione (basta farsi i conti!)



allora usando il teorema della divergenza sul gradiente di f si ottiene che



dove la seconda uguaglianza altro non è che la definizione della derivata normale.

Questa relazione ha un sacco di consequenze divertenti. Ad esempio, supponiamo che f sia armonica, cioè che e supponiamo che il nostro dominio sia unapalla di raggio R. Allora la derivata normale su ogni sfera di raggio r < R può essere espressa come



per ogni r e con F funzione crescente. Se f è armonica, allora l'espressione, che è continua in r, si annulla, e quindi assume sempre il valore assunto in 0, che è f(0). (se non vi ricordate cos'è F, basta moltiplicarla per l'inverso di f(0)).

In pratica, quello che abbiamo appena derivato è il teorema del valor medio, che dice che se f è armonica allora f(0) è uguale al valore dell'integrale di f su ogni sfera.