basi, parentesi e successioni

il meglio è nemico del bene

mio nonno

mi sento di dissentire da mio nonno, una volta tanto. talvolta, il meglio è amico del bene. in particolare quando si vuole capire meglio certi concetti matematici, senza accontentarsi di capirli bene.

questo a proposito di una mia opinione, già espressa in questa discussione, dove ho spiegato quale è il motivo per cui è male rappresentare successioni all'interno di parentesi graffe.

il casus belli è il seguente: è corretto rappresentare una successione come {x_n : n\in N}, o è necessario rappresentarla come (x_n)_n \in N? sembra una question allemande, ma, come ho già detto, il meglio è amico del bene.

partiamo dal presupposto che la rappresentazione tramite parentesi graffe, che in matematica denotano solitamente insiemi è sbagliata. tuttavia, molti si sentono autorizzati ad usare lo stesso tale notazione.

quello che è accaduto, a mio parere, è una sorta di back propagation dalla notazione per le basi a quella per le successioni. quasi tutti, e fra poco spiegherò perchè, scrivono le basi in parentesi graffe, pur intendendole come insiemi ordinati. dato, quindi, che è accettato lo scrivere le basi in parentesi graffe, avrà pensato qualcuno, allora deve essere possibile scrivere anche le successioni all'interno di parentesi graffe. d'altra parte, il concetto di base e quello di successione sono imparentati - nel senso che vivono nella stessa aerea della matematica.

perchè, allora, qualcuno si sente autorizzato a scrivere le basi in parentesi graffe? il motivo è semplice, e dipende da come viene insegnata l'algebra lineare. come si spiega il concetto di base? prima si introduce il concetto di un insieme di vettori linearmente indipendenti, poi quello di sottospazio generato da un insieme di vettori, per poi concludere, trionfalmente, che se un insieme di vettori genera l'intero spazio, allora è una base dello spazio in questione.

a questo punto bisogna purtroppo scegliere. se si desidera introdurre la rappresentazione matriciale degli operatori lineari su spazi vettoriali, allora è necessario che l'insieme di vettori linearmente indipendenti generanti lo spazio venga ordinato, a formare quella che viene solitamente definita una base - da cui, peraltro, il termine "matrice del cambiamento di base".

se invece, si desidera mantenere la consistenza della definizione di una base come insieme di vettori linearmente indipendenti generanti lo spazio ambiente, allora bisogna rinunciare alla rappresentazione matriciale - o considerarla modulo permutazioni dei vettori della base.