Successioni di Cauchy

Gli spazi metrici hanno un grande vantaggio. In un tale spazio è infatti possibile definire una successione di Cauchy.

Una successione (x_n) di elementi in uno spazio metrico è detta di Cauchy se per ogni quantità qcomunque piccola è possibile trovare un N tale che d(x_n, x_m) <> N.

Detto così, è un po' triste e freddo; per apprezzare l'utilità di una tale proprietà il primo passo è ricordare un ottimo teorema di analisi I.

Teorema

Sia (x_n) una successione di numeri reali. Allora (x_n) converge se e solo se è di Cauchy.

Dimostrazione

Incominciamo ricordando che la distanza di due numeri reali x,y è definita tramite d(x,y):=|x-y|. Dimostriamo prima l'implicazione più facile.

Supponiamo che la successione converga verso un limite x e fissiamo un q arbitrario. Dato che la successione converge, esiste un N tale che |x_n - x| < 0.5 q per ogni n > N.
Fissiamo adesso n,m arbitrari maggiori di N. Per la disuguaglianza triangolare vale

|x_n - x_m| =< |x_n - x| +| x_m-x| < q

Questo è ciò che volevamo dimostrare.

Per vedere che vale anche l'implicazione opposta, osserviamo prima che ogni successione limitata in R ha una sottosuccessione convergente.

Per vedere ciò si fissi R positivo tale che -R < x_n < R. Scomponendo (-R,R)=(_R,0) U 0 U (0,R) si osservi che la successione ha infiniti termini in uno degli intervalli. Se x_n=0 per infiniti n abbiamo già la nostra sottosuccessione convergente. Altrimenti scegliamo fra i due restanti intervalli uno che contenga infiniti termini e scegliamo il termin x_n con indice più basso all'interno dell'intervallo. Iterando il procedimento otteniamo una successione di intervalli incapsulati (a_n,b_n) e una sottosuccesione di x_n tale che x_n_k è in (a_k,b_k). Per il teorema dei carabinieri x_n_k converge.

Osserviamo anche che una successione di Cauchy è limitata: per vedere ciò si scelga N tale che |x_n - x_m| < 1 per ogni n,m > N. Allora la successione è compresa tra il minimo dei primi N elementi - 1 e il massimo dei primi N elementi +1.

D'altra parte ogni due sottosuccessioni convergenti hanno lo stesso limite a causa della proprietà di Cauchy.

Concludiamo: la successione di Cauchy è limitata. Quindi ogni sottosuccessione è limitata. Quindi ogni sottosuccessione ha una sottosottosuccessione convergente. Tali sottosottosuccessioni convergono sempre a x.

Si ricordi questo post. La proprietà precedente vuol dire che la nostra succesione di Cauchy converge a x!


Nel secondo passo, che rimando ad un post successivo, osserveremo come la proprietà di Cauchy suggerisca una maniera algoritmica di verificare la convergenza di una successione, a differenza della definizione di limite.

Ps: per qualche motivo, blogger non mi accetta più i link di texify.com... qualcuno ne sa qualcosa?