Dialetti

L'ultima volta che siamo stati in Italia, io e Ulla abbiamo comprato una montagna di classici perche lei possa conoscere le basi della letteratura italiana. Come di solito avviene in questi casi, ho ricominciato a leggere vecchi classici.

Così mi è capitato di riprendere in mano I promessi sposi e di ricominciare a leggerlo.

Subito dopo aver introdotto il falso manoscritto secentesco, Manzoni ne commenta lo stile, in una sorta di "manifesto della lingua":

Ben è vero, dicevo tra me, scartabellando il manoscritto, ben è vero che quella grandine di concettini e di figure non continua così alla distesa per tutta l'opera. Il buon secentista ha voluto sul principio mettere in mostra la sua virtù; ma poi, nel corso della narrazione, e talvolta per lunghi tratti, lo stile cammina ben più naturale e più piano. Sì; ma com'è dozzinale! com'è sguaiato! com'è scorretto! Idiotismi lombardi a iosa, frasi della lingua adoperate a sproposito, grammatica arbitraria, periodi sgangherati. E poi, qualche eleganza spagnola seminata qua e là; e poi, ch'è peggio, ne' luoghi più terribili o più pietosi della storia, a ogni occasione d'eccitar maraviglia, o di far pensare, a tutti que' passi insomma che richiedono bensì un po' di rettorica, ma rettorica discreta, fine, di buon gusto, costui non manca mai di metterci di quella sua così fatta del proemio. E allora, accozzando, con un'abilità mirabile, le qualità più opposte, trova la maniera di riuscir rozzo insieme e affettato, nella stessa pagina, nello stesso periodo, nello stesso vocabolo. Ecco qui: declamazioni ampollose, composte a forza di solecismi pedestri, e da per tutto quella goffaggine ambiziosa, ch'è il proprio carattere degli scritti di quel secolo, in questo paese. In vero, non è cosa da presentare a lettori d'oggigiorno: son troppo ammaliziati, troppo disgustati di questo genere di stravaganze. Meno male, che il buon pensiero m'è venuto sul principio di questo sciagurato lavoro: e me ne lavo le mani.

Riuscirà Cota a dividere ciò che Manzoni ha unito?

Sfere dantesche

A quei pochi fortunati fra voi che hanno accesso al Mathematical Intelligencer, e che hanno una certa passione per l'arte e la letteratura, non posso far altro che consigliare di leggere The geometry of paradise, un bellissimo saggio di Mark Peterson sulla costruzione geometrica sottostante all'universo dantesco; in particolare dell'Empireo.

Peterson porta un sacco di argomenti molto convincenti per la tesi che Dante abbia consapevolmente utilizzato come modello S3, sarebbe a dire la superficie di una palla a quattro dimensioni. Puo' sembrare un po' sorprendente, date le conoscenze primitive che i medievali avevano della matematica, ma leggere il saggio convincera' abbastanza rapidamente della plausibilita' di tale interpretazione.

Dato che qui non siamo pero' su un blog di letteratura, ma su uno di matematica, cerchiamo di spiegare cos'e' S3. Come ho detto, essa e' la superficie di una palla quadridimensionale; algebricamente, se (x,y,z,t) sono le nostre coordinate, la palla e' determinata dall'equazione

x^2+y^2+z^2+t^2 \leq 1

cioe' fanno parte di tale palla tuttio i vettori che distano meno di 1 dall'origine. Per ottenere la sfera, si sostituisca il minore o uguale con uguale:

x^2+y^2+z^2+t^2 = 1

e' l'equazione algebrica che identifica S3.

Quali sono le caratteristiche di questa sfera?

1) Localmente sembra esattamente come R3; cioe' non e' possibile determinare da una misura locale se ci troviamo in R3 o in S3
2) La sfera non ha un bordo: non si puo' cadere dal bordo della terra, perche' la sua superficie e' S2! E non si puo' arrivare alla fine dell'empireo perche' e' S3!
3) Ovviamente, esattamente come la superficie della terra, il volume di S3 e' limitato. Sembra contraintuitivo, ma e' cosi'.

Insomma, se avete tempo, leggetevi l'articolo che e' estremamente interessante!

Appunti

Da un po' di tempo ho preso l'abitudine di prendere appunti su internet, quando leggo un articolo o un libro, invece che sui solito fogli volanti.

Qua i risultati.

Statistiche

Leggendo le opere di alcuni scienziati, si rimane impressionati dalla disarmante semplicità delle loro spiegazioni. Uno di questi è sicuramente Feller, di cui Introduction to the probability theory and its applications è sicuramente un'opera magistrale.

Se doveste aver tempo e doveste essere in possesso della terza edizione, apritelo al secondo capitolo, alla sezione 5, paragrafo (a) e leggetevi la spiegazione delle distinzioni fra le statistiche di Maxwell-Boltzmann, di Bose-Einstein e di Fermi-Dirac.

L'idea è la seguente: si devono suddividere K oggetti in N stati, ed è necessario specificare qual è la probabilità che le particelle vengano suddivise in una certa maniera.

Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
Ogni suddivisione è ugualmente probabile.

Distribuzione di Fermi-Dirac
Ogni suddivisione con al massimo 1 oggetto in ognuno degli N stati è ugualmente probabile.
Non sono ammesse suddivisioni con più di una particella per stato.

Distribuzione di Bose-Einstein
Le suddivisioni si possono distinguere solo per il numero di oggetti in ognuno degli stati.
Ognuna di queste classi di suddivisione è ugualmente probabile.

La differenza fra la Maxwell-Boltzmann è la Bose-Einstein è sottile ed è dovuta al fatto che le diverse classi contengono differenti quantità di suddivisioni, per cui suddivisioni corrispondenti a classi con molte possibili suddivisioni sono meno probabili che nella distribuzione di Maxwell-Boltzmann.

Se avete il libro, confrontate la spiegazione cristallina di Feller con le spiegazioni confuse e barocche di Wikipedia (qui, qui e qui), che non mettono in evidenza come il problema chiave sia essenzialmente di natura combinatoria e non abbia nulla a che vedere con il significato fisico delle distribuzioni.

Canone inverso con scambio non standard

Algebricamente chiuso è il campo razionale
differisce solo un poco dal corpo dei reali.
Si completi il primo, infatti, topologicamente,
secondo la teoria del sommo Bourbaki.
Allargando, allargando, ora logicamente,
e aumentando solo un poco il corpo dei reali,
otteniamo, meraviglia!, il campo iperreale.

Letture suggerite

N. Bourbaki, Topologie générale
D. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid
A. Robinson, Nonstandard Analysis

Coupled parabolic systems

The paper of Delio Mugnolo and mine "Qualitative properties of coupled parabolic systems of evolution equations" appeared some days ago in the journal Ann. Scuola Norm. Pisa.

The Laplace operator on a domain can be understood as the operator associated with the quadratic form defined by





In fact, it is possible to develop a theory for quadratic forms on Hilbert spaces, characterizing those forms having a "good" associated operator. We call this operator A.

It turns out that properties of the quadratic form are reflected from properties of the solution of the equation

du(t)/dt=Au(t).

Most notably, invariance of convex sets of the Hilbert space can be characterized in terms of properties of the quadratic form. To be more specific: if S is closed convex set, then there is an algebraic characterization in terms of the form of the fact that solutions that start in S also stay in S - this is known as Ouhabaz's criterion.

If the Hilbert space has a product structure and it is infinite dimensional (as C²=C x C, C³= C x C x C,... in the finite dimensional case), then it is possible to write the quadratic form as a kind of matrix of quadratic forms. More interesting: the properties of the solutions are obtained applying finite dimensional arguments to the properties of the infinite dimensional forms, and this is what we discuss in the paper.

Further readings: the preprint on arxiv, an introduction to the theory of forms, the home page of the book of Ouhabaz, my PhD thesis.

Punto sella

Se vi chiedete che fine abbia fatto: sono appena tornato dalla Scozia, pronto a partire per il Salento.

Prima di partire: un altro po' di teoria-alpha.

Ma questo domani, oggi si legge "Caos calmo", che a me, fino ad ora, è piaciuto moltissimo.