hic, ne deficeret, metuens avidusque videndi
flexit amans oculos, et protinus illa relapsa est.
publio ovidio nasone
qui a friburgo sono nuovamente affascinato dalle neuroscienze; torno allora su un tema che ho già trattato in passato.
uno dei miei argomenti preferiti per giustificare il passaggio dello studio delle reti neurali come sistemi dinamici continui alle reti di spiking neurons si basa sulle equazioni di fitzhugh-nagumo, d'ora in poi fn. sono una semplificazione fenomenologica delle equazioni di hodgkin-huxley, che descrivono con ammirevole precisione il comportamento elettrico delle membrane dei neuroni. il modello fn è particolarmente istruttivo, perchè, se si tralascia l'accoppiamento del voltaggio con la variabile di recupero, che gli conferisce un carattere "periodico", permettono di capire esattamente il significato del concetto di soglia in un sistema dinamico.
le fn, private dell'accoppiamento con la variabile di recupero, hanno la forma
qui T denota la soglia e A l'ampiezza per motivi che spiego immediatamente: sostituendo a y_0 i valori 0,T,A, si vede che essi sono punti stazionari. d'altra parte y' è minore di 0 per valori maggiori di A, oppure fra 0 e T, maggiore di 0 per valori fra T e A oppure per valori minori di 0. dato che le soluzioni di un sistema dinamico non possono incrociarsi per il teorema di picard-lindelöf, ne consegue che la soluzione converge ad A (l'ampiezza!) per dati iniziali maggiori di T (la soglia!) e converge a 0 per valori iniziali minori di T.
detto in altre parole, il sistema dinamico associato all'equazione di cui sopra non è altro che un dispositio che trasforma un segnale analogico (il dato iniziale scelto in R) in un segnale digitale (il valore a cui converge la soluzione scelto in {0,A}). è possibile, inoltre, accelerare o rallentare questo dispositivo aggiungendo un fattore V, rispettivamente maggiore o minore di 1, davanti al lato destro dell'equazione. questa è un'ottima giustificazione, a mio parere, per considerare le reti neurali di spiking neurons una buona approssimazione di quellie rappresentate da sistemi dinamici continui. inoltre è anche un buon esempio di come ottenere buona positura globale per un'equazione differenziale ordinaria che abbia un lato destro non globalmente lipschitziano.
qualche considerazione, adesso, sul concetto astratto di soglia; per esprimersi con precisione, bisognerebbe dire che A è un punto fisso dell'equazione, con bacino di attrazione (T,\infty). da qui si può generalizzare il concetto di soglia, definendo la soglia di un punto fisso di un sistema dinamico come il bordo del suo bacino di attrazione.
questa erkenntnis sicuramente non è nuova, come la maggior parte delle mie illuminazioni. tuttavia mi riservo di tornare sull'argomento, magari con qualche riflessione sui cicli limite e onde viaggianti...
