Sfere dantesche

A quei pochi fortunati fra voi che hanno accesso al Mathematical Intelligencer, e che hanno una certa passione per l'arte e la letteratura, non posso far altro che consigliare di leggere The geometry of paradise, un bellissimo saggio di Mark Peterson sulla costruzione geometrica sottostante all'universo dantesco; in particolare dell'Empireo.

Peterson porta un sacco di argomenti molto convincenti per la tesi che Dante abbia consapevolmente utilizzato come modello S3, sarebbe a dire la superficie di una palla a quattro dimensioni. Puo' sembrare un po' sorprendente, date le conoscenze primitive che i medievali avevano della matematica, ma leggere il saggio convincera' abbastanza rapidamente della plausibilita' di tale interpretazione.

Dato che qui non siamo pero' su un blog di letteratura, ma su uno di matematica, cerchiamo di spiegare cos'e' S3. Come ho detto, essa e' la superficie di una palla quadridimensionale; algebricamente, se (x,y,z,t) sono le nostre coordinate, la palla e' determinata dall'equazione

x^2+y^2+z^2+t^2 \leq 1

cioe' fanno parte di tale palla tuttio i vettori che distano meno di 1 dall'origine. Per ottenere la sfera, si sostituisca il minore o uguale con uguale:

x^2+y^2+z^2+t^2 = 1

e' l'equazione algebrica che identifica S3.

Quali sono le caratteristiche di questa sfera?

1) Localmente sembra esattamente come R3; cioe' non e' possibile determinare da una misura locale se ci troviamo in R3 o in S3
2) La sfera non ha un bordo: non si puo' cadere dal bordo della terra, perche' la sua superficie e' S2! E non si puo' arrivare alla fine dell'empireo perche' e' S3!
3) Ovviamente, esattamente come la superficie della terra, il volume di S3 e' limitato. Sembra contraintuitivo, ma e' cosi'.

Insomma, se avete tempo, leggetevi l'articolo che e' estremamente interessante!

I numeri reali non sono numerabili

Nella discussione su questo post di tomate, ci si chiedeva se ci fosse una dimostrazione topologica, non basata sull'argomento diagonale di Cantor, del fatto che i numeri reali sono sovrannumerabili.

Sicuramente ve n'è una, nota come prima dimostrazione di non contabilità di Cantor, che è dovuta allo stesso Cantor. Leggasi la dimostrazione su Wikipedia.

Una dimostrazione più rapida è basata sul teorema di Baire. Il teorema di Baire afferma che uno spazio metrico completo non può essere unione numerabile di insiemi mai densi.

Un insieme mai denso è un insieme la cui chiusura ha insieme complementare denso.

Torniamo alla dimostrazione del teorema "R è sovrannumeabile". Ovviamente R è l'unione dei suoi punti. Ognuno dei suoi punti è evidentemente un insieme mai denso. Dato che R è completo, dal teorema di Baire si deduce che non è numerabile.

Faccio notare che la facilità della dimostrazione di questo teorema rispetto alla dimostrazione originale di Cantor è dovuta al fatto che il teorema di Baire è equivalente all'assioma della scelta dipendente.

Canone inverso con scambio non standard

Algebricamente chiuso è il campo razionale
differisce solo un poco dal corpo dei reali.
Si completi il primo, infatti, topologicamente,
secondo la teoria del sommo Bourbaki.
Allargando, allargando, ora logicamente,
e aumentando solo un poco il corpo dei reali,
otteniamo, meraviglia!, il campo iperreale.

Letture suggerite

N. Bourbaki, Topologie générale
D. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid
A. Robinson, Nonstandard Analysis

Teoremi di Baire (III)

Signore e signori, oggi un'applicazione spettacolare del teorema di Baire-Hausdorff.

È noto a tutti che l'insieme dei numeri razionali Q, dotato della distanza d(x,y)=|x-y| non è uno spazio metrico completo. Per chiarire questo problema si porta di solito il seguente

1. Esempio

La radice di 2 è reale e non razionale. La radice di 2 può essere approssimata tramite numeri razionali. Quindi lo spazio metrico dei razionali non è completo.

Questo esempio in forma sillogistica è corretto, tuttavia ha un problema; il secondo termine non è così semplice da dimostrare; la maniera più semplice mi pare quella di definire la funzione radice, dimostrare che è continua et cetera.

Tuttavia questo approccio ha lo svantaggio che bisogna utilizzare uno strumento raffinato (l'analisi) per dimostrare una proposizione di una disciplina più primitiva (la topologia).

Guardate invece cosa si ottiene col teorema di Baire-Hausdorff.

2. Teorema

Lo spazio metrico (Q, d) non è completo.

Dimostrazione

Si noti che la topologia indotta dalla metrica d è esattamente ciò che si aspetta; un insieme è aperto se ogni suo punto contiene una palla di numeri razionali.

Osserviamo che un insieme ridotto ad un punto singolo q è mai denso; infatti ogni palla aperta di Q contiene infiniti elementi.

Questo si vede così: sia q in Q e r un numero reale e si consideri la palla di raggio r e centro q. Si scelga adesso un numero razionale s compreso fra 0 e r; è possibile farlo dato che ogni numero reale ha uno sviluppo decimale. Quindi q-s, q e q+s sono nella palla; ergo la palla non può essere contenuta nell'insieme costituito dal solo elemento q.

Ricordiamo che Q è numerabile; questo perchè Q è l'insieme di tutte le frazioni e quindi è isomorfo a un sottoinsieme di N x N.

Dunque Q è uno spazio metrico ed è l'unione numerabile di insiemi mai densi. Quindi non può essere completo.

Si ricordi ora l'esempio; la facevamo vedere che esistono alcune successioni di Cauchy di razionali (quelle convergenti a radice di 2) che non convergono ad un numero razionale. Facevamo quindi vedere che Q è localmente non completo intorno a radice di 2.

L'attento lettore avrà notato che la dimostrazione precedente può essere generalizzata per dimostrare che Q è mai completo!

3. Definizione

Unp spazio metrico (X,d) è mai completo se per nessun numero reale r strettamente positivo e nessun elemento x lo spazio metrico (B(r,x),d) è completo.

Qua B(r,x) è la palla di centro x e raggio r e la distanza d è la stessa distanza dello spazio metrico ambiente.

4. Teorema

Lo spazio metrico (B(r,x),d) è mai completo.

Dimostrazione

Come nella precedente dimostrazione, ogni insieme ridotto ad un solo punto è mai denso. B(r,x) è numerabile in quanto sottoinsieme di un insieme numerabile. Quindi B(r,x) non è completo.

Teoremi di Baire (II)

Passo alla dimostrazione del teorema enunciato qui.

Quello che dobbiamo dimostrare è che uno spazio metrico completo non può essere espresso come unione numerabile di insiemi chiusi mai densi. Prima di cominciare la dimostrazione, chiediamoci cosa vuol dire. Un esempio facile si ottiene scegliendo il piano come spazio metrico completo; come distanza si scelga la distanza euclidea. Cos'è un insieme mai denso (vedi post precedente!) nel piano? Un tale insieme non può contenere una palla; intuitivamente, gli insiemi mai densi del piano sono varietà monodimensionali; ce ne ovviamente qualcuno in più, ma non molti. Quindi il teorema afferma che il piano non può essere decomposto, ad esempio, in un unione numerabile di segmenti; sembra banale, ma si pensi che non è necessario che i segmenti siano paralleli. Il teorema di Baire-Hausdorff assicura che non importa come si orientano i segmenti: non si riuscirà a ricoprire il piano con una quantità numerabile di essi.


Teorema di Baire-Haudorff

Uno spazio metrico completo non vuoto è di seconda categoria.

Dimostrazione

Dobbiamo dimostrare che non esiste una successione di insiemi chiusi e mai densi che ricopramo lo sapzio topologico completo X.

Come in tutte le dimostrazioni di inesistenza, l'unica possibilità risiede in una dimostrazione per assurdo (io e wiki).

Consideriamo allora una successione di insiemi chiusi mai densi M_n e assumiamo che la loro unione sia il nostro spazio topologico X.

La prima osservazione è che il complemento di M_1, che denotiamo C(M_1), è aperto e che quindi contiene una palla chiusa B_1 di centro x_1 e raggio r_1. Dato che M_1 è mai denso, il suo complemento è denso in X e quindi x_1 può essere scelto arbitrariamente vicino ad ogni punto di X. Questo sarà importante nel secondo passo! Il raggio lo scegliamo più piccolo di 0.5.

Come secondo passo notiamo che anche il complemento di M_2 è aperto e denso e quindi contiene una palla chiusa B_2, che per densità può essere scelta come avente centro x_2 all'interno di B_1. Il suo raggio lo scegliamo pari a (r_1)^2. Si noti che dato che r_1<0.5, tale sfera sarà contenuta nella precedente.

Ripetiamo quindi lo stesso ragionamento per ogni n e otteniamo una serie di palle, contenute l'una nell'altra. Per la disuguaglianza triangolare per la distanza di due centri x_p, x_q (per semplicità scegliamo p < q) vale



Dato che la serie converge, la distanza diventa piccola a piacere se p va a infinito, quindi i centri formano una successione di Cauchy.

Ora usiamo la completezza dello spazio e otteniamo che la successione dei centri converge verso un limite x.

Dato che ogni palla B_n è contenuta nella precedente B_{n-1}, se ne deduce che il limite x è in tutte le palle. Per vedere che vale questa affermazione si usi la disuguaglianza triangolare per osservare che



Dato che epsilon può essere scelto arbitrariamente piccolo mandando n a infinito, dato che le palle sono chiuse, e data l'arbitrarietà di m, se ne deduce che x è contenuto in ogni palla.

Adesso concludiamo: le palle erano contenute nei complementi C(M_n), quindi il limite x è contenuto in tutti i complementi C(M_n), in quanto elemento di ogni palla. Dunque non è contenuto in nessun M_n. Quindi abbiamo trovato un elemento di X che non è contenuto in nessun M_n.

Dato che però avevamo assunto che X è un unione degli M_n, abbiamo un assurdo!


Wow, finito... la dimostrazione è adatta da quella di Yosida in "Functional Analysis". A dire il vero non so come sia la dimostrazione originale di Baire. Mi riprometto di cercarlo, prima o poi.

Teoremi di Baire (I)

Sto ristudiando un po' di analisi funzionale per rinfrescarmi la memoria. Una delle cose fantastiche sono i teoremi di Baire, che sono veramente entusiasmanti.
Come al solito, consiglio di dare almeno uno sguardo alla biografia di Baire, la cui vita sembra un romanzo di Flaubert.

Per prima cosa, ci servono alcuni concetti. Quello che ci serve è esprimere la piccolezza relativa di un insieme in una maniera puramente topologica: cioè non vogliamo usare ne` una misura, ne`una dimensione algebrica, ma solo il concetto di insieme aperto.

Definizione 1

Sia X uno spazio topologico. Un sottoinsieme M di X è mai denso se non contiene alcun aperto non vuoto.

Un insieme di questo genere è piccolo nel senso che la sua chiusura non contiene alcuna palla di raggio finito!

Il secondo concetto che ci serve è una lieve estensione del precedente.

Definizione 2

Un sottoinsieme M di X è di prima categoria se è l'unione numerabile di insiemi mai densi. M è di seconda categoria se non è di prima categoria.

Si noti che ogni spazio topologico è sottoinsieme di se stesso. Così si può parlare di uno spazio topologico di prima o seconda categoria. Ora possiamo formulare il teorema di Baire-Hausdorff.

Teorema di Baire-Haudorff

Uno spazio metrico completo non vuoto è di seconda categoria.

La dimostrazione sarà in un post successivo. Faccio solo notare che ho già parlato di spazi metrici qui. Ricordo che uno spazio metrico è completo se esiste il limite di ogni successione che sia di Cauchy rispetto alla metrica.

Spazi metrici

Mi sto ripassando un po' di topologia in questo periodo, e quindi ho pensato di scrivere un post sull'oggetto più facile da "vedere" nella topologia: lo spazio metrico.

Quello che vogliamo fare in uno spazio metrico è misurare distanze fra elementi di un insieme X: per fare questo utilizziamo una funzione a valori reali positivi, la distanza. Questa distanza associa ad ogni due elementi di X un numero reale maggiore o uguale a 0. In formule



Ovviamente, non tutte le funzioni di questo genere sono accettabili.
Richiediamo, infatti, qualche proprietà ulteriore. In primis, vogliamo che la distanza fra due elementi sia sempre maggiore di 0, se gli elementi sono distinti. In formule,



Questa richiesta (detta positiva definitezza) non è arbitraria come sembra; se infatti ci fossero elementi che hanno fra loro distanza 0, allora essi non possono essere distinti tramite questa funzione; essi rappresentano lo stesso punto dello spazio metrico che si ottiene identificando fra loro tutti i punti che hanno distanza 0.
La seconda richiesta è una richiesta di simmetria: la distanza percorsa da x verso y deve essere la stessa di quella da y verso x. In formule



In ultimo, richiediamo che il valore d(x,y) rappresenti la distanza minima fra x e y. Cioè che non esistano scorciatoie ottenute passando per un punto z. In altre parole,



Questa proprietà si chiama disuguaglianza triangolare.

Una funzione che soddisfi tutte le quattro richieste di cui sopra è detta una distanza; la coppia (X,d) è detta uno spazio metrico.
Già con questi pochissimi ingredienti, si può ottenere un divertente risultato.

Lemma

Sia d una metrica su X e f una funzione continua sui reali positivi cresecente, invertibile e concava, cioè tale che



Allora la composizione è una metrica su X.

Dimostrazione
Dato che f è invertibile e monotona crescente, vale f(0)=0 e f(x) > 0 per ogni x > 0. Quindi f(d(x,y)) = 0 se e solo se d(x,y)=0 se e solo se x=y. L'uguaglianza f(d(x,y))=f(d(y,x)) vale perchè d(x,y)=d(y,x).
Per mostrare che vale la disuguaglianza triangolare utilizziamo prima la monotonia e otteniamo



Quindi, grazie alla concavità



Q.e.d.

componente connessa (II)

al contrario di ciò che io e d.m. facciamo di solito, ieri mi è capitato di dover utilizzare un risultato di teoria dei grafi per dimostrare una proposizione di analisi funzionale.


Proposizione

Sia G un grafo. Allora esistono



sottografi disgiunti e disconnessi di G, tale che ciascuno di essi è connesso.
Tale famiglia è univocamente determinata.

Dimostrazione

Si consideri la relazione R sull'insieme dei nodi di G definita da aRb se e solo se esiste un cammino (finito) da a a b.
R è una relazione di equivalenza, infatti
1) aRa, grazie al cammino triviale (a,a).
2) aRb implica bRa. Si prenda il cammino di lunghezza n



Il cammino inverso



ha lunghezza n e congiunge b ad a.
3) Se aRb e bRc allora, aRc. Infatti, siano



due cammini di lunghezza rispettivamente n e m, congiungenti il nodo a al nodo b e il nodo b al nodo c. Allora il cammino



ha lunghezza n+m e congiunge il nodo a al nodo c.

Si denoti N l'insieme dei nodi e si consideri l'insieme quoziente N/R. Allora gli elementi di N/R sono le componenti connesse del grafo. L'unicità è conseguenza dell'unicità dell'insieme quoziente, q.e.d.

grafi connessi e numerabili

ho scoperto un fenomeno veramente sorprendente. ricordo che un grafo è localmente numerabile se l'insieme di lati che connettono due nodi è numerabile per ogni coppia di nodi. ricordo anche che un grafo è connesso se fra ogni due nodi esiste un cammino di lunghezza finita.

Teorema
Sia G un grafo. Se G è localmente numerabile e connesso, allora G è numerabile.

Dimostrazione
Si fissi un nodo arbitrario v e si definisca l'insieme dei nodi distanti n da v.

A causa della locale numerabilità, stesso è numerabile, e dato che G è connesso, allora



è un insieme numerabile in quanto unione numerabile di insiemi numerabili.

Dato che G è localmente numerabile, allora fra ogni due lati ci sono al massimo un insieme numerabile di lati. Quindi G ha al massimo NxNxN lati, e quindi G è numerabile, q.e.d..

domanda di oggi:

Si può usare un argomento simile per dedurre la numerabilità dall'irridicubilità?

secondo me, si.

ps: il concetto di connessione per cammini e di connessione topologica sono equivalenti per un grafo!

fantastico!

there are more things in heaven and earth, horatio,
than are dreamt of in your philosophy.

hamlet

a proposito di basi e successioni, questa mi mancava. nello scritto di analisi 1 che abbiamo corretto sabato si è verificato più volte l'errore speculare a quello da me preferito.

bisognava stabilire i punti di accumulazione dell'insieme {1/n - 1/m : n\in N}. una marea di discenti hanno avuto la geniale idea di considerala come successione, senza accorgersi che aveva due indici, producendo gli errori più bizzarri.

in particolare, quasi nessuno si è accorto che, oltre a 0,+1, e -1, anche tutti i punti del tip 1/m sono di accumulazione. questo perchè, non avendo trattato la convergenza tramite filtri non potevano sapere cosa sono i punti di accumulazione per una succesione con due indici. come conseguenza, il loro considerare uguali insiemi e successioni li ha portati ad errare (che è umano, ma quando leggi lo stesso errore per la centesima volta ti sembra diabolico).

von wegen notation.

successioni convergenti

das ist absurd!

un uomo alla stazione di ulma

sabato mi trovavo in quel di blaubeuren per seguire un seminario; quando, all'improvviso, durante la relazione di una ragazza peraltro brava, si materializza quanto io piú temo e abborro: un'unutile dimostrazione per assurdo. abbiamo discusso un po', e alla fine ci siamo pacificamente accordati sull'eliminazione dell'inutile assunzione.

il passo falso in questione riguardava un argomento contenente una divertente caratterizzazione delle successioni convergenti:

Teorema

Una successione ha L come limite se, e solo se, ogni sua sottosuccessione possiede una sottosuccessione che converge a L.

osservato che una direzione dell'equivalenza é banale, andando a casa mi sono chiesto come si dimostra l'altra direzione, e, mentre aspettavo il treno, ho prodotto il primo tentativo.

Dimostrazione 1 (per assurdo)

Si supponga che (x_n) non converga verso L, cioé che ci sia un ulteriore punto di accumulazione della successione, che chiamo L', diverso da L, eventualmente piú o meno infinito. Allora esiste una sottosuccessione (x_p(n))che converge verso L'. Considero adesso una sottosuccessione (x_q(p(n))) di (x_p(n)) che abbia come limite L. Dato che (x_p(n)) converge verso L', allora anche (x_q(p(n))), ma questo é assurdo, qed.

mi sono immediatamente vergognato di aver prodotto una tale dimostrazione per assurdo, dopo aver polemizzato durante il seminario, e quindi mi sono rimesso a leggere racconti notturni di hoffmann, ma con l'idea di espiare le mie colpe appena arrivato a casa, con l'utilizzo dell'ultimo ritrovato tecnologico per matematici: un pezzo di carta.

Dimostrazione 1 (astratta)

Si chiami A l'insieme dei punti di accumulazione di (x_n). Bisogna dimostrare che A={L}. si scriva A come l'unione U degli insiemi dei punti di accumulazione di (x_p(n)), al variare di p successioni strettamente crescenti di numeri naturali. É evidente che L é in U. Sia L' un elemento di U. Allora esiste p tali che (x_p(n)) converge verso L'. Si consideri una sottosuccessione (x_q(p(n))) di (x_p(n)) convergente verso L, che esiste per ipotesi. Per l'unicitá del limite, L=L', qed.

non appena ho finito di scrivere questa dimostrazione bourbakistika e barocca ero poco soddisfatto, per la sua intutile complessitá. dopo pochi secondi, fortunatamente, mi sono accorto della dimostrazione "vera".

Dimostrazione 1 (vera)

Si chiami A l'insieme dei punti di accumulazione di (x_n). Sia L' in A. Si consideri (x_p(n)))convergente verso L'. Dato (x_p(n)) ha per ipotesi una sottosuccessione convergente verso L, per l'unicitá del limite si ha che L=L', qed.

oggi arrivo all'universitá per scrivere questo giuoco sul blog, e trovo il mio compagno di stanza, r.n.. gli racconto questo divertissement, e lui, subito: "allora certo puoi rispondere ad una mia domanda! vale la caratterizzazione in spazi di hausdorff?"

supponiamo che non valga...

PS: comunque si, si dimostra (senza assurdi) che vale in ogni spazio di hausdorff.

numeri primi (II)

végre nem butulok tovább

paul erdős

stavo per scrivere un post per commentare un post di un altro blogger, molto piú bravo di me (von wegen: autoreferenzialitá della blogosfera), quando sono stato vittima di un blitzkrieg del mio compagno di stanza, il mai troppo lodato r. n. che mi ha presentato una divertente dimostrazione dell'inifinitá dei numeri primi.

Teorema

Sia P={p in N, tale che p é primo}. Allora vale #(P)=infinito.

Dimostrazione

L'idea é quella di introdurre un'opportuna base topologica B sull'insieme degli interi Z. Sia per a intero e n naturale strettamente maggiore di 0 B(a,n):={a+kn: k intero} la progressione aritmetica di origine a e ragione n. Si noti che B:={B(a,n): a in Z, n in N*} definisce una base topologica, dato che l'intersezione di due progressioni aritmetiche é essa stessa una progressione aritmetica. Sia T la topologia generata da B, cioé l'insieme di tutte le possibili unioni di elementi di B. Essa ha le tre seguenti proprietá:
1) Dato che ogni progressione aritmetica é infinita, allora se O é un aperto di T, allora O é vuoto o ha inifiniti elementi.
2) Ogni elemento B(a,n) della base di O é anche chiuso. Infatti si ha B(a,n)=(B(a+1,n) U B(a+2,n) U B(a+n-1,n))^C, dove ^C indica l'operazione di complementazione. B(a,n) é quindi chiuso in quanto complemento di un'unione di insieme aperti.
3) Si consideri l'insieme A, unione di tutti i B(0,p), dove p é primo. Allora vale: A aperto in quanto unione di aperti. Inoltre A = Z\{-1,1}, dato che 1,-1 sono gli unici numeri senza fattori primi.
Supponiamo adesso che ci siano solo un numero finito di primi. Allora A sarebbe un insieme chiuso in quanto unione finita di chiusi. Il suo complemente A^C é quindi aperto e quindi o é vuoto, o possiede infiniti elementi. Avendo precedentemente dimostrato che A^C={-1,1}, otteniamo un assurdo.

una nota culturale

und sie bewegt sich doch - ich habe fertig

galileo galilei e giovani trapattoni

notavo che la cultura ha una topologia simile a quella di un toro: gli estremi si toccano. una spiegazione implicita di questo fenomeno potete trovarla, spiegata da qualcuno che scrive molto meglio di me, in questo post di leonardo. la bild zeitung ne è l'interprete più verace, di questa topologia. l'idea geniale è di riunire in una sola campagna pubblicitaria, sotto l'ormai famoso slogan "jede wahrheit braucht einen mutigen, der sie ausspricht" giovanni trapattoni e galileo galilei. semplicemente geniale.