discentes primae analysis

ieri, mentre producevamo con r.n. un po' di quella che io amo definire matematica d'intrattenimento, ho finalmente capito perché gli studenti di analisi uno non sanno distinguere fra implicazione ed equivalenza.
il motivo è il seguente: supponiamo di avere un famiglia di insiemi, che chiamerò F. supponiamo che sia definita una certa proprietà P, per cui scrivo P(M)=1, se l`insieme M in F ha la proprietá P e scrivo P(M)=0 se non ce l'ha. é evidente che una proprietá é allora null'altro che un sottoinsieme della famiglia, per la precisione, il sottoinsieme F' della famiglia F, definito da M in F' se e solo se P(M)=1. si consideri adesso una proprietá P' tale che P'>P, sarebbe a dire una proprietà P' tale che se M ha P', allora ha anche P. in questo caso dico P' implica P.

Teorema

Si consideri la proprietá P+ definita tramite la seguente istruzione: P+ è l'intersezione di tutte le proprietà che implicano P. Allora vale P+=P.

Dimostrazione

È evidente che P+ contiene P, dato che ogni elemento dell'interesezione che forma P+ contiene P. D'altra parte P implica P, quindi P è presente nell'intersezione che forma P+, e quindi P contiene P+, qed.

questo, a mio parere, è il motivo formale per cui i poveri ragazzi di analisi uno non sanno distinguere fra implicazione ed equivalenza.