Supponiamo di avere una funzione F di più variabili, che chiamiamo x1,x2,...,xN. Ora supponiamo che per ogni sottoinsieme I < {1,...,N} di cardinalità |I| esistano |I| funzioni f tali che
È possibile decidere se esistono variabili "indipendenti" xi, xj? Con indipendenti intendo che, se xi,xj appartengono ad un sottoinsieme I, allora le corrispettive funzioni f^I_k devono essere identicamente nulle per ogni k. Detto in altre parole, stiamo chiedendo che xi e xj non compaiano mai contemporaneamente in uno dei fattori che compongono F. Il test è facile: questo è vero se e solo se,
per ogni x vettore di R^N. È facile verificare che vale anche per triplette di variabili xi,xj,xk e così via. (In realtà bisogna stare un po' attenti con fattori moltiplicativi davanti a F, ma non è essenziale adesso).
La proprietà di decomposizione tensoriale che ho specificato qui sopra non è fondamentale: è sufficiente che per ogni I esistano n_I gruppi, ciascuno contenente |I| funzioni che abbiano la proprietà succitata. Il caso che ho discusso è quello in cui n_I è sempre 1.
Visto da un altro punto di vista: se stiamo parlando di funzioni lisce, allora stiamo affermando che F deve essere una combinazione lineare di prodotti tensoriali di funzioni lisce di una variabile.
La cosa divertente è che tempo fa, mentre lavoravo con un collega a questo articolo, ci eravamo scontrati con un problema analogo: si trattava di stabilire (se ricordo bene, il contesto era comunque quello di funzioni a valori operatoriali) se le combinazioni lineari di prodotti tensoriali siano un sottospazio denso di un qualche spazio (che non ricordo più quale era) di funzioni definite su R^N.
