Teoremi di Baire (III)

Signore e signori, oggi un'applicazione spettacolare del teorema di Baire-Hausdorff.

È noto a tutti che l'insieme dei numeri razionali Q, dotato della distanza d(x,y)=|x-y| non è uno spazio metrico completo. Per chiarire questo problema si porta di solito il seguente

1. Esempio

La radice di 2 è reale e non razionale. La radice di 2 può essere approssimata tramite numeri razionali. Quindi lo spazio metrico dei razionali non è completo.

Questo esempio in forma sillogistica è corretto, tuttavia ha un problema; il secondo termine non è così semplice da dimostrare; la maniera più semplice mi pare quella di definire la funzione radice, dimostrare che è continua et cetera.

Tuttavia questo approccio ha lo svantaggio che bisogna utilizzare uno strumento raffinato (l'analisi) per dimostrare una proposizione di una disciplina più primitiva (la topologia).

Guardate invece cosa si ottiene col teorema di Baire-Hausdorff.

2. Teorema

Lo spazio metrico (Q, d) non è completo.

Dimostrazione

Si noti che la topologia indotta dalla metrica d è esattamente ciò che si aspetta; un insieme è aperto se ogni suo punto contiene una palla di numeri razionali.

Osserviamo che un insieme ridotto ad un punto singolo q è mai denso; infatti ogni palla aperta di Q contiene infiniti elementi.

Questo si vede così: sia q in Q e r un numero reale e si consideri la palla di raggio r e centro q. Si scelga adesso un numero razionale s compreso fra 0 e r; è possibile farlo dato che ogni numero reale ha uno sviluppo decimale. Quindi q-s, q e q+s sono nella palla; ergo la palla non può essere contenuta nell'insieme costituito dal solo elemento q.

Ricordiamo che Q è numerabile; questo perchè Q è l'insieme di tutte le frazioni e quindi è isomorfo a un sottoinsieme di N x N.

Dunque Q è uno spazio metrico ed è l'unione numerabile di insiemi mai densi. Quindi non può essere completo.

Si ricordi ora l'esempio; la facevamo vedere che esistono alcune successioni di Cauchy di razionali (quelle convergenti a radice di 2) che non convergono ad un numero razionale. Facevamo quindi vedere che Q è localmente non completo intorno a radice di 2.

L'attento lettore avrà notato che la dimostrazione precedente può essere generalizzata per dimostrare che Q è mai completo!

3. Definizione

Unp spazio metrico (X,d) è mai completo se per nessun numero reale r strettamente positivo e nessun elemento x lo spazio metrico (B(r,x),d) è completo.

Qua B(r,x) è la palla di centro x e raggio r e la distanza d è la stessa distanza dello spazio metrico ambiente.

4. Teorema

Lo spazio metrico (B(r,x),d) è mai completo.

Dimostrazione

Come nella precedente dimostrazione, ogni insieme ridotto ad un solo punto è mai denso. B(r,x) è numerabile in quanto sottoinsieme di un insieme numerabile. Quindi B(r,x) non è completo.