Coupled parabolic systems

The paper of Delio Mugnolo and mine "Qualitative properties of coupled parabolic systems of evolution equations" appeared some days ago in the journal Ann. Scuola Norm. Pisa.

The Laplace operator on a domain can be understood as the operator associated with the quadratic form defined by





In fact, it is possible to develop a theory for quadratic forms on Hilbert spaces, characterizing those forms having a "good" associated operator. We call this operator A.

It turns out that properties of the quadratic form are reflected from properties of the solution of the equation

du(t)/dt=Au(t).

Most notably, invariance of convex sets of the Hilbert space can be characterized in terms of properties of the quadratic form. To be more specific: if S is closed convex set, then there is an algebraic characterization in terms of the form of the fact that solutions that start in S also stay in S - this is known as Ouhabaz's criterion.

If the Hilbert space has a product structure and it is infinite dimensional (as C²=C x C, C³= C x C x C,... in the finite dimensional case), then it is possible to write the quadratic form as a kind of matrix of quadratic forms. More interesting: the properties of the solutions are obtained applying finite dimensional arguments to the properties of the infinite dimensional forms, and this is what we discuss in the paper.

Further readings: the preprint on arxiv, an introduction to the theory of forms, the home page of the book of Ouhabaz, my PhD thesis.

Vorläufige Bescheinigung

Hiermit wird bestätigt, dass Herr Dipl.-Math. Stefano Cardanobile das Promotionsverfahren zum Dr. rer. nat. erfolgreich abgeschlossen hat.

Prof. Dr. F. Schulz

Avim n'ald dottò, uagnun!

CHIUSO PER FERIE

Prima di andarmene in vacanza fino al 20 aprile vi lascio un articolo da leggere del da me tanto vituperato Pietro Greco sulle disuguaglianze nell'accesso al diritto alla salute. Se vi interessa, l'articolo è una recensione di questo libro.

Come al solito, il livello d'istruzione conta eccome!

Ps: ieri ho parlato con il mio controrelatore esterno, che era soddisfatto della mia tesi... me ne vado in vacanza con la coscienza pulita..

encounters

Oggi e domani sono a questa conferenza.

Ad aprire la conferenza è Joachim von Below, un professore tedesco emigrato in Francia - che è anche uno dei controrelatori della mia tesi.

Parlerà del problema di isospettralità e isomorfia dei grafi. Cos'è questa misteriosa branca? Consideriamo un grafo, cioè un'unione di intervalli incollati fra loro nei punti terminali. In questo post non ci interessano le lunghezze degli intervalli, che consideriamo essere sempre unitaria, nè i nomi che abbiamo assegnato ai vari nodi e intervalli, ma solo le relazioni di vicinanza fra nodi e lati.

Mi spiego con un esempio: questo grafo e quest'altro grafo hanno le stesse relazioni di vicinanza. Il nodo blu, ad esempio, è collegato in tutti e due i grafi al nodo rosso, al nodo verde e al nodo beige. Lo stesso dicasi per gli altri nodi.

Questo vuol dire che i due grafi hanno le stesse relazioni di vicinanza, cioè, per dirla in maniera più roboante, essi sono isomorfi.

Supponiamo adesso che all'interno degli intervalli si muovano degli elettroni, i quali possono passare da un intervallo all'altro passando attraverso i nodi, con l'ipotesi che si distribuiscano uniformemente in tutti gli intervalli uscenti da un nodo e che nessun elettrone vada perso. Quello che stiamo considerando, allora, è un grafo quantistico, governato da un certo operatore di Hamilton.

Questo Hamiltoniano avrà un certo spettro. È abbastanza facile dimostrare che se due grafi sono isomorfi, allora i rispettivi Hamiltoniani hanno lo stesso spettro.

Si potrebbe allora pensare che valga il contrario: se i rispettivi Hamiltoniani hanno lo stesso spettro, allora i grafi sono isomorfi. Nulla di più falso!

Di questo parlerà Joachim von Below oggi.

Ps: un altro gruppo, oltre ai francesi che lavorano con von Below, che lavora al problema è in Israele. Li stanno sviluppando un interessante approccio sistematico al problema, vedi qui.

wildnis

bel film, l'altroieri.

mi ha fatto tornare in mente un'osservazione banale - che non c'entra niente col film che è un meraviglioso inno alla libertà.

osservo: le conoscenze dell'umanità si accumulano, ma si perdono anche.

mi chiedo: cosa ci siamo persi per strada?

ps: e non venitevene col fatto che tutte le conoscenze sono scritte da qualche parte e guardatevi il film.

pps: fra un po' esco di casa e vado a consegnare la tesi.

Simmetrie di gauge (I)

Nel portare a termine la scrittura della mia tesi, mi par finalmente di aver capito come formulare il concetto di simmetria di gauge senza usare nulla di geometria differenziale, ma solo analisi funzionale.

Supponiamo, dunque, che la funzione u(t,x) dove x varia nel dominio D e designa lo spazio e t designa il tempo e varia fra 0 e T, sia la soluzione di un certa equazione differenziale



dove A è un operatore che non dipende dal tempo.

Una simmetria spaziale, allora, è una famiglia



di applicazioni su D che costituisca un gruppo per la composizione di funzioni e che mandi soluzioni dell'equazione in altre equazioni dell'equazione, cioè tale che



sia una soluzione dell'equazione per ogni z, supposto che u(t,x) sia una soluzione dell'equazione.

(A dire la verità, una simmetria è un'applicazione che lascia invariante la Lagrangiana, ma in prima approssimazione può bastare quanto detto prima).

Come si vede, le simmetrie spaziali hanno un grande svantaggio: è possibile considerarle solo nel caso il dominio D abbia qualche tipo di simmetria.

Le simmetrie di Gauge non hanno questo svantaggio. Supponiamo che la funzione u(t,x) abbia valori in uno spazio di Hilbert complesso H (nel caso banale: nel campo dei numeri complessi). Supponiamo adesso che la famiglia



sia un gruppo unitario di operatori lineari sullo spazio di Hilbert H. Allora essa è una simmetria di gauge se



è una soluzione dell'equazione per ogni z, supposto che u(t,x) sia una soluzione.

Come si vede, simmetrie di questo tipo non hanno bisogno di alcuna assunzione sul dominio!

Peraltro, ci ho messo circa due anni prima di capire che la mia tesi è esattamente su simmetrie di gauge per grafi quantistici. Quello che dovrei fare ora che ho finito, è buttare la mia tesi dal balcone e riscrivere tutto dall'inizio...

Funzioni armoniche (I)

Mi sto avvicinando alla discussione della tesi, e ho deciso di riguardarmi un po' di cose che stanno pian piano scomparendo dalla memoria. Ne approfitto per risvegliare dalla sua morte apparente il mio blog, rendendo onore al suo nome.

Perchè l'operatore di Laplace è fondamentale?

Tutti sanno che per un campo vettoriale v vale il teorema della divergenza



Ora, immaginiamo che il campo vettoriale sia il gradiente di una funzione f sufficientemente regolare. Dato che vale la relazione (basta farsi i conti!)



allora usando il teorema della divergenza sul gradiente di f si ottiene che



dove la seconda uguaglianza altro non è che la definizione della derivata normale.

Questa relazione ha un sacco di consequenze divertenti. Ad esempio, supponiamo che f sia armonica, cioè che e supponiamo che il nostro dominio sia unapalla di raggio R. Allora la derivata normale su ogni sfera di raggio r < R può essere espressa come



per ogni r e con F funzione crescente. Se f è armonica, allora l'espressione, che è continua in r, si annulla, e quindi assume sempre il valore assunto in 0, che è f(0). (se non vi ricordate cos'è F, basta moltiplicarla per l'inverso di f(0)).

In pratica, quello che abbiamo appena derivato è il teorema del valor medio, che dice che se f è armonica allora f(0) è uguale al valore dell'integrale di f su ogni sfera.

grafi connessi e numerabili

ho scoperto un fenomeno veramente sorprendente. ricordo che un grafo è localmente numerabile se l'insieme di lati che connettono due nodi è numerabile per ogni coppia di nodi. ricordo anche che un grafo è connesso se fra ogni due nodi esiste un cammino di lunghezza finita.

Teorema
Sia G un grafo. Se G è localmente numerabile e connesso, allora G è numerabile.

Dimostrazione
Si fissi un nodo arbitrario v e si definisca l'insieme dei nodi distanti n da v.

A causa della locale numerabilità, stesso è numerabile, e dato che G è connesso, allora



è un insieme numerabile in quanto unione numerabile di insiemi numerabili.

Dato che G è localmente numerabile, allora fra ogni due lati ci sono al massimo un insieme numerabile di lati. Quindi G ha al massimo NxNxN lati, e quindi G è numerabile, q.e.d..

domanda di oggi:

Si può usare un argomento simile per dedurre la numerabilità dall'irridicubilità?

secondo me, si.

ps: il concetto di connessione per cammini e di connessione topologica sono equivalenti per un grafo!

vortici extradimensionali

è un'anfora di energia cosmica... ed è puntata contro di me!

crystal

qualche giorno fa, scrivendo la tesi, ho fatto una divertente osservazione riguardante grafi infiniti. partiamo dal caso finito e immaginiamo di avere una stella con un numero finito di punte, cioè un punto da cui si dipartono un numero finito di segmenti. su ognuno di questi segmenti abbiamo un'equazione di schrödinger che governa una funzione d'onda. supponiamo che non ci sia assorbimento ne eccitazione nel punto centrale, cioè che tutti gli elettroni che arrivano al centro possano proseguire.

la cosa migliore per studiare questo problema è scrivere il funzionale dell'energia, che altro non è che l'integrale su tutta la stella del gradiente quadrato della funzione d'onda; alle funzioni sui diversi lati si impone solamente che esista la derivata e che abbiano un valore comune al centro. questo ansatz funziona, e l'operatore associato a questo funzionale dell'energia è quello giusto.

ancora meglio: in questo caso, l'equazione di schödinger ha tutte le proprietà possibili e immaginabili, e, per riassumere in poche parole, è quasi indistinguibile da un'equazione di schrödinger su un dominio. in particolare, se la funzione d'onda è concentrata su un segmento, allora si espanderà in tutti gli altri.

nel caso la stella abbia infiniti lati. accade qualcosa di strano: il nodo centrale si comporta come se fosse imposta una condizione di dirichlet. in pratica, è un buco nero che inghiotte tutti gli elettroni che vengono a trovarsi li.

una spiegazione intuitiva è la seguente: immaginate di essere un elettrone in procinto di attraversare il nodo centrale. per simmetria avete una probabilità identica di passare ad ogni altro lato. dato che i lati sono infiniti, questa identica probabilità è 0, è così venite risucchiati da un vortice extradimensionale. amen.

ps: per altro: così si possono intrappolare funzioni d'onda in un lato prefissato.

buona notte

dolce e chiara è la notte e senza vento,
e queta sovra i tetti e in mezzo agli orti
posa la luna, e di lontan rivela
serena ogni montagna.

g. leopardi

premesso che non sono costretto a "gettarmi a terra, gridare e fremere" come il buon giacomo (anzi, oggi ho anche rifiutato un invito al rockside della mia graziosa coinquilina), ammetto che ho passato tutta la serata a fare conti.

con questi risultati.

Congettura
La matrice di di incidenza di un grafo è un operatore limitato su l^2 se e solo se il grafo contiene O(k) nodi di grado k.

Dimostrazione
Speriamo domani.

PS: se qualcuno fosse infastidito dalla notazione con O(k): vuol dire semplicemente che il limite superiore del numero dei nodi di grado k diviso k è minore di infinito.