Decomposizioni tensoriali

Un mio caro amico mi ha oggi posto una domanda di matematica. Al telefono gli ho dato una risposta vaga, qui ce n'è una più completa. Partiamo dall'inizio.

Supponiamo di avere una funzione F di più variabili, che chiamiamo x1,x2,...,xN. Ora supponiamo che per ogni sottoinsieme I < {1,...,N} di cardinalità |I| esistano |I| funzioni f tali che



È possibile decidere se esistono variabili "indipendenti" xi, xj? Con indipendenti intendo che, se xi,xj appartengono ad un sottoinsieme I, allora le corrispettive funzioni f^I_k devono essere identicamente nulle per ogni k. Detto in altre parole, stiamo chiedendo che xi e xj non compaiano mai contemporaneamente in uno dei fattori che compongono F. Il test è facile: questo è vero se e solo se,



per ogni x vettore di R^N. È facile verificare che vale anche per triplette di variabili xi,xj,xk e così via. (In realtà bisogna stare un po' attenti con fattori moltiplicativi davanti a F, ma non è essenziale adesso).

La proprietà di decomposizione tensoriale che ho specificato qui sopra non è fondamentale: è sufficiente che per ogni I esistano n_I gruppi, ciascuno contenente |I| funzioni che abbiano la proprietà succitata. Il caso che ho discusso è quello in cui n_I è sempre 1.

Visto da un altro punto di vista: se stiamo parlando di funzioni lisce, allora stiamo affermando che F deve essere una combinazione lineare di prodotti tensoriali di funzioni lisce di una variabile.

La cosa divertente è che tempo fa, mentre lavoravo con un collega a questo articolo, ci eravamo scontrati con un problema analogo: si trattava di stabilire (se ricordo bene, il contesto era comunque quello di funzioni a valori operatoriali) se le combinazioni lineari di prodotti tensoriali siano un sottospazio denso di un qualche spazio (che non ricordo più quale era) di funzioni definite su R^N.