Un enigma

Questo post è un po' tecnico, quindi occhio!

Date due variabili casuali, la covarianza è una misura di come queste due variabili siano correlate. Se chiamiamo le vue variabili X e Y e se E denota il valore atteso, essa è definita come

Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]

Consideriamo ora lo spazio delle variabili casuali a quadrato sommabile, che altro non sarebbe che L²(X,P) dove (X,P) è il nostro spazio di probabilità. Allora le due variabili sono due vettori f e g nello spazio di Hilbert e l'espressione di cui sopra si riduce a



Facendosi un po' di conti si vede che Cov è una forma bilineare (e, se le nostre variabili casuali sono complesse, anche sesquilineare) continua, simmetrica e accretiva. Se ne deduce che esiste un operatore associato con essa che genera un semigruppo di contrazioni.

Domanda 1
Qual è l'operatore associato alla covarianza?

Se si vuole riformulare il problema in un'altra maniera, si osservi che Var(X)=Cov(X,X), cioè la varianza è la forma quadratica associata alla covarianza. La domanda seguente è equivalente alla precedente

Domanda 2
Qual è il gradiente della varianza?