encounters

Oggi e domani sono a questa conferenza.

Ad aprire la conferenza è Joachim von Below, un professore tedesco emigrato in Francia - che è anche uno dei controrelatori della mia tesi.

Parlerà del problema di isospettralità e isomorfia dei grafi. Cos'è questa misteriosa branca? Consideriamo un grafo, cioè un'unione di intervalli incollati fra loro nei punti terminali. In questo post non ci interessano le lunghezze degli intervalli, che consideriamo essere sempre unitaria, nè i nomi che abbiamo assegnato ai vari nodi e intervalli, ma solo le relazioni di vicinanza fra nodi e lati.

Mi spiego con un esempio: questo grafo e quest'altro grafo hanno le stesse relazioni di vicinanza. Il nodo blu, ad esempio, è collegato in tutti e due i grafi al nodo rosso, al nodo verde e al nodo beige. Lo stesso dicasi per gli altri nodi.

Questo vuol dire che i due grafi hanno le stesse relazioni di vicinanza, cioè, per dirla in maniera più roboante, essi sono isomorfi.

Supponiamo adesso che all'interno degli intervalli si muovano degli elettroni, i quali possono passare da un intervallo all'altro passando attraverso i nodi, con l'ipotesi che si distribuiscano uniformemente in tutti gli intervalli uscenti da un nodo e che nessun elettrone vada perso. Quello che stiamo considerando, allora, è un grafo quantistico, governato da un certo operatore di Hamilton.

Questo Hamiltoniano avrà un certo spettro. È abbastanza facile dimostrare che se due grafi sono isomorfi, allora i rispettivi Hamiltoniani hanno lo stesso spettro.

Si potrebbe allora pensare che valga il contrario: se i rispettivi Hamiltoniani hanno lo stesso spettro, allora i grafi sono isomorfi. Nulla di più falso!

Di questo parlerà Joachim von Below oggi.

Ps: un altro gruppo, oltre ai francesi che lavorano con von Below, che lavora al problema è in Israele. Li stanno sviluppando un interessante approccio sistematico al problema, vedi qui.