MCCN XI

L'ultima volta abbiamo trattato di nuovo grafi. In particolare ci siamo occupati del Laplaciano di un grafo non diretto. Supponiamo di avere un grafo con n vertici: il Laplaciano di un grafo è allora la matrice \inline \Delta=(d_{ij}), di dimensione n x n, costruita come segue:

d_{ii} è il grado del nodo i,

d_{ij}=-1 se i e j sono connessi,

d_{ij}=0 se i e j non sono connessi.

La cosa interessante è che il Laplaciano di un grafo ha alcune proprietà in comune col Laplaciano su un aperto di \inline \mathbb R^d. Ad esempio, le soluzioni dell'equazione

\Delta v=0

sono tutte e solo le funzioni v che sono costanti sulle componenti connesse del grafo. Una direzione è facile da capire: se v è costante (diciamo di valore 1) su una componente connessa degl grafo, e 0 altrimenti, allora \inline \Delta v ha per ogni componente un contributo positivo pari al grado del nodo corrispondente e un contributo negativo per ogni nodo con cui è collegata: quindi tutto si semplifica dando 0. Divertente, no?

Un altro bel teorema per il Laplaciano di un grafo è il Teorema di Kirchhoff sul numero degli spanning trees. Mi chiedo se anche questo abbia un corrispettivo per il Laplaciano di un aperto.

Commutatori culinari

L'altro ieri ho cucinato delle lasagne per la mia fanciulla. E mentre cucinavo sono rimasto affascinato dalla scarsezza di commutatività in cucina.

Pensiamo di avere due operatori A,B su un certo spazio degli stati X. Allora A e B commutano se per ogni x in X vale A(B(x))=B(A(x)).

Teorema

Si definisca un operatore A tramite A(x):="miscuglio di x e farina" e un operatore B tramite B(x):="miscuglio di x e latte". Allora A e B non commutano

Dimostrazione

Si consideri il vettore x="casseruola col burro sciolto" e si calcoli B(x)="miscuglio insoluto di burro e latte". Applicando l'operatore A a B(x) la farina viene raggrumata dall'acqua contenuta del latte per cui

A(B(x))="miscuglio orrendo di olio e grumi di farina"

Al contrario, A(x)="massa farinosa compatta di ottima densità". Applicando questa volta B ad A(x) e mescolando continuamente, la massa farinosa compatta di ottima densità perderà la sua compattezza; ad un certo punto assumerà una consistenza semiliquida. Come conseguenza

B(A(x))="besciamella"

Abbiamo quindi provato che esiste un x tale che A(B(x)) è diverso da B(A(x)), q.e.d.

Fortunatamente, c'è da dirlo, ho calcolato B(A(x)).

Suriettività

Per D.M. da me e R.N.

È vero che il duale di c={successioni convergenti} è isomorfo a . Però l'isomorfismo non è quello che uno si aspetta. Infatti sarebbe portato a definire per un funzonale r in c* una successione sommabile come , dove sono i vettori della base canonica di c00={successioni finite}. Tuttavia questa applicazione f:r --> x(r) non è quella giusta.

Si prenda per mostrarlo il funzionale lineare r, continuo su c che ad una successione y associa il suo limite, i.e. r(y)=lim(y). Ovviamente . Quindi l'applicazione f ha come immagine una succesione sommabile, cioè (0,0,...). Ma questa successione sommabile non è quella giusta, perchè applicata ad una successione di c non restituisce il suo limite.

Detto in altre parole, f non è surgettiva.

sinapsi, catene di markov multiple e limiti secondo cesaro

i have never done anything 'useful'. no discovery of mine has made, or is likely to make, directly or indirectly, for good or ill, the least difference to the amenity of the world

g. h. hardy

in questi giorni discutevo con un ragazzo di friburgo, che sta studiando un modello di sinapsi per il riconoscimento locale di correlazioni. fra gli altri problemi che deve risolvere, me ne ha presentato uno, per lui statistico, per me di analisi funzionale, che vi presento in una forma lievemente modificata.

il nostro scenario è il seguente: ci sono una certa quantità di particelle che si muovono in uno spazio-tempo discreto. ad ogni step temporale si muovono dallo stato i allo stato j con probabilità a_{ij}. con questi a_{ij} si può formare una matrice, detta matrice di transizione. la nostra situazione è però un po' più complicata. ad ogni step temporale, si sceglie la matrice di transizione da un insieme di M matrici transizione, secondo un certo vettore di probabilità p=(p_k). per comodità diamo un nome a queste matrici di transizione



la domanda che ci poniamo: esiste, ed in che senso, una distribuzione limite delle particelle? più precisamente ci si chiede se il limite



esista ed a che condizioni.

se avessimo a che fare con una singola matrice di transizione, assumendo che essa sia primitiva, cioè che le sue potenze convergano ad una proiezione unidimensionale, cioè che l'unico autovalore sul cerchio unitario sia 1 e che abbia dimensione dell'autospazio relativo pari a 1, allora si dimostra facilmente che la probabilità che una particella x si trovi nello stato j converge verso



qui v è uno qualsiasi degli autovettori nell'autospazio relativo all'autovalore 1. si potrebbe dunque pensare che nel caso di M matrici di transizione il tutto si comporti come se la matrice di transizione fosse



qui p è il vettore di probabilità le cui componenti p_k sono le probabilità con cui A_k viene scelta in uno step temporale.

simulando al computer (per un numero alto ma fisso di particelle e di iterazioni) questo sistema dinamico discreto abbiamo subito notato che non erà così, ma che lo era solo se si faceva la media di varie simulazioni. mentro ero in bicicletta ho capito perchè: facendo la media su varie simulazioni non facevamo altro che passare dal limite della distribuzione di probabilità, che evidentemente non esiste a a causa delle oscillazioni dovute al passare da una catena di markov all'altra, al limite secondo cesaro che, altrettanto ovviamente, esiste.

la cosa più divertente è che quando ho tentato di spiegare al mio collega, fisico, che stavamo tentando di calcolare un limite che non esiste, lui non riusciva a capacitarsi di questo fenomeno...

basi, parentesi e successioni

il meglio è nemico del bene

mio nonno

mi sento di dissentire da mio nonno, una volta tanto. talvolta, il meglio è amico del bene. in particolare quando si vuole capire meglio certi concetti matematici, senza accontentarsi di capirli bene.

questo a proposito di una mia opinione, già espressa in questa discussione, dove ho spiegato quale è il motivo per cui è male rappresentare successioni all'interno di parentesi graffe.

il casus belli è il seguente: è corretto rappresentare una successione come {x_n : n\in N}, o è necessario rappresentarla come (x_n)_n \in N? sembra una question allemande, ma, come ho già detto, il meglio è amico del bene.

partiamo dal presupposto che la rappresentazione tramite parentesi graffe, che in matematica denotano solitamente insiemi è sbagliata. tuttavia, molti si sentono autorizzati ad usare lo stesso tale notazione.

quello che è accaduto, a mio parere, è una sorta di back propagation dalla notazione per le basi a quella per le successioni. quasi tutti, e fra poco spiegherò perchè, scrivono le basi in parentesi graffe, pur intendendole come insiemi ordinati. dato, quindi, che è accettato lo scrivere le basi in parentesi graffe, avrà pensato qualcuno, allora deve essere possibile scrivere anche le successioni all'interno di parentesi graffe. d'altra parte, il concetto di base e quello di successione sono imparentati - nel senso che vivono nella stessa aerea della matematica.

perchè, allora, qualcuno si sente autorizzato a scrivere le basi in parentesi graffe? il motivo è semplice, e dipende da come viene insegnata l'algebra lineare. come si spiega il concetto di base? prima si introduce il concetto di un insieme di vettori linearmente indipendenti, poi quello di sottospazio generato da un insieme di vettori, per poi concludere, trionfalmente, che se un insieme di vettori genera l'intero spazio, allora è una base dello spazio in questione.

a questo punto bisogna purtroppo scegliere. se si desidera introdurre la rappresentazione matriciale degli operatori lineari su spazi vettoriali, allora è necessario che l'insieme di vettori linearmente indipendenti generanti lo spazio venga ordinato, a formare quella che viene solitamente definita una base - da cui, peraltro, il termine "matrice del cambiamento di base".

se invece, si desidera mantenere la consistenza della definizione di una base come insieme di vettori linearmente indipendenti generanti lo spazio ambiente, allora bisogna rinunciare alla rappresentazione matriciale - o considerarla modulo permutazioni dei vettori della base.