NSA: due strade diverse

Esistono sostanzialmente due approcci all'analisi non standard. Il primo, quello classico di Robinson è legato alla teoria dei modelli. Ridotto all'osso e oltre: si costruisce una "superstruttura" in cui esistono numeri naturali non standard, e si dimostra tramite ultrafiltri, che questa struttura è consistente logicamente.

Pur nel suo grande valore, sia intrinseco sia storico, questa versione della NSA è estremamente complicata, e richiede uno studio approfondito prima di capirci qualcosa.

L'alternativa è l'approccio assiomatico. Si introduce un nuovo predicato per gli oggetti di ZFC, "standard" e si pongono alcuni assiomi per operare con questo predicato. Se si ha fortuna (cioè se si usa una versione assiomatizzata da qualche matematico bravo) si disporrà anche di un algoritmo di traduzione dall'NSA all'analisi classica, che è una cosa utile. Questo è l'approccio scelto da Nelson.

Una variante è la teoria alpha di Benci e Di Nasso, in cui si introducono direttamente in maniera assiomatica i numeri non-standard.

Per un principiante, le teorie assiomatiche sono certamente meglio!

Letture consigliate:

[1] Benci, Di Nasso, "Alpha-theory: an elementary axiomatics for nonstandard analysis", Expositiones Mathematicae, 2003

[2] Davis, "Applied non standard analysis", Dover Publications, 2005

[3] Nelson, "Internal set theory: a new approach to nonstandard analysis", Bullettin of the American Mathematical Society, 1977

[4] Robinson, "Non-standard analysis", Princeton University Press, 1966

Canone inverso con scambio non standard

Algebricamente chiuso è il campo razionale
differisce solo un poco dal corpo dei reali.
Si completi il primo, infatti, topologicamente,
secondo la teoria del sommo Bourbaki.
Allargando, allargando, ora logicamente,
e aumentando solo un poco il corpo dei reali,
otteniamo, meraviglia!, il campo iperreale.

Letture suggerite

N. Bourbaki, Topologie générale
D. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid
A. Robinson, Nonstandard Analysis

NSA e teoria-alfa

Circa un anno fa, leggendo questo bellissimo post di Terence Tao mi ero interessato alla teoria dell'analisi non standard. Detto in soldoni, si tratta di creare una teoria robusta nella quale il calcolo inifinitesimale alla Leibniz viene realizzato senza introdurre il concetto di limite.

Per cui avevo incominciato a leggere questo libro, dove Robinson ne spiega la fondazione. Dopo due capitoli di attenta lettura sono stato sopraffatto da altri impegni e ho lasciato perdere.

Fino a quando, ieri mi sono imbattuto in questo articolo, nel cui abstract gli autori promettono di introdurre delle classi di equazioni stocastiche tramite l'analisi non standard. E dato che proprio in questi giorni io e il mio capo stiamo scervellandoci per capire come formulare in maniera rigorosa una bizzarra equazione stocastica che abbiamo per le mani, ci ho dato un'occhiata.

Quale sorpresa! Nelle prime due pagine viene spiegato tutto quello che c'è da sapere per l'utilizzo della teoria-alfa, un'utile semplificazione dell'analisi non standard che non richiede pagine e pagine di logica prima di capirci qualcosa...

PS: qui potete trovare un'esposizione più completa della teoria-alfa.