Esistono sostanzialmente due approcci all'analisi non standard. Il primo, quello classico di Robinson è legato alla teoria dei modelli. Ridotto all'osso e oltre: si costruisce una "superstruttura" in cui esistono numeri naturali non standard, e si dimostra tramite ultrafiltri, che questa struttura è consistente logicamente.
Pur nel suo grande valore, sia intrinseco sia storico, questa versione della NSA è estremamente complicata, e richiede uno studio approfondito prima di capirci qualcosa.
L'alternativa è l'approccio assiomatico. Si introduce un nuovo predicato per gli oggetti di ZFC, "standard" e si pongono alcuni assiomi per operare con questo predicato. Se si ha fortuna (cioè se si usa una versione assiomatizzata da qualche matematico bravo) si disporrà anche di un algoritmo di traduzione dall'NSA all'analisi classica, che è una cosa utile. Questo è l'approccio scelto da Nelson.
Una variante è la teoria alpha di Benci e Di Nasso, in cui si introducono direttamente in maniera assiomatica i numeri non-standard.
Per un principiante, le teorie assiomatiche sono certamente meglio!
Letture consigliate:
[1] Benci, Di Nasso, "Alpha-theory: an elementary axiomatics for nonstandard analysis", Expositiones Mathematicae, 2003
[2] Davis, "Applied non standard analysis", Dover Publications, 2005
[3] Nelson, "Internal set theory: a new approach to nonstandard analysis", Bullettin of the American Mathematical Society, 1977
[4] Robinson, "Non-standard analysis", Princeton University Press, 1966
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